登录
21. (10 分)(2024·山东中考)【实践课题】测量湖边观测点 $A$ 和湖心岛上鸟类栖息点 $P$ 之间的距离.
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点 $B$，测量 $A$，$B$ 两点间的距离以及 $∠ PAB$ 和 $∠ PBA$，测量三次取平均值，得到数据：$AB = 60$ 米，$∠ PAB = 79^{\circ}$，$∠ PBA = 64^{\circ}$.画出示意图，如图①.
【问题解决】(1)计算 $A$，$P$ 两点间的距离.
(参考数据：$\sin 64^{\circ}\approx 0.90$，$\sin 79^{\circ}\approx 0.98$，$\cos 79^{\circ}\approx 0.19$，$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$，$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$)
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图②，选择合适的点 $D$，$E$，$F$，使得 $A$，$D$，$E$ 在同一条直线上，且 $AD = DE$，$∠ DEF = ∠ DAP$，当 $F$，$D$，$P$ 在同一条直线上时，只需测量 $EF$ 即可.
(2)乙小组的方案用到了
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点 $B$，测量 $A$，$B$ 两点间的距离以及 $∠ PAB$ 和 $∠ PBA$，测量三次取平均值，得到数据：$AB = 60$ 米，$∠ PAB = 79^{\circ}$，$∠ PBA = 64^{\circ}$.画出示意图，如图①.
【问题解决】(1)计算 $A$，$P$ 两点间的距离.
(参考数据：$\sin 64^{\circ}\approx 0.90$，$\sin 79^{\circ}\approx 0.98$，$\cos 79^{\circ}\approx 0.19$，$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$，$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$)
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图②，选择合适的点 $D$，$E$，$F$，使得 $A$，$D$，$E$ 在同一条直线上，且 $AD = DE$，$∠ DEF = ∠ DAP$，当 $F$，$D$，$P$ 在同一条直线上时，只需测量 $EF$ 即可.
(2)乙小组的方案用到了
②
.(填写正确答案的序号)①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.
答案
21. 解:(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H.
∵AB=60米,∠PAB=79°,
sin79°≈0.98,cos79°≈0.19,
∴AH=AB.cos79°≈60×0.19 =11.4(米)，
BH=AB.sin79°≈60×0.98 =58.8(米).
∵∠PAB=79°,∠PBA=64°,
∴∠APB=180°−79°−64°=37°.
∴tan∠APB=tan37°=$\frac{BH}{PH}$≈0.75.
∴PH≈$\frac{58.8}{0.75}$=78.4(米).
∴AP=AH+PH=11.4+78.4 =89.8(米).
即A,P两点间的距离为89.8米.
(2)②
