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22. (10分)(2025·杭州市钱塘区期末)某校组织甲、乙两个班级各20名学生进行文艺汇演的队形编排训练,为了解两班参加训练学生的身高情况(单位:cm),测量并整理了相关数据如下:
(一)甲班20名学生的身高:
(二)甲、乙两班学生身高的平均数、中位数、众数:
(1)求$a,b$的值。
(2)在甲班的20名学生中,高于平均身高的人数为$m_1$,在乙班的20名学生中,高于平均身高的人数为$m_2$,请结合中位数直接写出$m_1$与$m_2$的大小关系。
(3)若从甲班20名学生中挑选17人参加正式汇演,在平均身高不变的情况下,应如何选取,可以使17人的身高尽可能整齐?请写出未被选取的3名学生的身高。
(一)甲班20名学生的身高:
(二)甲、乙两班学生身高的平均数、中位数、众数:
(1)求$a,b$的值。
(2)在甲班的20名学生中,高于平均身高的人数为$m_1$,在乙班的20名学生中,高于平均身高的人数为$m_2$,请结合中位数直接写出$m_1$与$m_2$的大小关系。
(3)若从甲班20名学生中挑选17人参加正式汇演,在平均身高不变的情况下,应如何选取,可以使17人的身高尽可能整齐?请写出未被选取的3名学生的身高。
答案
22.(1)解:把甲班20名学生的身高从小到大排列,排在中间的数是168,169,故中位数$a=\frac{168+169}{2}=168.5$;甲班20名学生的身高中166出现的次数最多,故众数$b=166$。
(2)解:$m_1＜m_2$。【解析】由题意,得甲、乙两个班的平均身高均为169,由甲班20名学生的身高可知,$m_1=9$;由乙班20名学生的身高的中位数为171可知,$m_2≥10$,所以$m_1＜m_2$。
(3)解:因为151,178,178和平均身高差得多,且三人的平均身高为169,所以在平均身高不变的情况下,挑选17人参加正式汇演,未被选取的3名学生的身高分别为151 cm,178 cm,178 cm。
(2)解:$m_1＜m_2$。【解析】由题意,得甲、乙两个班的平均身高均为169,由甲班20名学生的身高可知,$m_1=9$;由乙班20名学生的身高的中位数为171可知,$m_2≥10$,所以$m_1＜m_2$。
(3)解:因为151,178,178和平均身高差得多,且三人的平均身高为169,所以在平均身高不变的情况下,挑选17人参加正式汇演,未被选取的3名学生的身高分别为151 cm,178 cm,178 cm。
解析
【分析】
本题考查统计中中位数、众数、平均数的应用，解题思路如下：
1. 求甲班的中位数a和众数b：20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数，需先将甲班身高从小到大排列，找到中间两个数计算平均值；众数是出现次数最多的数，直接统计甲班身高的出现次数即可。
2. 比较m₁与m₂：已知两班平均身高均为169cm，结合甲班中位数168.5cm、乙班中位数171cm，分析高于平均身高的人数范围。
3. 选取17人使身高整齐：身高整齐即数据波动小，需保证平均身高不变，去掉与平均身高偏差大的学生，且剩余17人的平均仍为169cm。
【解析】
(1) 甲班共20名学生，将身高从小到大排列后，第10个和第11个数据为168、169，因此中位数$a=\frac{168+169}{2}=168.5$；甲班身高中166出现次数最多，故众数$b=166$。
(2) 甲、乙两班平均身高均为169cm。甲班中位数为168.5cm，说明甲班身高≤168.5的有10人，高于169的人数$m_1＜10$；乙班中位数为171cm，说明乙班身高≥171的有10人，高于169的人数$m_2≥10$，因此$m_1＜m_2$。
(3) 要使17人身高尽可能整齐，需保留与平均身高（169cm）偏差小的学生，去掉偏差大的。甲班中151cm与平均差18cm，178cm与平均差9cm，且$\frac{151+178+178}{3}=169$，因此未被选取的3名学生身高为151cm、178cm、178cm。
【答案】
(1) $a=168.5$，$b=166$；
(2) $m_1＜m_2$；
(3) 未被选取的3名学生身高为151cm、178cm、178cm。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题考查统计中核心统计量的基础应用，需掌握中位数、众数的计算方法及平均数的实际意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查统计中中位数、众数、平均数的应用，解题思路如下：
1. 求甲班的中位数a和众数b：20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数，需先将甲班身高从小到大排列，找到中间两个数计算平均值；众数是出现次数最多的数，直接统计甲班身高的出现次数即可。
2. 比较m₁与m₂：已知两班平均身高均为169cm，结合甲班中位数168.5cm、乙班中位数171cm，分析高于平均身高的人数范围。
3. 选取17人使身高整齐：身高整齐即数据波动小，需保证平均身高不变，去掉与平均身高偏差大的学生，且剩余17人的平均仍为169cm。
【解析】
(1) 甲班共20名学生，将身高从小到大排列后，第10个和第11个数据为168、169，因此中位数$a=\frac{168+169}{2}=168.5$；甲班身高中166出现次数最多，故众数$b=166$。
(2) 甲、乙两班平均身高均为169cm。甲班中位数为168.5cm，说明甲班身高≤168.5的有10人，高于169的人数$m_1＜10$；乙班中位数为171cm，说明乙班身高≥171的有10人，高于169的人数$m_2≥10$，因此$m_1＜m_2$。
