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19. 先化简,再求值:$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 1} ÷ (x + 1 - \dfrac{2x - 1}{x - 1})$,其中$x = 5$.
答案
19. 解:原式$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ (\dfrac{x^2-1}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x-1})$(1分)
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2-2x}{x-1}$(2分)
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x-1}{x(x-2)}$(3分)
$=\dfrac{1}{x+1}$，(4分)
当$x=5$时，原式$=\dfrac{1}{5+1}=\dfrac{1}{6}$.(6分)
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2-2x}{x-1}$(2分)
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x-1}{x(x-2)}$(3分)
$=\dfrac{1}{x+1}$，(4分)
当$x=5$时，原式$=\dfrac{1}{5+1}=\dfrac{1}{6}$.(6分)
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：遵循分式混合运算的顺序，先计算括号内的式子，通过通分合并括号内的分式；再将除法转化为乘法，通过约分简化式子；最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ (\dfrac{x^2 -1}{x-1} - \dfrac{2x -1}{x-1})$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{(x^2 -1)-(2x -1)}{x-1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2 -2x}{x-1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{x-1}{x(x-2)}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
当$x=5$时，原式$=\dfrac{1}{5+1}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式的化简求值、分式的混合运算
【点评】
本题是分式章节的常规基础题，重点考查分式混合运算的顺序及通分、约分的基本技能，运算过程中需注意公因式的提取，整体运算逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路为：遵循分式混合运算的顺序，先计算括号内的式子，通过通分合并括号内的分式；再将除法转化为乘法，通过约分简化式子；最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ (\dfrac{x^2 -1}{x-1} - \dfrac{2x -1}{x-1})$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{(x^2 -1)-(2x -1)}{x-1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2 -2x}{x-1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{x-1}{x(x-2)}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
当$x=5$时，原式$=\dfrac{1}{5+1}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式的化简求值、分式的混合运算
【点评】
本题是分式章节的常规基础题，重点考查分式混合运算的顺序及通分、约分的基本技能，运算过程中需注意公因式的提取，整体运算逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
20. 如图，$∠1+∠2=180°,∠A=∠3.$
(1) 判断 $AB// CD$ 是否成立，并说明理由.
(2) 若 $∠B=78°,∠BDE=2∠3$，求 $∠DEA$ 的度数.
(1) 判断 $AB// CD$ 是否成立，并说明理由.
(2) 若 $∠B=78°,∠BDE=2∠3$，求 $∠DEA$ 的度数.
答案
20. 解:(1)$AB// CD$成立(1分)，理由如下：
$\because ∠1+∠2=180°$，
$\therefore DE// AC$，
$\therefore ∠A=∠DEB.$
$\because ∠A=∠3$，
$\therefore ∠3=∠DEB$，
$\therefore AB// CD.$(3分)
(2)$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BDC+∠B=180°$，
$\therefore ∠BDE+∠3+∠B=180°.$
$\because ∠B=78°,∠BDE=2∠3$，
$\therefore 2∠3+∠3+78°=180°$，
$\therefore ∠3=34°.$(5分)
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠3+∠DEA=180°$，
$\therefore ∠DEA=180°-∠3=146°.$(6分)
$\because ∠1+∠2=180°$，
$\therefore DE// AC$，
$\therefore ∠A=∠DEB.$
$\because ∠A=∠3$，
$\therefore ∠3=∠DEB$，
$\therefore AB// CD.$(3分)
(2)$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BDC+∠B=180°$，
$\therefore ∠BDE+∠3+∠B=180°.$
$\because ∠B=78°,∠BDE=2∠3$，
$\therefore 2∠3+∠3+78°=180°$，
$\therefore ∠3=34°.$(5分)
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠3+∠DEA=180°$，
$\therefore ∠DEA=180°-∠3=146°.$(6分)
解析
【分析】
要判断AB是否平行CD，先利用已知∠1+∠2=180°，结合平行线判定定理推出DE//AC，进而得到∠A与∠DEB的关系，再结合∠A=∠3，通过等量代换得到同位角相等，从而判定AB//CD；第(2)问利用第(1)问的结论AB//CD，结合平行线的性质得到同旁内角互补，代入已知角度关系求出∠3，再利用平行线的性质求出∠DEA的度数。
【解析】
(1) AB//CD成立，理由如下：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ DE//AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠A = ∠DEB（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = ∠3，
∴ ∠3 = ∠DEB（等量代换），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ AB//CD，
∴ ∠BDC + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠BDC = ∠BDE + ∠3，
∴ ∠BDE + ∠3 + ∠B = 180°，
已知∠B = 78°，∠BDE = 2∠3，代入得：
2∠3 + ∠3 + 78° = 180°，
解得∠3 = 34°，
∵ AB//CD，
∴ ∠3 + ∠DEA = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠DEA = 180° - ∠3 = 180° - 34° = 146°。
【答案】
(1) AB//CD成立；(2) ∠DEA = 146°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题型，需熟练运用平行线的判定定理和性质定理，通过角的等量代换逐步推导，考查学生对几何基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
要判断AB是否平行CD，先利用已知∠1+∠2=180°，结合平行线判定定理推出DE//AC，进而得到∠A与∠DEB的关系，再结合∠A=∠3，通过等量代换得到同位角相等，从而判定AB//CD；第(2)问利用第(1)问的结论AB//CD，结合平行线的性质得到同旁内角互补，代入已知角度关系求出∠3，再利用平行线的性质求出∠DEA的度数。
【解析】
(1) AB//CD成立，理由如下：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ DE//AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠A = ∠DEB（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = ∠3，
∴ ∠3 = ∠DEB（等量代换），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ AB//CD，
∴ ∠BDC + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠BDC = ∠BDE + ∠3，
∴ ∠BDE + ∠3 + ∠B = 180°，
已知∠B = 78°，∠BDE = 2∠3，代入得：
2∠3 + ∠3 + 78° = 180°，
解得∠3 = 34°，
∵ AB//CD，
∴ ∠3 + ∠DEA = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠DEA = 180° - ∠3 = 180° - 34° = 146°。
【答案】
(1) AB//CD成立；(2) ∠DEA = 146°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题型，需熟练运用平行线的判定定理和性质定理，通过角的等量代换逐步推导，考查学生对几何基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
