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周练 5
总分:100 分
时间:40 分钟
成绩评定:
一、选择题(每小题6分,共24分)
总分:100 分
时间:40 分钟
成绩评定:
一、选择题(每小题6分,共24分)
答案
解：
一、选择题
1. 已知⊙O半径$r=4\ \mathrm{cm}$，点P到圆心距离$OP=3\ \mathrm{cm}$，$OP＜r$，故点P在⊙O内。
答案：$\boldsymbol{A}$
2. A选项：直径所在直线是圆的对称轴，直径是线段不是对称轴，错误；
B选项：同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，错误；
C选项：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，缺少前提条件，错误；
D选项：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，正确。
答案：$\boldsymbol{D}$
3. 连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答案：$\boldsymbol{A}$
4. 连接OA，
$\because ∠ BOD=100°$
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=50°$
$\because$ 四边形ABCD内接于⊙O
$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$
$\therefore ∠ BCD=180°-50°=130°$
答案：$\boldsymbol{D}$
---
二、填空题
5. 圆中最长弦为直径，半径为$5\ \mathrm{cm}$，故直径为$10\ \mathrm{cm}$。
答案：$\boldsymbol{10}$
6. $\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$
$\because ∠ A=25°$
$\therefore ∠ B=90°-25°=65°$
答案：$\boldsymbol{65°}$
7. 过点C作$CE⊥ AD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由面积法：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，得$CE=\frac{6×8}{10}=4.8$
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
$\because CD=CA$，$CE⊥ AD$
$\therefore AD=2AE=7.2=\frac{36}{5}$
答案：$\boldsymbol{\frac{36}{5}}$（或$7.2$）
8. 连接OD，
$\because AB=2DE$，$AB=2OD$
$\therefore OD=DE$
$\therefore ∠ DOE=∠ E=20°$
$\therefore ∠ ODC=∠ DOE+∠ E=40°$
$\because OC=OD$
$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=40°$
$\therefore ∠ AOC=∠ OCD+∠ E=40°+20°=60°$
答案：$\boldsymbol{60°}$
---
三、解答题
9. 证明：
$\because AB=CD$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\therefore AC=BD$，$∠ AOC=∠ BOD$
10. 解：连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答：⊙O的半径为5。
11. 解：连接AD、BD，
$\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$，$∠ ADB=90°$
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$
$\therefore ∠ ABD=∠ ACD=45°$，$∠ BAD=∠ BCD=45°$
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$
过A作$AE⊥ CD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=45°$，$AC=6$，得$CE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
$\therefore CD=CE+DE=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
答：CD的长为$7\sqrt{2}$。
12. 解：分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O同侧时：
过O作$OM⊥ AB$于M，交CD于N，连接OA、OC，
$\because AB// CD$，$\therefore ON⊥ CD$
$AM=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCN$中，$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore MN=ON-OM=12-5=7\ \mathrm{cm}$
② 当AB、CD在圆心O异侧时：
$MN=OM+ON=5+12=17\ \mathrm{cm}$
答：AB和CD之间的距离为$7\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$。
一、选择题
1. 已知⊙O半径$r=4\ \mathrm{cm}$，点P到圆心距离$OP=3\ \mathrm{cm}$，$OP＜r$，故点P在⊙O内。
答案：$\boldsymbol{A}$
2. A选项：直径所在直线是圆的对称轴，直径是线段不是对称轴，错误；
B选项：同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，错误；
C选项：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，缺少前提条件，错误；
D选项：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，正确。
答案：$\boldsymbol{D}$
3. 连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答案：$\boldsymbol{A}$