(3) 要使17人身高尽可能整齐，需保留与平均身高（169cm）偏差小的学生，去掉偏差大的。甲班中151cm与平均差18cm，178cm与平均差9cm，且$\frac{151+178+178}{3}=169$，因此未被选取的3名学生身高为151cm、178cm、178cm。
【答案】
(1) $a=168.5$，$b=166$；
(2) $m_1＜m_2$；
(3) 未被选取的3名学生身高为151cm、178cm、178cm。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题考查统计中核心统计量的基础应用，需掌握中位数、众数的计算方法及平均数的实际意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
23.(10分)某校组织校园安全知识竞赛,甲、乙两组的测试成绩如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95。
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图。
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解,谈谈你对这两组成绩的看法。
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95。
(1)求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图。
(3)请根据你对箱线图和四分位数的理解,谈谈你对这两组成绩的看法。
答案
23.(1)解:把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100。其中最小值是60,下四分位数是70,中位数是$\frac{89+91}{2}=90$,上四分位数是96,最大值是100。
(2)解:甲组的箱线图如图所示。
(3)解:根据箱线图和四分位数,可知甲组的“箱子”更高,中间的成绩更分散;乙组的“箱子”更扁,中间的成绩更集中。(言之有理即可)
解析
【分析】
要解决本题，需掌握四分位数、中位数的计算方法，步骤为：①将数据从小到大排序；②根据数据总数确定各分位数的位置，计算对应统计量；③绘制箱线图需用到最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个统计量；④通过箱线图的分布特征对比两组数据的离散程度。
【解析】
(1) 计算甲组的统计量：
第一步，将甲组数据从小到大排列：60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，共10个数据。
最小值为排序后第1个数据：60；
下四分位数：位置为$\frac{10}{4}=2.5$，取第2、3个数据的平均值，即$\frac{70+70}{2}=70$；
中位数：位置为$\frac{10}{2}=5$，取第5、6个数据的平均值，即$\frac{89+91}{2}=90$；
上四分位数：位置为$\frac{3×10}{4}=7.5$，向上取整为第8个数据，即96；
最大值为排序后第10个数据：100。
(2) 甲组箱线图根据上述五个统计量绘制，如图所示：
(3) 对比两组箱线图：甲组的“箱子”（四分位间距）更大，说明甲组中间50%的成绩更分散；乙组的“箱子”更小，说明乙组中间成绩更集中，整体成绩的离散程度更小。
【答案】
23.(1) 甲组数据的最小值为60，下四分位数为70，中位数为90，上四分位数为96，最大值为100；
(2) 甲组的箱线图如图所示：；
(3) 甲组中间成绩更分散，乙组中间成绩更集中（言之有理即可）。
【知识点】四分位数、中位数、箱线图
【点评】本题考查统计中核心统计量的计算及箱线图的应用，需掌握分位数的计算规则，能通过箱线图分析数据的离散特征，是统计部分的基础应用题。
【难度系数】0.5
要解决本题，需掌握四分位数、中位数的计算方法，步骤为：①将数据从小到大排序；②根据数据总数确定各分位数的位置，计算对应统计量；③绘制箱线图需用到最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个统计量；④通过箱线图的分布特征对比两组数据的离散程度。
【解析】
(1) 计算甲组的统计量：
第一步，将甲组数据从小到大排列：60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，共10个数据。
最小值为排序后第1个数据：60；
下四分位数：位置为$\frac{10}{4}=2.5$，取第2、3个数据的平均值，即$\frac{70+70}{2}=70$；
中位数：位置为$\frac{10}{2}=5$，取第5、6个数据的平均值，即$\frac{89+91}{2}=90$；
上四分位数：位置为$\frac{3×10}{4}=7.5$，向上取整为第8个数据，即96；
最大值为排序后第10个数据：100。
(2) 甲组箱线图根据上述五个统计量绘制，如图所示：
(3) 对比两组箱线图：甲组的“箱子”（四分位间距）更大，说明甲组中间50%的成绩更分散；乙组的“箱子”更小，说明乙组中间成绩更集中，整体成绩的离散程度更小。
【答案】
23.(1) 甲组数据的最小值为60，下四分位数为70，中位数为90，上四分位数为96，最大值为100；
(2) 甲组的箱线图如图所示：
；(3) 甲组中间成绩更分散，乙组中间成绩更集中（言之有理即可）。
【知识点】四分位数、中位数、箱线图
【点评】本题考查统计中核心统计量的计算及箱线图的应用，需掌握分位数的计算规则，能通过箱线图分析数据的离散特征，是统计部分的基础应用题。
【难度系数】0.5
