24.(12分)(2024·杭州市钱塘区期末)某校甲、乙两班进行一分钟踢毽子比赛,两班各派出10名学生参赛,比赛成绩如下:
甲班10名学生比赛成绩(单位:个):10,11,12,18,19,19,25,26,29,31;
乙班10名学生比赛成绩(单位:个):13,14,15,17,20,20,21,25,25,30。
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)请分别求出甲、乙两班比赛成绩的众数。
(2)有同学认为“若甲班再增加一名同学踢毽子,则甲班比赛成绩的中位数一定发生改变”,你认为这个说法正确吗?请说明理由。
(3)甲班共有学生35人,乙班共有学生40人,现全部参赛。按比赛规定,成绩不低于20个就可以获奖,请估计这两个班可以获奖的学生总人数。

24.(1)解:因为甲班10名学生比赛成绩中,出现次数最多的是19,出现2次,所以甲班比赛成绩的众数是19个。因为乙班10名学生比赛成绩中,出现次数最多的是20,25,各出现2次,所以乙班比赛成绩的众数是20个,25个。
(2)解:不正确。理由如下:因为甲班10名学生比赛成绩(单位:个):10,11,12,18,19,19,25,26,29,31,所以中位数为$\frac{19+19}{2}=19$(个)。若甲班再增加一名同学踢毽子,则一共11个数据,假设该学生的成绩记作$x$,则有11名学生,新的中位数是第6个成绩。若$x＜19$,则第6个成绩是19;若$x=19$,则第6个成绩是19;若$x＞19$,则第6个成绩是19,所以不管这名同学的成绩是多少,这组新数据的第6个成绩都是19,即新的中位数是19,故中位数不变。
(3)解:因为甲班10名学生中成绩不低于20个的有4名,乙班10名学生中成绩不低于20个的有6名,所以估计这两个班可以获奖的学生总人数有$35×\frac{4}{10}+40×\frac{6}{10}=38$(人)。答:估计这两个班可以获奖的学生总人数有38人。

【分析】
本题围绕统计中的众数、中位数及用样本估计总体展开，需结合各统计量的定义和实际应用解题：
(1) 众数是一组数据中出现次数最多的数，需分别统计甲、乙两班成绩的出现次数，确定出现次数最多的数；
(2) 中位数的定义：数据总数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数；数据总数为奇数时，中位数是中间位置的数，先算甲班原中位数，再分析新增1个数据后中位数是否变化；
(3) 利用样本估计总体，先计算两班参赛样本中获奖（成绩≥20）的比例，再分别乘以两班总人数求和，得到总获奖人数。
【解析】
(1) 甲班10名学生成绩中，19出现2次，其余数均出现1次，故甲班众数为19个；乙班10名学生成绩中，20和25各出现2次，其余数均出现1次，故乙班众数为20个、25个。
(2) 该说法不正确。理由：甲班原10个数据的中位数为中间第5、6个数的平均数，即$\frac{19+19}{2}=19$个。新增1名学生后共11个数据，中位数为排序后第6个数据，无论新增成绩小于19、等于19还是大于19，排序后第6个数据均为19，故中位数不变，说法错误。
(3) 甲班10名参赛学生中，成绩≥20的有4人，获奖比例为$\frac{4}{10}$；乙班10名参赛学生中，成绩≥20的有6人，获奖比例为$\frac{6}{10}$。两班总获奖人数估计为：$35×\frac{4}{10}+40×\frac{6}{10}=14+24=38$人。
【答案】
(1) 甲班众数为19个，乙班众数为20个、25个；(2) 说法不正确，理由见解析；(3) 估计两班获奖总人数为38人。
【知识点】
众数；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计核心基础概念，涵盖众数、中位数的计算及用样本估计总体的实际应用，需准确掌握各统计量的定义，尤其是中位数随数据个数变化的规律，属于期末考基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7