4. 连接OA，
$\because ∠ BOD=100°$
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=50°$
$\because$ 四边形ABCD内接于⊙O
$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$
$\therefore ∠ BCD=180°-50°=130°$
答案：$\boldsymbol{D}$
---
二、填空题
5. 圆中最长弦为直径，半径为$5\ \mathrm{cm}$，故直径为$10\ \mathrm{cm}$。
答案：$\boldsymbol{10}$
6. $\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$
$\because ∠ A=25°$
$\therefore ∠ B=90°-25°=65°$
答案：$\boldsymbol{65°}$
7. 过点C作$CE⊥ AD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由面积法：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，得$CE=\frac{6×8}{10}=4.8$
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
$\because CD=CA$，$CE⊥ AD$
$\therefore AD=2AE=7.2=\frac{36}{5}$
答案：$\boldsymbol{\frac{36}{5}}$（或$7.2$）
8. 连接OD，
$\because AB=2DE$，$AB=2OD$
$\therefore OD=DE$
$\therefore ∠ DOE=∠ E=20°$
$\therefore ∠ ODC=∠ DOE+∠ E=40°$
$\because OC=OD$
$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=40°$
$\therefore ∠ AOC=∠ OCD+∠ E=40°+20°=60°$
答案：$\boldsymbol{60°}$
---
三、解答题
9. 证明：
$\because AB=CD$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\therefore AC=BD$，$∠ AOC=∠ BOD$
10. 解：连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答：⊙O的半径为5。
11. 解：连接AD、BD，
$\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$，$∠ ADB=90°$
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$
$\therefore ∠ ABD=∠ ACD=45°$，$∠ BAD=∠ BCD=45°$
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$
过A作$AE⊥ CD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=45°$，$AC=6$，得$CE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
$\therefore CD=CE+DE=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
答：CD的长为$7\sqrt{2}$。
12. 解：分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O同侧时：
过O作$OM⊥ AB$于M，交CD于N，连接OA、OC，
$\because AB// CD$，$\therefore ON⊥ CD$
$AM=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCN$中，$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore MN=ON-OM=12-5=7\ \mathrm{cm}$
② 当AB、CD在圆心O异侧时：
$MN=OM+ON=5+12=17\ \mathrm{cm}$
答：AB和CD之间的距离为$7\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
这套是九年级圆章节的基础周练习题，解题时可以按题型逐个对应考点推导：1. 选择题部分：第1题直接对比点到圆心距离和半径的大小，判断点和圆的位置；第2题逐个辨析圆的相关概念，注意定理的前置条件“同圆或等圆”；第3题利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理求半径；第4题先用圆周角定理求出对应圆周角，再结合圆内接四边形对角互补计算角度。2. 填空题部分：第5题利用圆最长弦是直径的性质直接求解；第6题用直径所对圆周角为直角，结合直角三角形两锐角互余计算角度；第7题先用勾股定理求斜边长，再用面积法求高，结合等腰三角形三线合一得到所求线段长；第8题利用半径相等得到等腰三角形，结合外角性质逐步推导角度。3. 解答题部分：第9题利用同圆中等弦对应等弧，做差得到目标等弧进而证明弦相等；第10题直接套用垂径定理+勾股定理的组合求半径；第11题结合直径的圆周角性质、角平分线的圆周角等量关系，构造直角三角形用勾股定理求解线段长；第12题分类讨论两条平行弦在圆心同侧、异侧两种情况，分别计算距离避免漏解。
【解析】
一、选择题
1. 已知⊙O半径$r=4\ \mathrm{cm}$，点P到圆心距离$OP=3\ \mathrm{cm}$，满足$OP＜r$，因此点P在⊙O内，答案选A。
2. 逐个辨析选项：
A选项：直径所在直线是圆的对称轴，直径是线段，不是对称轴，错误；
B选项：只有同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，缺少前提，错误；
C选项：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，缺少前提条件，错误；
D选项：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，表述正确。答案选D。
3. 连接OA，由垂径定理，$OC⊥ AB$，$AB=8$，得$AC=\frac{1}{2}AB=4$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，答案选A。
