22. (10分)(2025·衢州市柯城区期末)用图1所示的4张边长分别为m，n(m＞n)的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图2所示的大正方形ABCD，中间阴影部分是小正方形EFGH。
【字母表示】
(1)用含m，n的代数式表示大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差。
【观察归纳】
(2)观察图2，写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$之间的等量关系。
【问题解决】
(3)若$m-n=4,mn=1$，求$(m+n)^2$的值。

22.(1)解:由题图2,得大正方形的边长为$m + n$,因此面积为$(m + n)^2$;小正方形的边长为$m - n$,因此面积为$(m - n)^2$,所以大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差为$(m + n)^2 - (m - n)^2$;由拼图可知,大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差就是4个题图1的面积,即$4mn$,所以大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差为$(m + n)^2 - (m - n)^2$或$4mn$。
(2)解:由(1)可知,$(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$,即$(m + n)^2$,$(m - n)^2$,$mn$之间的等量关系为$(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$。
(3)解:因为$m - n = 4$,$mn = 1$,所以$(m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn = 16 + 4 = 20$。

【分析】
本题是通过几何拼图推导代数关系的题目。首先观察图2，确定大正方形和中间小正方形的边长与长方形长m、宽n的关系：大正方形边长为m+n，小正方形边长为m-n，由此可计算两者面积；再结合拼图的面积组成，面积差也等于4个长方形的面积，进而解决前两问；第三问利用前两问得到的等量关系，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 由图2可知，大正方形ABCD的边长为长方形的长与宽之和，即$m+n$，因此其面积为$(m+n)^2$；小正方形EFGH的边长为长方形的长与宽之差，即$m-n$，因此其面积为$(m-n)^2$。两者的面积差为$(m+n)^2 - (m-n)^2$。从拼图的面积组成来看，大正方形比小正方形多出的部分恰好是4个图1长方形的面积，每个长方形面积为$mn$，故面积差也为$4mn$。
(2) 由(1)中面积差的两种表达式相等，可得等量关系：$(m+n)^2 - (m-n)^2 = 4mn$。
(3) 已知$m-n=4$，$mn=1$，根据(2)的等量关系变形得：$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$，代入数值计算：$(m+n)^2 = 4^2 + 4×1 = 16 + 4 = 20$。
【答案】
(1) 大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差为$(m+n)^2 - (m-n)^2$或$4mn$；
(2) $(m+n)^2 - (m-n)^2 = 4mn$；
(3) $(m+n)^2$的值为20。
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，几何面积计算
【点评】
本题借助拼图的几何意义推导代数公式，体现了数形结合的数学思想，将抽象的代数关系转化为直观的图形关系，解题时需先明确图形边长与m、n的联系，再利用面积关系推导，是基础的代数几何综合题。
【难度系数】
0.5

23. (10分)(2025·杭州市钱塘区期末)一列整式依次为：$a_1=2m+3$，$a_2=a_1+2$，$a_3=a_2+2$，$a_4=a_3+2$，…；另一列整式依次为：$A_1=(m+1)^2$，$A_2=A_1+a_1$，$A_3=A_2+a_2$，$A_4=A_3+a_3$。
(1)求$a_2$和$a_3$(用含$m$的代数式表示)。
(2)求$A_2$和$A_3$，并归纳出$A_n$的规律(用含$m,n$的代数式表示)。
(3)若$A_{20}-A_{16}=200$，求$m$的值。

23.(1)解:由题意,得$a_2 = a_1 + 2 = 2m + 3 + 2 = 2m + 5$,$a_3 = a_2 + 2 = 2m + 5 + 2 = 2m + 7$。
(2)解:由题意,得$A_2 = A_1 + a_1 = (m + 1)^2 + 2m + 3 = m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2$,$A_3 = A_2 + a_2 = (m + 2)^2 + 2m + 5 = m^2 + 6m + 9 = (m + 3)^2$,以此类推,$A_n = (m + n)^2$。
(3)解:因为$A_{20} - A_{16} = 200$,所以$(m + 20)^2 - (m + 16)^2 = 200$,所以$(m + 20 + m + 16)(m + 20 - m - 16) = 200$,所以$4(2m + 36) = 200$,解得$m = 7$。

【分析】
首先观察a数列的递推关系：后一项比前一项多2，因此可直接通过a₁计算a₂、a₃；再看A数列的递推关系：后一项Aₙ等于前一项Aₙ₋₁加上对应的aₙ₋₁，代入a的表达式后通过整式运算化简，进而归纳出Aₙ的规律；最后利用Aₙ的规律写出A₂₀和A₁₆，结合平方差公式展开计算，解关于m的方程即可。
【解析】
(1) 根据题意，a₂ = a₁ + 2 = (2m + 3) + 2 = 2m + 5；a₃ = a₂ + 2 = (2m + 5) + 2 = 2m + 7。
(2) A₂ = A₁ + a₁ = (m+1)² + (2m+3) = m² + 2m +1 +2m +3 = m² +4m +4 = (m+2)²；
A₃ = A₂ + a₂ = (m+2)² + (2m+5) = m² +4m +4 +2m +5 = m² +6m +9 = (m+3)²；
以此类推，归纳得Aₙ=(m+n)²。
(3) 因为A₂₀ - A₁₆=200，代入规律得：(m+20)² - (m+16)²=200；
利用平方差公式展开：[(m+20)+(m+16)][(m+20)-(m+16)]=200；
化简得：(2m +36)×4=200；
两边除以4得：2m +36=50；
移项计算：2m=14，解得m=7。
【答案】
(1) a₂=2m+5，a₃=2m+7；(2) A₂=(m+2)²，A₃=(m+3)²，Aₙ=(m+n)²；(3) m=7
【知识点】
整式的加减运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题为整式规律探究题，核心考查递推关系的应用、整式运算及公式的灵活运用，解题关键是通过计算前几项归纳出Aₙ的规律，再借助公式简化计算过程。
【难度系数】
0.6