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1. (2025·宁波市南三县期末)如图，$□ ABCD$的对角线$AC,BD$交于点$O$，$∠ ADC=60°$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，联结$OE$。若$∠ CAE=30°$，则下列结论：①$AB=\dfrac{1}{2}BC$；②$OE ⊥ AC$；③$OB=OC$，正确的有（
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
1.A 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，所以∠ABC=60°，∠BAD=120°。因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=1/2∠BAD=60°，所以∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°+30°=90°，所以∠ACB=90°−60°=30°，所以AB=1/2 BC，故结论①正确；因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC。因为∠ACB=∠CAE=30°，所以AE=CE，所以OE⊥AC，故结论②正确；因为∠BAC=90°，所以AB²+OA²=OB²，所以OA≠OB。因为OA=OC，所以OB≠OC，故结论③错误。
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合平行四边形的性质、角平分线定义、直角三角形的性质逐步推导：首先利用平行四边形邻角互补求出∠BAD，再由角平分线得∠BAE，结合已知∠CAE算出∠BAC；接着在直角三角形ABC中利用30°角的性质判断①；再根据平行四边形对角线互相平分得OA=OC，结合角度关系推出AE=CE，利用等腰三角形三线合一判断②；最后通过直角三角形斜边与直角边的关系判断③。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD+∠ADC=180°，
∴ ∠BAD=180°−60°=120°。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=1/2∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°−∠ABC=90°−60°=30°，
∴ AB=1/2 BC，故结论①正确；
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于O，
∴ OA=OC，
∵ ∠CAE=30°，∠ACB=30°，
∴ ∠CAE=∠ACB，
∴ AE=CE，
∴ △AEC是等腰三角形，O为AC中点，
∴ OE⊥AC，故结论②正确；
在Rt△AOB中，OB是斜边，OA是直角边，
∴ OB＞OA，
又
∵ OA=OC，
∴ OB＞OC，故结论③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的性质及直角三角形的相关性质，解题关键是通过角度关系推导边的关系，需熟练掌握几何图形的基本性质，逐步分析各结论的正确性。
【难度系数】
0.6
要判断各结论是否正确，需结合平行四边形的性质、角平分线定义、直角三角形的性质逐步推导：首先利用平行四边形邻角互补求出∠BAD，再由角平分线得∠BAE，结合已知∠CAE算出∠BAC；接着在直角三角形ABC中利用30°角的性质判断①；再根据平行四边形对角线互相平分得OA=OC，结合角度关系推出AE=CE，利用等腰三角形三线合一判断②；最后通过直角三角形斜边与直角边的关系判断③。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD+∠ADC=180°，
∴ ∠BAD=180°−60°=120°。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=1/2∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°−∠ABC=90°−60°=30°，
∴ AB=1/2 BC，故结论①正确；
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于O，
∴ OA=OC，
∵ ∠CAE=30°，∠ACB=30°，
∴ ∠CAE=∠ACB，
∴ AE=CE，
∴ △AEC是等腰三角形，O为AC中点，
∴ OE⊥AC，故结论②正确；
在Rt△AOB中，OB是斜边，OA是直角边，
∴ OB＞OA，
又
∵ OA=OC，
∴ OB＞OC，故结论③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的性质及直角三角形的相关性质，解题关键是通过角度关系推导边的关系，需熟练掌握几何图形的基本性质，逐步分析各结论的正确性。
【难度系数】
0.6
2.(2025·嘉兴市海宁市校级期末模拟)如图,已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形,$∠D=60°$,联结AF,并延长交BE于点P,若$AP⊥BE$,$AB=3$,$BC=2$,$AF=1$,则BE的长为 (
A.5
B.$2\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{2}$
D
)A.5
B.$2\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