4. 连接OA，由圆周角定理，$∠ BOD=100°$，得$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=50°$，又四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ BAD+∠ BCD=180°$，因此$∠ BCD=180°-50°=130°$，答案选D。
二、填空题
5. 圆中最长弦为直径，已知半径为$5\ \mathrm{cm}$，因此直径为$10\ \mathrm{cm}$，答案为10。
6. 因为AB是⊙O直径，所以直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，直角三角形两锐角互余，$∠ A+∠ B=90°$，代入$∠ A=25°$得$∠ B=90°-25°=65°$，答案为$65°$。
7. 过点C作$CE⊥ AD$于E，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，由面积法$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，解得$CE=\frac{6×8}{10}=4.8$，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$，又$CD=CA$，$CE⊥ AD$，由等腰三角形三线合一得$AD=2AE=7.2=\frac{36}{5}$，答案为$\frac{36}{5}$（或$7.2$）。
8. 连接OD，由$AB=2DE$，$AB=2OD$，得$OD=DE$，因此$∠ DOE=∠ E=20°$，由外角性质得$∠ ODC=∠ DOE+∠ E=40°$，又$OC=OD$，得$∠ OCD=∠ ODC=40°$，再由外角性质得$∠ AOC=∠ OCD+∠ E=40°+20°=60°$，答案为$60°$。
三、解答题
9. 证明：
$\because AB=CD$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\therefore AC=BD$，$∠ AOC=∠ BOD$，得证。
10. 解：连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$，由垂径定理得$AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答：⊙O的半径为5。
11. 解：连接AD、BD，
$\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$，$∠ ADB=90°$
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$
由同弧所对圆周角相等得$∠ ABD=∠ ACD=45°$，$∠ BAD=∠ BCD=45°$
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$
过A作$AE⊥ CD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=45°$，$AC=6$，得$CE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
$\therefore CD=CE+DE=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
答：CD的长为$7\sqrt{2}$。
12. 解：分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O同侧时：
过O作$OM⊥ AB$于M，交CD于N，连接OA、OC，
$\because AB// CD$，$\therefore ON⊥ CD$
由垂径定理得$AM=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCN$中，$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore MN=ON-OM=12-5=7\ \mathrm{cm}$
② 当AB、CD在圆心O异侧时：
$MN=OM+ON=5+12=17\ \mathrm{cm}$
答：AB和CD之间的距离为$7\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1. $\boldsymbol{A}$；2. $\boldsymbol{D}$；3. $\boldsymbol{A}$；4. $\boldsymbol{D}$；5. $\boldsymbol{10}$；6. $\boldsymbol{65°}$；7. $\boldsymbol{\frac{36}{5}}$（或$7.2$）；8. $\boldsymbol{60°}$；9. 证明见上述解析；10. ⊙O半径为$\boldsymbol{5}$；11. CD的长为$\boldsymbol{7\sqrt{2}}$；12. AB和CD之间的距离为$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$17\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节入门阶段的基础周练题，考点覆盖全面，难度梯度平缓，既包含基础概念辨析，也结合了勾股定理、面积法、分类讨论思想的中档题型，能够有效巩固圆的核心基础知识点，易错点为忽略定理的“同圆或等圆”前置条件，以及平行弦距离问题漏解其中一种位置情况。
【难度系数】
0.7
这套是九年级圆章节的基础周练习题，解题时可以按题型逐个对应考点推导：1. 选择题部分：第1题直接对比点到圆心距离和半径的大小，判断点和圆的位置；第2题逐个辨析圆的相关概念，注意定理的前置条件“同圆或等圆”；第3题利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理求半径；第4题先用圆周角定理求出对应圆周角，再结合圆内接四边形对角互补计算角度。2. 填空题部分：第5题利用圆最长弦是直径的性质直接求解；第6题用直径所对圆周角为直角，结合直角三角形两锐角互余计算角度；第7题先用勾股定理求斜边长，再用面积法求高，结合等腰三角形三线合一得到所求线段长；第8题利用半径相等得到等腰三角形，结合外角性质逐步推导角度。3. 解答题部分：第9题利用同圆中等弦对应等弧，做差得到目标等弧进而证明弦相等；第10题直接套用垂径定理+勾股定理的组合求半径；第11题结合直径的圆周角性质、角平分线的圆周角等量关系，构造直角三角形用勾股定理求解线段长；第12题分类讨论两条平行弦在圆心同侧、异侧两种情况，分别计算距离避免漏解。
【解析】
一、选择题
