10. 如图,一个六边形的6个内角都是$120°$,其相邻四边的长依次是1,9,9,5,求这个六边形的周长.

10. 如图,延长并反向延长AB,CD,EF,分别交于G,N,H三点.$\because$ 六边形ABCDEF的每个内角都是120°,$\therefore$ 其每个外角均为60°,$\therefore △ GBC$,$△ HAF$,$△ NDE$都是等边三角形,$\therefore ∠ G=∠ H=∠ N=60°$,$\therefore △ GHN$是等边三角形.$\therefore$ 六边形ABCDEF的周长$=HN+AG+CD=NG+AG+CD=(9+9+5)+(1+9)+9=42$,即这个六边形的周长为42.

【分析】
要求该六边形的周长，已知4条边的长度，只需得出剩余2条边的长度和即可。由于六边形所有内角都是120°，可推出每个外角均为60°，此时我们可以通过延长六边形不相邻的边，构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质，建立已知边长和未知边长的关联，进而求解周长，这种补形法是解决这类特殊多边形问题的常用思路。
【解析】
解：如图，延长并反向延长AB，CD，EF，分别交于G，N，H三点。
∵ 六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴ 它的每个外角均为$180°-120°=60°$，
∴ $△ GBC$、$△ HAF$、$△ NDE$都是等边三角形，
∴ $∠ G=∠ H=∠ N=60°$，
∴ $△ GHN$是等边三角形。
根据等边三角形三边相等的性质：
$GC=BC=9$，$DN=DE=5$，因此等边$△ GHN$的边长$GN=GC+CD+DN=9+9+5=23$，即$GH=HN=23$。
已知$AB=1$，$GB=BC=9$，则$GH=GB+AB+AH=9+1+AH=23$，可得$AH=13$，即$△ HAF$的边长为13，因此$AF=13$；
又$HN=HF+EF+EN=13+EF+5=23$，可得$EF=5$。
因此六边形的周长为$1+9+9+5+5+13=42$。
【答案】
这个六边形的周长为42。

【知识点】
多边形内角与外角；等边三角形的判定与性质；多边形周长计算
【点评】
本题是典型的特殊多边形周长求解问题，核心是利用120°内角的特点补形构造等边三角形，将分散的边长条件整合，体现了几何问题的转化思想，能很好地考查学生对等边三角形性质的应用能力和几何构造思维。
【难度系数】
0.6

多边形是在同一平面内,由不在同一直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形.多边形中的一类特殊图形就是正多边形.正多边形的特征是各边相等、各内角也相等.现在我们通过类比多边形与正多边形的主要特征,进一步探究正多边形的一些性质.请根据表格中的要求完成填空:

多边形的特征 类比猜想→正多边形的特征
主要特征
①外角和为$360°$
②内角和为$(n-2)·180°$
①每个外角等于
②每个内角等于
举例(至少两个)
①四边形
②五边形
①
②
验证
参阅浙教版《数学》八下教材“多边形”部分
参阅浙教版《数学》九上教材“正多边形”部分
学法指导
正多边形的特征可抓住概念,参考多边形的特征,遵循“内角和→内角→外角和→外角”的研究过程.

$\dfrac{360°}{n}$,$\dfrac{(n-2)180°}{n}$ 举例:正方形、正五边形

【分析】
解题时先结合正多边形的特征：正n边形的所有内角相等、所有外角也相等，再利用已知的多边形通用性质推导：①任意多边形外角和固定为360°，将总外角度数平均分给n个相等的外角，即可得到单个外角的度数；②已知n边形内角和为$(n-2)·180°$，将总内角度数平均分给n个相等的内角，即可得到单个内角的度数。举例部分对应左侧的普通四边形、五边形，写出对应的正多边形即可。
【解析】
1. 推导正多边形每个外角的度数：
任意多边形的外角和均为$360°$，正n边形有n个大小相等的外角，因此每个外角的度数为$360°÷ n=\dfrac{360°}{n}$。
2. 推导正多边形每个内角的度数：
n边形的内角和为$(n-2)·180°$，正n边形有n个大小相等的内角，因此每个内角的度数为$(n-2)·180°÷ n=\dfrac{(n-2)180°}{n}$。
3. 举例：对应普通四边形、五边形，对应的正多边形为正方形（正四边形）、正五边形。
【答案】
$\dfrac{360°}{n}$，$\dfrac{(n-2)180°}{n}$；举例：正方形、正五边形
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和；正多边形的性质
【点评】
本题借助类比思想，从一般多边形的性质推导特殊正多边形的性质，侧重考查对基础概念的理解和从一般到特殊的逻辑推导能力，掌握正多边形各角相等的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8