2.D 【解析】如图,过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H,联结BD,DE。因为四边形ABCD是平行四边形,AB=3,∠ADC=60°,所以CD=AB=3,∠DCH=∠ABC=∠ADC=60°。因为DH⊥BC,AD//BC,所以∠DHC=∠ADH=90°,所以∠ADC+∠CDH=∠ADH=90°,所以∠CDH=30°。在Rt△DCH中,CH=1/2 CD=3/2,DH=√CD²−CH²=3√3/2,所以BD²=BH²+DH²=(2+3/2)²+(3√3/2)²=19。因为四边形BCEF是平行四边形,所以AD=BC=EF,AD//BC//EF,所以四边形ADEF是平行四边形,所以AF//DE,AF=DE=1。因为AP⊥BE,所以DE⊥BE,所以BE²=BD²−DE²=19−1=18,所以BE=3√2。
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行四边形的性质推导线段关系，结合勾股定理计算BE的长度。首先，由两个平行四边形的性质可判定四边形ADEF为平行四边形，得到AF=DE；再通过作辅助线构造直角三角形，求出BD的长度；最后利用AP⊥BE推出DE⊥BE，在Rt△BDE中，由勾股定理即可算出BE的长。
【解析】
1. 推导线段关系：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=3，AD=BC=2，∠ADC=∠ABC=60°，AD//BC。
∵ 四边形BCEF是平行四边形，
∴ BC//EF，BC=EF=2，
∴ AD//EF，AD=EF，故四边形ADEF是平行四边形，得AF//DE，AF=DE=1。
2. 求BD的长度：
过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵ AD//BC，
∴ ∠DCH=∠ADC=60°，又DH⊥BC，
∴ ∠CDH=30°。
在Rt△DCH中，CD=3，
∴ CH=½CD=3/2，DH=√(CD² - CH²)= (3√3)/2。
则BH=BC + CH=2 + 3/2=7/2，在Rt△BDH中，BD²=BH² + DH²=(7/2)² + (3√3/2)²=19。
3. 计算BE的长度：
∵ AP⊥BE，AF//DE，
∴ DE⊥BE，即∠DEB=90°，△BDE是直角三角形。
由勾股定理得：BE²=BD² - DE²=19 - 1²=18，
∴ BE=√18=3√2。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用，关键是通过辅助线构造直角三角形求出BD的长度，再利用平行四边形得到DE与AF的等量关系，进而在直角三角形中计算BE，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行四边形的性质推导线段关系，结合勾股定理计算BE的长度。首先，由两个平行四边形的性质可判定四边形ADEF为平行四边形，得到AF=DE；再通过作辅助线构造直角三角形，求出BD的长度；最后利用AP⊥BE推出DE⊥BE，在Rt△BDE中，由勾股定理即可算出BE的长。
【解析】
1. 推导线段关系：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=3，AD=BC=2，∠ADC=∠ABC=60°，AD//BC。
∵ 四边形BCEF是平行四边形，
∴ BC//EF，BC=EF=2，
∴ AD//EF，AD=EF，故四边形ADEF是平行四边形，得AF//DE，AF=DE=1。
2. 求BD的长度：
过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵ AD//BC，
∴ ∠DCH=∠ADC=60°，又DH⊥BC，
∴ ∠CDH=30°。
在Rt△DCH中，CD=3，
∴ CH=½CD=3/2，DH=√(CD² - CH²)= (3√3)/2。
则BH=BC + CH=2 + 3/2=7/2，在Rt△BDH中，BD²=BH² + DH²=(7/2)² + (3√3/2)²=19。
3. 计算BE的长度：
∵ AP⊥BE，AF//DE，
∴ DE⊥BE，即∠DEB=90°，△BDE是直角三角形。
由勾股定理得：BE²=BD² - DE²=19 - 1²=18，
∴ BE=√18=3√2。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用，关键是通过辅助线构造直角三角形求出BD的长度，再利用平行四边形得到DE与AF的等量关系，进而在直角三角形中计算BE，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
3. (2025·绍兴市嵊州市期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB＞BC,∠DAB=45°,O是对角线AC的中点,点E在边CD上,联结OE,若CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的$\frac{1}{4}$,则要计算OE的长度,只需要知道（
A.平行四边形的周长
B.边AB的长
C.边BC的长
D.边AC的长
C
）A.平行四边形的周长
B.边AB的长
C.边BC的长
D.边AC的长
答案