1. 已知⊙O半径$r=4\ \mathrm{cm}$，点P到圆心距离$OP=3\ \mathrm{cm}$，满足$OP＜r$，因此点P在⊙O内，答案选A。
2. 逐个辨析选项：
A选项：直径所在直线是圆的对称轴，直径是线段，不是对称轴，错误；
B选项：只有同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，缺少前提，错误；
C选项：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，缺少前提条件，错误；
D选项：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，表述正确。答案选D。
3. 连接OA，由垂径定理，$OC⊥ AB$，$AB=8$，得$AC=\frac{1}{2}AB=4$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，答案选A。
4. 连接OA，由圆周角定理，$∠ BOD=100°$，得$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=50°$，又四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ BAD+∠ BCD=180°$，因此$∠ BCD=180°-50°=130°$，答案选D。
二、填空题
5. 圆中最长弦为直径，已知半径为$5\ \mathrm{cm}$，因此直径为$10\ \mathrm{cm}$，答案为10。
6. 因为AB是⊙O直径，所以直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，直角三角形两锐角互余，$∠ A+∠ B=90°$，代入$∠ A=25°$得$∠ B=90°-25°=65°$，答案为$65°$。
7. 过点C作$CE⊥ AD$于E，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，由面积法$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，解得$CE=\frac{6×8}{10}=4.8$，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$，又$CD=CA$，$CE⊥ AD$，由等腰三角形三线合一得$AD=2AE=7.2=\frac{36}{5}$，答案为$\frac{36}{5}$（或$7.2$）。
8. 连接OD，由$AB=2DE$，$AB=2OD$，得$OD=DE$，因此$∠ DOE=∠ E=20°$，由外角性质得$∠ ODC=∠ DOE+∠ E=40°$，又$OC=OD$，得$∠ OCD=∠ ODC=40°$，再由外角性质得$∠ AOC=∠ OCD+∠ E=40°+20°=60°$，答案为$60°$。
三、解答题
9. 证明：
$\because AB=CD$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
$\therefore AC=BD$，$∠ AOC=∠ BOD$，得证。
10. 解：连接OA，
$\because OC⊥ AB$，$AB=8$，由垂径定理得$AC=\frac{1}{2}AB=4$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
答：⊙O的半径为5。
11. 解：连接AD、BD，
$\because AB$是⊙O直径
$\therefore ∠ ACB=90°$，$∠ ADB=90°$
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because CD$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$
由同弧所对圆周角相等得$∠ ABD=∠ ACD=45°$，$∠ BAD=∠ BCD=45°$
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$
过A作$AE⊥ CD$于E，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=45°$，$AC=6$，得$CE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
$\therefore CD=CE+DE=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
答：CD的长为$7\sqrt{2}$。
12. 解：分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O同侧时：
过O作$OM⊥ AB$于M，交CD于N，连接OA、OC，
$\because AB// CD$，$\therefore ON⊥ CD$
由垂径定理得$AM=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCN$中，$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore MN=ON-OM=12-5=7\ \mathrm{cm}$
② 当AB、CD在圆心O异侧时：
$MN=OM+ON=5+12=17\ \mathrm{cm}$
答：AB和CD之间的距离为$7\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1. $\boldsymbol{A}$；2. $\boldsymbol{D}$；3. $\boldsymbol{A}$；4. $\boldsymbol{D}$；5. $\boldsymbol{10}$；6. $\boldsymbol{65°}$；7. $\boldsymbol{\frac{36}{5}}$（或$7.2$）；8. $\boldsymbol{60°}$；9. 证明见上述解析；10. ⊙O半径为$\boldsymbol{5}$；11. CD的长为$\boldsymbol{7\sqrt{2}}$；12. AB和CD之间的距离为$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$17\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节入门阶段的基础周练题，考点覆盖全面，难度梯度平缓，既包含基础概念辨析，也结合了勾股定理、面积法、分类讨论思想的中档题型，能够有效巩固圆的核心基础知识点，易错点为忽略定理的“同圆或等圆”前置条件，以及平行弦距离问题漏解其中一种位置情况。
【难度系数】
0.7
1.(2025·内江)某专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示:
