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24. (12分)(2025·台州市椒江区期末) 创新探究 小聪观察等式$(3a + b)(a + 2b)=3a^2 + 7ab + 2b^2$(按$a$降幂排序),发现如下规律:
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:
左边$=(3 + 1)×(1 + 2)=4×3=12$,右边$=3 + 7 + 2=12$,左边$=$右边。
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:
左边$=3×1=3$,右边$=3$,左边$=$右边。
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:
左边$=1×2=2$,右边$=2$,左边$=$右边。
(1)类比探究:
请通过展开计算$(2a - b)(-a + 2b)$,判断规律①和规律②是否成立(类比小聪的表述写出必要的过程)。
(2)基础应用:
请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a - b)(ma + nb)$的展开式中各项系数之和为
②若$t,r$为常数,满足$(ta - b)(a + rb)=2a^2 - 7ab + 3b^2$,则$t^r=$
(3)拓展应用:
若$p,q$为常数,且$(2a - b)(a - pb)=2a^2 + qab - 2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:
左边$=(3 + 1)×(1 + 2)=4×3=12$,右边$=3 + 7 + 2=12$,左边$=$右边。
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:
左边$=3×1=3$,右边$=3$,左边$=$右边。
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:
左边$=1×2=2$,右边$=2$,左边$=$右边。
(1)类比探究:
请通过展开计算$(2a - b)(-a + 2b)$,判断规律①和规律②是否成立(类比小聪的表述写出必要的过程)。
(2)基础应用:
请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a - b)(ma + nb)$的展开式中各项系数之和为
0
。②若$t,r$为常数,满足$(ta - b)(a + rb)=2a^2 - 7ab + 3b^2$,则$t^r=$
$\dfrac{1}{8}$
。(3)拓展应用:
若$p,q$为常数,且$(2a - b)(a - pb)=2a^2 + qab - 2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
答案
24.(1)解:展开计算:$(2a - b)(-a + 2b) = 2a × (-a) + 2a × 2b - b × (-a) - b × 2b = -2a^2 + 4ab + ab - 2b^2 = -2a^2 + 5ab - 2b^2$。验证规律:①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:左边$=[2 + (-1)] × [(-1) + 2] = 1 × 1 = 1$,右边$=(-2) + 5 + (-2) = 1$,左边$=$右边;②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:左边$=2 × (-1) = -2$,右边$=-2$,左边$=$右边:左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:左边$=(-1) × 2 = -2$,右边$=-2$,左边$=$右边。
(2)①0 ②$\dfrac{1}{8}$
(3)解:根据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组为
$\begin{cases}[2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2),\\(-1)·(-p)=-2,\end{cases}$
整理,得$\begin{cases}1-p=q,\\p=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=-2,\\q=3。\end{cases}$
(2)①0 ②$\dfrac{1}{8}$
(3)解:根据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组为
$\begin{cases}[2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2),\\(-1)·(-p)=-2,\end{cases}$
整理,得$\begin{cases}1-p=q,\\p=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=-2,\\q=3。\end{cases}$
解析
【分析】本题是规律探究类题目，需先明确题干给出的三条核心规律：①两个多项式各项系数之和的乘积等于展开后多项式各项系数之和；②两个多项式首项系数的乘积等于展开后多项式的首项系数；③两个多项式末项系数的乘积等于展开后多项式的末项系数。解题时，先通过展开多项式验证规律是否成立，再结合规律解决填空、求参数的问题，每一步需对应规律进行推导。
【解析】
(1) 展开计算多项式：
$(2a - b)(-a + 2b) = 2a·(-a) + 2a·2b - b·(-a) - b·2b = -2a² + 4ab + ab - 2b² = -2a² + 5ab - 2b²$。
验证规律：
① 左边两个多项式各项系数之和的乘积：$(2 - 1)×(-1 + 2) = 1×1 = 1$；右边多项式各项系数之和：$-2 + 5 - 2 = 1$，故规律①成立；
② 左边首项系数乘积：$2×(-1) = -2$，右边首项系数为$-2$，符合规律；左边末项系数乘积：$(-1)×2 = -2$，右边末项系数为$-2$，符合规律，故规律②成立。
(2) ① 根据规律①，令$a=1,b=1$，则$(a - b)(ma + nb) = (1 - 1)(m + n) = 0$，故展开式各项系数之和为$0$；
② 由规律：首项系数乘积$t×1 = 2$，得$t=2$；末项系数乘积$(-1)×r = 3$，得$r=-3$，则$t^r = 2^{-3} = \frac{1}{8}$。
(3) 根据规律列方程组：
由末项系数乘积：$(-1)×(-p) = -2$，得$p=-2$；
由各项系数和的乘积：$(2 - 1)(1 - p) = 2 + q - 2$，代入$p=-2$，得$1×(1 + 2) = q$，即$q=3$；
故$p=-2$，$q=3$。
【答案】
(1) 规律①和规律②均成立，过程见解析；
(2) ①$0$；②$\frac{1}{8}$；
(3) $p=-2$，$q=3$。
【知识点】多项式乘多项式，规律探究，代数式求值
【点评】本题结合多项式乘法展开，通过规律探究考查学生的类比推理与应用能力，解题关键是准确理解题干给出的三条规律，并灵活运用到不同问题中，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 展开计算多项式：
$(2a - b)(-a + 2b) = 2a·(-a) + 2a·2b - b·(-a) - b·2b = -2a² + 4ab + ab - 2b² = -2a² + 5ab - 2b²$。
验证规律：
① 左边两个多项式各项系数之和的乘积：$(2 - 1)×(-1 + 2) = 1×1 = 1$；右边多项式各项系数之和：$-2 + 5 - 2 = 1$，故规律①成立；
② 左边首项系数乘积：$2×(-1) = -2$，右边首项系数为$-2$，符合规律；左边末项系数乘积：$(-1)×2 = -2$，右边末项系数为$-2$，符合规律，故规律②成立。
(2) ① 根据规律①，令$a=1,b=1$，则$(a - b)(ma + nb) = (1 - 1)(m + n) = 0$，故展开式各项系数之和为$0$；
② 由规律：首项系数乘积$t×1 = 2$，得$t=2$；末项系数乘积$(-1)×r = 3$，得$r=-3$，则$t^r = 2^{-3} = \frac{1}{8}$。
(3) 根据规律列方程组：
由末项系数乘积：$(-1)×(-p) = -2$，得$p=-2$；
由各项系数和的乘积：$(2 - 1)(1 - p) = 2 + q - 2$，代入$p=-2$，得$1×(1 + 2) = q$，即$q=3$；
故$p=-2$，$q=3$。
【答案】
(1) 规律①和规律②均成立，过程见解析；
(2) ①$0$；②$\frac{1}{8}$；
(3) $p=-2$，$q=3$。
【知识点】多项式乘多项式，规律探究，代数式求值
【点评】本题结合多项式乘法展开，通过规律探究考查学生的类比推理与应用能力，解题关键是准确理解题干给出的三条规律，并灵活运用到不同问题中，难度适中。
【难度系数】0.5