3.C 【解析】如图,取CD的中点F,联结OF,过点O作OG⊥CD于点G。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AB//CD,所以∠DAB+∠ADC=180°,所以∠D=135°。设AD=BC=a,CD=b,则平行四边形ABCD的周长为2(a+b),CF=1/2 CD=1/2 b。因为CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的1/4,所以CE=1/2(a+b),所以EF=CE−CF=1/2 a。因为O是对角线AC的中点,F是CD的中点,所以OF//AD,OF=1/2 AD=1/2 a,所以∠OFD=180°−∠D=45°。因为OG⊥CD,所以△OGF为等腰直角三角形,所以FG=OG=√2/2 OF=√2/4 a,所以EG=EF−FG=1/2 a−√2/4 a=(2−√2)/4 a。在Rt△OEG中,由勾股定理,得OE=√OG²+EG²=√(2/16 a² + (6−4√2)/16 a²)=√(2−√2)/2 a,故只需要知道边BC的长,即可求出OE的长。
解析
【分析】
要计算OE的长度，需结合平行四边形性质、三角形中位线定理，通过构造辅助线转化线段关系。首先利用平行四边形对边相等，结合CE与周长的关系表示CE；再取CD中点F，由O是AC中点得OF是△ACD的中位线，进而得到OF与BC的关系，以及相关角的度数；最后通过等腰直角三角形和勾股定理，推导OE的表达式，判断所需条件。
【解析】
如图，取CD的中点F，联结OF，过点O作OG⊥CD于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°，又∠DAB=45°，
∴∠ADC=135°。
设BC=a，CD=b，则平行四边形ABCD的周长为2(a+b)，
∵CE的长度是平行四边形ABCD周长的$\frac{1}{4}$，
∴CE=$\frac{1}{4}×2(a+b)=\frac{a+b}{2}$。
∵F是CD中点，
∴CF=$\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}$，
∴EF=CE - CF=$\frac{a+b}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a}{2}$。
∵O是AC中点，F是CD中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF//AD，OF=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}a$，
∴∠OFD=180°-∠ADC=45°。
∵OG⊥CD，
∴△OGF是等腰直角三角形，
∴FG=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴EG=EF - FG=$\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}a=\frac{(2-\sqrt{2})a}{4}$。
在Rt△OEG中，由勾股定理：
OE=$\sqrt{OG^2 + EG^2}$
=$\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2 + (\frac{(2-\sqrt{2})a}{4})^2}$
=$\sqrt{\frac{2a^2 + (6-4\sqrt{2})a^2}{16}}$
=$\sqrt{\frac{(8-4\sqrt{2})a^2}{16}}$
=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}a$，
故OE的长度仅与a（即BC）有关，只需要知道边BC的长即可求出OE。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线、勾股定理
【点评】本题综合考查平行四边形、三角形中位线及勾股定理的应用，需通过构造辅助线转化线段关系，推导OE与BC的关联，解题关键是利用中位线性质和等腰直角三角形的边角关系。
【难度系数】0.5
要计算OE的长度，需结合平行四边形性质、三角形中位线定理，通过构造辅助线转化线段关系。首先利用平行四边形对边相等，结合CE与周长的关系表示CE；再取CD中点F，由O是AC中点得OF是△ACD的中位线，进而得到OF与BC的关系，以及相关角的度数；最后通过等腰直角三角形和勾股定理，推导OE的表达式，判断所需条件。
【解析】
如图，取CD的中点F，联结OF，过点O作OG⊥CD于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°，又∠DAB=45°，
∴∠ADC=135°。
设BC=a，CD=b，则平行四边形ABCD的周长为2(a+b)，
∵CE的长度是平行四边形ABCD周长的$\frac{1}{4}$，
∴CE=$\frac{1}{4}×2(a+b)=\frac{a+b}{2}$。
∵F是CD中点，
∴CF=$\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}$，
∴EF=CE - CF=$\frac{a+b}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a}{2}$。
∵O是AC中点，F是CD中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF//AD，OF=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}a$，
∴∠OFD=180°-∠ADC=45°。
∵OG⊥CD，
∴△OGF是等腰直角三角形，
∴FG=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴EG=EF - FG=$\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}a=\frac{(2-\sqrt{2})a}{4}$。