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（
A.24.5,25
B.25,25
C.25,25.5
D.25.5,26
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（
B
）A.24.5,25
B.25,25
C.25,25.5
D.25.5,26
答案
1. B
解析
【分析】
这道题要我们求这组数据的众数和中位数，首先我们先回忆两个统计量的定义：第一步先找众数，众数是一组数据里出现次数最多的数，直接对比表格里各尺码的销售量，找到销量最高的对应的尺码就能得到众数；第二步求中位数，总共有20个数据，是偶数个，中位数是把所有数据从小到大排序后，第10个和第11个数据的平均值，我们可以通过累加各尺码的销量，确定排序后第10、11个数据分别是什么，计算它们的平均数就能得到中位数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求众数：
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数值为众数。观察表格中各尺码的销售量：1双、3双、10双、4双、2双，其中尺码25cm的销售量10双是最大值，也就是该尺码出现的次数最多，因此众数为25。
2. 求中位数：
本组数据总共有20个，将所有尺码从小到大排序后，偶数个数据的中位数是第10个数据和第11个数据的算术平均数。
我们累计各尺码的销量：
尺码24的累计销量为1，对应排序后第1位数据；
尺码24.5的累计销量为1+3=4，对应排序后第2~4位数据；
尺码25的累计销量为4+10=14，对应排序后第5~14位数据；
由此可知排序后的第10位、第11位数据都属于尺码25的区间，两个数都是25，因此中位数为$\frac{25+25}{2}=25$。
综上，众数是25，中位数是25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数，中位数
【点评】
本题属于统计模块的基础常考题，结合实际销售场景考察众数和中位数的计算，易错点是计算中位数时错误选取中间位置的尺码，需要通过累加频数确定排序后对应位置的实际数值，同时本题也能帮助学生理解众数在实际经营决策中的应用意义。
【难度系数】
0.8
这道题要我们求这组数据的众数和中位数，首先我们先回忆两个统计量的定义：第一步先找众数，众数是一组数据里出现次数最多的数，直接对比表格里各尺码的销售量，找到销量最高的对应的尺码就能得到众数；第二步求中位数，总共有20个数据，是偶数个，中位数是把所有数据从小到大排序后，第10个和第11个数据的平均值，我们可以通过累加各尺码的销量，确定排序后第10、11个数据分别是什么，计算它们的平均数就能得到中位数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求众数：
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数值为众数。观察表格中各尺码的销售量：1双、3双、10双、4双、2双，其中尺码25cm的销售量10双是最大值，也就是该尺码出现的次数最多，因此众数为25。
2. 求中位数：
本组数据总共有20个，将所有尺码从小到大排序后，偶数个数据的中位数是第10个数据和第11个数据的算术平均数。
我们累计各尺码的销量：
尺码24的累计销量为1，对应排序后第1位数据；
尺码24.5的累计销量为1+3=4，对应排序后第2~4位数据；
尺码25的累计销量为4+10=14，对应排序后第5~14位数据；
由此可知排序后的第10位、第11位数据都属于尺码25的区间，两个数都是25，因此中位数为$\frac{25+25}{2}=25$。
综上，众数是25，中位数是25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数，中位数
【点评】
本题属于统计模块的基础常考题，结合实际销售场景考察众数和中位数的计算，易错点是计算中位数时错误选取中间位置的尺码，需要通过累加频数确定排序后对应位置的实际数值，同时本题也能帮助学生理解众数在实际经营决策中的应用意义。
【难度系数】
0.8
2.(2025·南通期中)某校举行校园十佳歌手大赛,小颖同学的初赛成绩为90分,复赛成绩为80分.若总成绩按初赛成绩占30%,复赛成绩占70%来计算,则小颖同学的总成绩为 （
A.83分
B.80分
C.75分
D.70分
A
）A.83分
B.80分
C.75分
D.70分
答案
2. A
解析
【分析】
这道题是典型的加权平均数实际应用问题，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的两个成绩对应的权重占比，总成绩的计算规则是初赛成绩乘以它的占比加上复赛成绩乘以它的占比，我们只需要把已知的初赛90分、复赛80分，以及对应的30%、70%的权重代入加权平均数的计算公式，算出最终结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意，总成绩为初赛成绩乘以初赛占比，加上复赛成绩乘以复赛占比，代入数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{总成绩}&=90×30\% + 80×70\%\\&=90×0.3 + 80×0.7\\&=27 + 56\\&=83 \mathrm{（分）}\end{aligned}$
所以小颖同学的总成绩为83分，对应选项A。
【答案】
A.83分
【知识点】
加权平均数，权重运算
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，核心考察加权平均数的基本计算方法，没有设置复杂的变形和陷阱，学生只要理解权重的含义，按照给定的占比规则代入计算就能得到正确结果，能够帮助学生区分普通算术平均数和带权重的加权平均数的差异。
【难度系数】
0.9
这道题是典型的加权平均数实际应用问题，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的两个成绩对应的权重占比，总成绩的计算规则是初赛成绩乘以它的占比加上复赛成绩乘以它的占比，我们只需要把已知的初赛90分、复赛80分，以及对应的30%、70%的权重代入加权平均数的计算公式，算出最终结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意，总成绩为初赛成绩乘以初赛占比，加上复赛成绩乘以复赛占比，代入数值计算：
$\begin{aligned}\mathrm{总成绩}&=90×30\% + 80×70\%\\&=90×0.3 + 80×0.7\\&=27 + 56\\&=83 \mathrm{（分）}\end{aligned}$
所以小颖同学的总成绩为83分，对应选项A。
【答案】
A.83分
【知识点】
加权平均数，权重运算
