19. (8 分)(2023·湖南娄底中考)几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行.为了建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取 $A$，$B$ 两点，并过点 $B$ 架设一水平线型轨道 $CD$(如图所示)，使得 $∠ ABC = α$，从点 $B$ 发按 $CD$ 方向前进 $20$ 米到达点 $E$，即 $BE = 20$ 米，测得 $∠ AEB = β$.已知 $\sin α=\frac{24}{25}$，$\tan β = 3$，求 $A$，$B$ 两点间的距离.

19. 解:如图，过A作AQ⊥CD于点Q.

∵sinα=$\frac{24}{25}$,即$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{24}{25}$,
设AQ=24x,则AB=25x，
∴BQ=$\sqrt{AB²−AQ²}$=7x.而BE=20,
∴QE=QB+BE=7x+20.
∵tanβ=3,
∴$\frac{AQ}{QE}$=3,即AQ=3QE.
∴24x=3(7x+20),
解得x=20.
∴AB=25x=25×20=500(米).
A,B两点间的距离为500米.