在Rt△OEG中，由勾股定理：
OE=$\sqrt{OG^2 + EG^2}$
=$\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2 + (\frac{(2-\sqrt{2})a}{4})^2}$
=$\sqrt{\frac{2a^2 + (6-4\sqrt{2})a^2}{16}}$
=$\sqrt{\frac{(8-4\sqrt{2})a^2}{16}}$
=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}a$，
故OE的长度仅与a（即BC）有关，只需要知道边BC的长即可求出OE。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线、勾股定理
【点评】本题综合考查平行四边形、三角形中位线及勾股定理的应用，需通过构造辅助线转化线段关系，推导OE与BC的关联，解题关键是利用中位线性质和等腰直角三角形的边角关系。
【难度系数】0.5
4. 创新探究【探索发现】小应发现:平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍。
【推理论证】如图1,四边形ABCD是平行四边形,求证:$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$。
小应的证明:作$AE ⊥ BC$于点E,$DF ⊥ BC$交BC的延长线于点F,由四边形ABCD是平行四边形,容易证得$△ ABE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS})$,得到$AE=DF,BE=CF$。设$BE=CF=a,CE=b,AE=DF=h$。在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$AC^{2}+BD^{2}=h^{2}+b^{2}+(2a+b)^{2}+h^{2}=4a^{2}+4ab+2b^{2}+2h^{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB^{2}=a^{2}+h^{2}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=······$
(1)请继续完成小应的证明。
【初步应用】(2)如图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,$AB=4,AD=6,BD=8$,求OA的长。
【拓展提升】(3)如图3,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D,E是斜边AB的三等分点,$CD=5,CE=2\sqrt{5}$,求AB的长。
【推理论证】如图1,四边形ABCD是平行四边形,求证:$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$。
小应的证明:作$AE ⊥ BC$于点E,$DF ⊥ BC$交BC的延长线于点F,由四边形ABCD是平行四边形,容易证得$△ ABE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS})$,得到$AE=DF,BE=CF$。设$BE=CF=a,CE=b,AE=DF=h$。在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$AC^{2}+BD^{2}=h^{2}+b^{2}+(2a+b)^{2}+h^{2}=4a^{2}+4ab+2b^{2}+2h^{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB^{2}=a^{2}+h^{2}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=······$
(1)请继续完成小应的证明。
【初步应用】(2)如图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,$AB=4,AD=6,BD=8$,求OA的长。
【拓展提升】(3)如图3,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D,E是斜边AB的三等分点,$CD=5,CE=2\sqrt{5}$,求AB的长。
答案
(1)解:在Rt△ABE中,AB²=a²+h²,所以AB²+BC²=a²+h²+(a+b)²=2a²+2ab+b²+h²,所以AC²+BD²=2(AB²+BC²)。
(2)解:因为AB=4,AD=6,BD=8,AC²+BD²=2(AB²+BC²),所以AC²=2(AB²+BC²)−BD²=2×(4²+6²)−8²=40,所以AC=2√10,所以OA=1/2 AC=√10。
(3)解:如图,以BD为对角线作平行四边形BCDF,联结EF,以AE为对角线作平行四边形ACEG,联结DG,则CF=2CE=4√5,CG=2CD=10。因为D,E是斜边AB的三等分点,所以BD=2/3 AB。设AB=3x,则BD=2x。由(1)得CF²+BD²=2(CD²+CB²),所以(4√5)²+(2x)²=2(5²+CB²),即CB²=2x²+15。同理可得,AE²+CG²=2(AC²+CE²),所以(2x)²+10²=2[AC²+(2√5)²],即AC²=2x²+30。又因为在Rt△ABC中,AC²+CB²=AB²=9x²,所以2x²+30+2x²+15=9x²,解得x=3,或x=−3(舍去),所以AB=3x=9。
解析
【分析】