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，核心考察加权平均数的基本计算方法，没有设置复杂的变形和陷阱，学生只要理解权重的含义，按照给定的占比规则代入计算就能得到正确结果，能够帮助学生区分普通算术平均数和带权重的加权平均数的差异。
【难度系数】
0.9
3. 体育课上，小扬、小杰、蕾蕾和思思4名同学进行投沙包比赛，每人投3次，结果如图，在这4名同学中，平均成绩最接近8 m的是 （
A.小扬
B.小杰
C.蕾蕾
D.思思
C
）A.小扬
B.小杰
C.蕾蕾
D.思思
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路：首先明确图中的竖线代表8m的位置，要找出平均成绩最接近8m的同学，本质是判断4名同学各自3次投掷成绩的平均值与8m的差值最小。我们可以通过观察每个同学3个投掷点相对于8m竖线的分布快速判断：首先看小扬，3次投掷的点全部在8m竖线左侧，三次成绩都小于8m，平均值必然远小于8m；再看小杰，仅1次投中8m线，剩下2次都在8m竖线右侧，两次成绩都大于8m，平均值必然远大于8m；接着看蕾蕾，1次在8m线左侧，1次刚好落在8m线上，1次在8m线右侧，左右两侧的点到8m线的距离大致相当，三者的平均值几乎和8m相等；最后看思思，2次投掷点都在8m竖线左侧，仅1次落在8m线上，平均值明显小于8m。对比下来蕾蕾的平均成绩最接近8m。
【解析】
解：以图中标注的8m竖线为基准，逐个分析四名同学的三次投掷成绩分布：
1. 小扬：3次投掷全部小于8m，平均成绩远小于8m；
2. 小杰：2次投掷大于8m，仅1次等于8m，平均成绩远大于8m；
3. 蕾蕾：1次成绩小于8m，1次成绩等于8m，1次成绩大于8m，且小于8m的部分和大于8m的部分到8m的距离几乎相等，平均成绩非常接近8m；
4. 思思：2次投掷小于8m，仅1次等于8m，平均成绩明显小于8m。
因此平均成绩最接近8m的是蕾蕾。
【答案】C
【知识点】算术平均数，数据分布直观分析
【点评】本题结合投沙包的生活场景，不需要精确计算具体数值，通过直观观察数据点的分布特征就可以快速判断平均水平，重点考察学生对平均数实际含义的理解，避免了机械计算，贴合实际应用。
【难度系数】0.8
解题思路：首先明确图中的竖线代表8m的位置，要找出平均成绩最接近8m的同学，本质是判断4名同学各自3次投掷成绩的平均值与8m的差值最小。我们可以通过观察每个同学3个投掷点相对于8m竖线的分布快速判断：首先看小扬，3次投掷的点全部在8m竖线左侧，三次成绩都小于8m，平均值必然远小于8m；再看小杰，仅1次投中8m线，剩下2次都在8m竖线右侧，两次成绩都大于8m，平均值必然远大于8m；接着看蕾蕾，1次在8m线左侧，1次刚好落在8m线上，1次在8m线右侧，左右两侧的点到8m线的距离大致相当，三者的平均值几乎和8m相等；最后看思思，2次投掷点都在8m竖线左侧，仅1次落在8m线上，平均值明显小于8m。对比下来蕾蕾的平均成绩最接近8m。
【解析】
解：以图中标注的8m竖线为基准，逐个分析四名同学的三次投掷成绩分布：
1. 小扬：3次投掷全部小于8m，平均成绩远小于8m；
2. 小杰：2次投掷大于8m，仅1次等于8m，平均成绩远大于8m；
3. 蕾蕾：1次成绩小于8m，1次成绩等于8m，1次成绩大于8m，且小于8m的部分和大于8m的部分到8m的距离几乎相等，平均成绩非常接近8m；
4. 思思：2次投掷小于8m，仅1次等于8m，平均成绩明显小于8m。
因此平均成绩最接近8m的是蕾蕾。
【答案】C
【知识点】算术平均数，数据分布直观分析
【点评】本题结合投沙包的生活场景，不需要精确计算具体数值，通过直观观察数据点的分布特征就可以快速判断平均水平，重点考察学生对平均数实际含义的理解，避免了机械计算，贴合实际应用。
【难度系数】0.8
4. 某女子排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是:170,174,178,180,180,184. 现用身高为178 cm的队员替换场上身高为174 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高
（
A.平均数变大,中位数不变
B.平均数变大,中位数变大
C.平均数变小,中位数不变
D.平均数变小,中位数变大
第3题图
（
A
）A.平均数变大,中位数不变
B.平均数变大,中位数变大
C.平均数变小,中位数不变
D.平均数变小,中位数变大
第3题图
答案
4. A
解析
【分析】
我们要分别对比换人前后场上队员身高的平均数和中位数的变化，解题思路如下：
1. 先明确：平均数是所有数据的总和除以数据个数，本题总人数始终是6，所以只需要对比换人前后总身高的变化，就能直接判断平均数的增减，不需要硬算最终数值。
2. 中位数的判断：对于6个从小到大排序的数据，中位数是排序后第3个和第4个数据的平均值，我们只需要观察替换数据后，排序后的第3、第4个数据有没有发生变化，就能判断中位数是否改变。
3. 最后结合两个统计量的变化匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算换人前的相关统计量
原6名队员身高已经从小到大排序为：170，174，178，180，180，184
总身高 = 170+174+178+180+180+184 = 1066 cm
原平均数 = 1066 ÷ 6 ≈ 177.67 cm
原中位数是排序后第3、第4个数的平均值：(178+180)÷2 = 179 cm
第二步：计算换人后的相关统计量
用178cm替换174cm后，新的身高数据从小到大排序为：170，178，178，180，180，184
新总身高 = 1066 - 174 + 178 = 1070 cm
新平均数 = 1070 ÷ 6 ≈ 178.33 cm，显然平均数比原来大。
新中位数是排序后第3、第4个数的平均值：(178+180)÷2 = 179 cm，和原中位数相等，即中位数不变。
因此换人后平均数变大，中位数不变，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，中位数求解
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，不需要完全硬算出两个平均数的具体数值，通过替换后总身高增加4、人数不变的特点就能快速判断平均数上升；判断中位数时也不需要额外计算，观察替换后排序的中间两个数未发生变化，就能直接得到中位数不变的结论，解题效率很高。
【难度系数】
0.8
我们要分别对比换人前后场上队员身高的平均数和中位数的变化，解题思路如下：
1. 先明确：平均数是所有数据的总和除以数据个数，本题总人数始终是6，所以只需要对比换人前后总身高的变化，就能直接判断平均数的增减，不需要硬算最终数值。
2. 中位数的判断：对于6个从小到大排序的数据，中位数是排序后第3个和第4个数据的平均值，我们只需要观察替换数据后，排序后的第3、第4个数据有没有发生变化，就能判断中位数是否改变。