本题分为三个部分：(1)需完成平行四边形对角线平方和定理的证明，利用勾股定理表示线段平方，结合平行四边形边长关系推导等式；(2)直接应用该定理，代入平行四边形边长和对角线长度计算OA；(3)通过构造平行四边形转化条件，结合定理与直角三角形勾股定理求解AB，核心是灵活运用平行四边形性质和勾股定理。
【解析】
(1) 继续完成证明：
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB^2=a^2+h^2$，平行四边形中$BC=BE+EC=a+b$，故$BC^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
则$AB^2+BC^2=(a^2+h^2)+(a^2+2ab+b^2)=2a^2+2ab+b^2+h^2$。
之前已得$AC^2+BD^2=4a^2+4ab+2b^2+2h^2=2(2a^2+2ab+b^2+h^2)$，因此$AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$，证明成立。
(2) 求OA的长：
平行四边形中$BC=AD=6$，根据定理$AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$，代入$AB=4,BC=6,BD=8$：
$AC^2=2×(4^2+6^2)-8^2=2×52-64=40$，故$AC=2\sqrt{10}$。
平行四边形对角线互相平分，因此$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{10}$。
(3) 求AB的长：
设$AB=3x$，因D、E是AB三等分点，故$BD=2x,AE=2x$。
构造平行四边形后，结合定理得：
对以BD为对角线的平行四边形，$(4\sqrt{5})^2+(2x)^2=2(5^2+CB^2)$，化简得$CB^2=2x^2+15$；
对以AE为对角线的平行四边形，$(2x)^2+10^2=2(AC^2+(2\sqrt{5})^2)$，化简得$AC^2=2x^2+30$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AC^2+CB^2=AB^2=9x^2$，代入得$2x^2+30+2x^2+15=9x^2$，解得$x=3$（舍去负根），故$AB=3x=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{10}$；(3) $9$
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、平行四边形对角线定理
【点评】
本题为创新探究题，从定理证明到应用再到拓展构造，逐步考查逻辑推理与知识迁移能力，需灵活运用平行四边形性质和勾股定理解决问题。
【难度系数】
0.5
本题分为三个部分：(1)需完成平行四边形对角线平方和定理的证明，利用勾股定理表示线段平方，结合平行四边形边长关系推导等式；(2)直接应用该定理，代入平行四边形边长和对角线长度计算OA；(3)通过构造平行四边形转化条件，结合定理与直角三角形勾股定理求解AB，核心是灵活运用平行四边形性质和勾股定理。
【解析】
(1) 继续完成证明：
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB^2=a^2+h^2$，平行四边形中$BC=BE+EC=a+b$，故$BC^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
则$AB^2+BC^2=(a^2+h^2)+(a^2+2ab+b^2)=2a^2+2ab+b^2+h^2$。
之前已得$AC^2+BD^2=4a^2+4ab+2b^2+2h^2=2(2a^2+2ab+b^2+h^2)$，因此$AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$，证明成立。
(2) 求OA的长：
平行四边形中$BC=AD=6$，根据定理$AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$，代入$AB=4,BC=6,BD=8$：
$AC^2=2×(4^2+6^2)-8^2=2×52-64=40$，故$AC=2\sqrt{10}$。
平行四边形对角线互相平分，因此$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{10}$。
(3) 求AB的长：
设$AB=3x$，因D、E是AB三等分点，故$BD=2x,AE=2x$。
构造平行四边形后，结合定理得：
对以BD为对角线的平行四边形，$(4\sqrt{5})^2+(2x)^2=2(5^2+CB^2)$，化简得$CB^2=2x^2+15$；
对以AE为对角线的平行四边形，$(2x)^2+10^2=2(AC^2+(2\sqrt{5})^2)$，化简得$AC^2=2x^2+30$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AC^2+CB^2=AB^2=9x^2$，代入得$2x^2+30+2x^2+15=9x^2$，解得$x=3$（舍去负根），故$AB=3x=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{10}$；(3) $9$
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、平行四边形对角线定理
【点评】
本题为创新探究题，从定理证明到应用再到拓展构造，逐步考查逻辑推理与知识迁移能力，需灵活运用平行四边形性质和勾股定理解决问题。
【难度系数】
0.5