3. 最后结合两个统计量的变化匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算换人前的相关统计量
原6名队员身高已经从小到大排序为：170，174，178，180，180，184
总身高 = 170+174+178+180+180+184 = 1066 cm
原平均数 = 1066 ÷ 6 ≈ 177.67 cm
原中位数是排序后第3、第4个数的平均值：(178+180)÷2 = 179 cm
第二步：计算换人后的相关统计量
用178cm替换174cm后，新的身高数据从小到大排序为：170，178，178，180，180，184
新总身高 = 1066 - 174 + 178 = 1070 cm
新平均数 = 1070 ÷ 6 ≈ 178.33 cm，显然平均数比原来大。
新中位数是排序后第3、第4个数的平均值：(178+180)÷2 = 179 cm，和原中位数相等，即中位数不变。
因此换人后平均数变大，中位数不变，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，中位数求解
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，不需要完全硬算出两个平均数的具体数值，通过替换后总身高增加4、人数不变的特点就能快速判断平均数上升；判断中位数时也不需要额外计算，观察替换后排序的中间两个数未发生变化，就能直接得到中位数不变的结论，解题效率很高。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题6分,共42分)
5.(2025·苏州)某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛,得分依次为:71,71,65,71,64,66.这组数据的众数为
5.(2025·苏州)某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛,得分依次为:71,71,65,71,64,66.这组数据的众数为
71
.答案
5. 71
解析
【分析】
要确定这组数据的众数，首先需要明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值就是众数。接下来我们只需要逐个统计题目给出的6个得分中每个数值出现的频次，对比找到出现次数最多的那个数，就能得到结果。
【解析】
我们先对给出的6个得分：71，71，65，71，64，66分别统计出现次数：
64出现1次
65出现1次
66出现1次
71出现3次
对比可知，71是这组数据里出现次数最多的数，因此这组数据的众数为71。
【答案】
71
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题属于统计模块的基础题，直接考查众数的基本定义，没有设置复杂陷阱，只要牢记众数是出现次数最多的数据，不与平均数、中位数的概念混淆，就可以快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定这组数据的众数，首先需要明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值就是众数。接下来我们只需要逐个统计题目给出的6个得分中每个数值出现的频次，对比找到出现次数最多的那个数，就能得到结果。
【解析】
我们先对给出的6个得分：71，71，65，71，64，66分别统计出现次数：
64出现1次
65出现1次
66出现1次
71出现3次
对比可知，71是这组数据里出现次数最多的数，因此这组数据的众数为71。
【答案】
71
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题属于统计模块的基础题，直接考查众数的基本定义，没有设置复杂陷阱，只要牢记众数是出现次数最多的数据，不与平均数、中位数的概念混淆，就可以快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
6. 已知 a,b,c,d 的平均数是 2025 ,则 a+1,b+1,c+1,d+1 的平均数是
2026
.答案
6. 2026
解析
【分析】
首先我们从已知条件出发，根据平均数的定义，先求出a、b、c、d四个数的总和。接下来计算新的四个数的总和：每个数都加1，四个数总共就多了4，用原来的总和加上4得到新数组的总和，再除以数据的总个数4，就能算出新数组的平均数。也可以直接利用规律：一组数据的每个数值都增加相同的常数，它们的平均数也会增加这个常数，直接快速得到结果。
【解析】
1. 根据平均数的定义，已知a,b,c,d的平均数是2025，可得：
$ \frac{a+b+c+d}{4}=2025 $因此四个数的总和为：a+b+c+d=2025×4=81002. 计算新数组a+1,b+1,c+1,d+1的总和： (a+1)+(b+1)+(c+1)+(d+1)=(a+b+c+d)+4=8100+4=8104
3. 计算新数组的平均数：
$ \frac{8104}{4}=2026$
【答案】
2026
【知识点】
平均数定义；平均数性质
【点评】
本题属于基础题，既可以通过常规的先求总和再算平均数的方法求解，也可以直接利用“一组数据所有元素同时增加同一个常数，平均数同步增加该常数”的性质直接得出结果，帮助学生加深对平均数变化规律的理解。
【难度系数】
0.9
首先我们从已知条件出发，根据平均数的定义，先求出a、b、c、d四个数的总和。接下来计算新的四个数的总和：每个数都加1，四个数总共就多了4，用原来的总和加上4得到新数组的总和，再除以数据的总个数4，就能算出新数组的平均数。也可以直接利用规律：一组数据的每个数值都增加相同的常数，它们的平均数也会增加这个常数，直接快速得到结果。
【解析】
1. 根据平均数的定义，已知a,b,c,d的平均数是2025，可得：
$ \frac{a+b+c+d}{4}=2025 $因此四个数的总和为：a+b+c+d=2025×4=81002. 计算新数组a+1,b+1,c+1,d+1的总和： (a+1)+(b+1)+(c+1)+(d+1)=(a+b+c+d)+4=8100+4=8104
3. 计算新数组的平均数：
$ \frac{8104}{4}=2026$
【答案】
2026
【知识点】
平均数定义；平均数性质
【点评】
本题属于基础题，既可以通过常规的先求总和再算平均数的方法求解，也可以直接利用“一组数据所有元素同时增加同一个常数，平均数同步增加该常数”的性质直接得出结果，帮助学生加深对平均数变化规律的理解。
【难度系数】
0.9
7. 若一组数据 6,6,m,7,7,8 的众数为 7,则这组数据的中位数为
7
.答案
7. 7
解析
【分析】
解题时我们可以分两步思考：第一步先根据众数的定义确定未知参数m的取值：首先统计现有已知数据的出现次数，6出现2次，7出现2次，8出现1次，题目明确众数为7，说明7是这组数据里出现次数最多的数，因此m不能等于6（否则6和7出现次数相同，会出现两个众数），也不能取其他非7的数值（否则6和7都出现2次，同样是双众数），只能取7，保证7的出现次数最多。第二步将确定后的完整数据从小到大排序，根据中位数的计算规则，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定m的取值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，已知该组数据的众数为7，现有已知数据中6出现2次，7出现2次：
若m≠7且m≠6，6和7的出现次数都为2，会出现两个众数，不符合题意；
若m=6，6和7的出现次数都为3，同样存在两个众数，不符合题意；
因此m只能取7，此时7共出现3次，是唯一的众数。
2. 计算中位数：
将完整数据从小到大排序为：6，6，7，7，7，8，该组数据共有6个（偶数个），中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，即$\frac{7+7}{2}=7$。
【答案】
7
【知识点】
众数的概念，中位数的计算
【点评】
本题属于基础统计题型，核心是结合众数的隐含约束（7为唯一众数）确定未知参数，再求解中位数，需要注意不要忽略“众数为7”代表7是唯一众数的条件，避免参数取值错误。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分两步思考：第一步先根据众数的定义确定未知参数m的取值：首先统计现有已知数据的出现次数，6出现2次，7出现2次，8出现1次，题目明确众数为7，说明7是这组数据里出现次数最多的数，因此m不能等于6（否则6和7出现次数相同，会出现两个众数），也不能取其他非7的数值（否则6和7都出现2次，同样是双众数），只能取7，保证7的出现次数最多。第二步将确定后的完整数据从小到大排序，根据中位数的计算规则，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定m的取值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，已知该组数据的众数为7，现有已知数据中6出现2次，7出现2次：
若m≠7且m≠6，6和7的出现次数都为2，会出现两个众数，不符合题意；
若m=6，6和7的出现次数都为3，同样存在两个众数，不符合题意；
因此m只能取7，此时7共出现3次，是唯一的众数。
2. 计算中位数：
将完整数据从小到大排序为：6，6，7，7，7，8，该组数据共有6个（偶数个），中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，即$\frac{7+7}{2}=7$。
【答案】
7
【知识点】
众数的概念，中位数的计算
【点评】
本题属于基础统计题型，核心是结合众数的隐含约束（7为唯一众数）确定未知参数，再求解中位数，需要注意不要忽略“众数为7”代表7是唯一众数的条件，避免参数取值错误。
【难度系数】
0.8
8. 为传承发展中国优秀语言文化，厚植青少年家国情怀，某校开展了“诵读中国”经典诵读大赛.校学生会随机对该校20名同学一周内诵读中华经典的时间进行了调查，统计如下表：
若20名同学诵读时间的众数为45，则$a$为
若20名同学诵读时间的众数为45，则$a$为
45
，中位数为42.5
.答案
8. 45 42.5
解析
【分析】
我们可以分两步来思考解题：第一步先确定a的值，首先已知总共有20名受访同学，先把表格里的人数相加4+6+7+3=20，说明a对应的组人数7是所有组里最多的，题目给出众数是45，众数就是一组数据里出现次数最多的数，所以a对应的诵读时间就是45，直接得到a的值。第二步求中位数，总共有20个数据，是偶数个，中位数是从小到大排序后第10个和第11个数据的平均数，我们累加人数定位这两个数：前两组35分、40分的总人数是4+6=10，说明第10个数据是40，第11个数据就是下一组的45，计算两个数的平均值就能得到中位数。
【解析】
解：
1. 计算a的值：
已知调查总人数为20，各组人数之和为4+6+7+3=20，可见诵读时间为a的组的人数7是所有分组中人数最多的。
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值为众数，题目给出众数为45，因此a=45。
2. 计算中位数：
将20名同学的诵读时间从小到大排序，共20个数据，偶数个数据的中位数为排序后第10个数据与第11个数据的平均数。
累加人数：诵读时间35分的共4人，对应排序后第1~4个数据；诵读时间40分的共6人，对应排序后第5~10个数据，因此第10个数据为40；第11个数据属于诵读时间为45的分组，数值为45。
因此中位数 = $\frac{40+45}{2}$ = 42.5。
【答案】45；42.5
【知识点】众数定义，中位数计算
【点评】本题结合校园活动情境考查统计基础概念的应用，属于常规基础题，易错点是偶数个数据的中位数需要取中间两个数的平均值，不要误将第10个或第11个数据直接作为中位数，理清众数、中位数的定义即可顺利解题。
【难度系数】0.7
我们可以分两步来思考解题：第一步先确定a的值，首先已知总共有20名受访同学，先把表格里的人数相加4+6+7+3=20，说明a对应的组人数7是所有组里最多的，题目给出众数是45，众数就是一组数据里出现次数最多的数，所以a对应的诵读时间就是45，直接得到a的值。第二步求中位数，总共有20个数据，是偶数个，中位数是从小到大排序后第10个和第11个数据的平均数，我们累加人数定位这两个数：前两组35分、40分的总人数是4+6=10，说明第10个数据是40，第11个数据就是下一组的45，计算两个数的平均值就能得到中位数。
【解析】
解：
1. 计算a的值：
已知调查总人数为20，各组人数之和为4+6+7+3=20，可见诵读时间为a的组的人数7是所有分组中人数最多的。
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值为众数，题目给出众数为45，因此a=45。
2. 计算中位数：
将20名同学的诵读时间从小到大排序，共20个数据，偶数个数据的中位数为排序后第10个数据与第11个数据的平均数。
累加人数：诵读时间35分的共4人，对应排序后第1~4个数据；诵读时间40分的共6人，对应排序后第5~10个数据，因此第10个数据为40；第11个数据属于诵读时间为45的分组，数值为45。
因此中位数 = $\frac{40+45}{2}$ = 42.5。
【答案】45；42.5
【知识点】众数定义，中位数计算
【点评】本题结合校园活动情境考查统计基础概念的应用，属于常规基础题，易错点是偶数个数据的中位数需要取中间两个数的平均值，不要误将第10个或第11个数据直接作为中位数，理清众数、中位数的定义即可顺利解题。
【难度系数】0.7
