14.「2026福建泉州南安期中，★★☆」定义运算：$a*b=2ab$，若$a,b$是方程$x^2+x-m=0(m＞0)$的两个根，则$(a+1)*b+2a$的值为________（用含$m$的代数式表示）。

14.答案 $-2m-2$
解析 由根与系数的关系得$a+b=-1$,$ab=-m$.$\because a * b=2ab$,$\therefore (a+1) * b+2a=2(a+1)b+2a=2ab+2(a+b)=2×(-m)+2×(-1)=-2m-2$.

15. 聚焦中考跨学科主题学习「2026山东临沂月考，★★☆」当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流$I(\mathrm{A})$与其电阻$R(\Omega)$成反比例，$I$关于$R$的函数图象如图所示，当电流$I≤0.2$时，电阻$R$的取值范围是。

15.答案 $R≥15$
解析 设$I=\dfrac{U}{R}$,根据题图可知,当$R=30$时,$I=0.1$,故$0.1=\dfrac{U}{30}$,$\therefore U=3$,$\therefore I=\dfrac{3}{R}$.当$I=0.2$时,$R=\dfrac{3}{0.2}=15$,$\because U=3＞0$,$\therefore I$随$R$的增大而减小,$\therefore$ 当电路中的电流$I≤0.2$时,电阻$R$的取值范围是$R≥15$.

16.「2026黑龙江齐齐哈尔期末，★★☆」如图，在平面直角坐标系$xOy$中，矩形$OABC$的顶点$A$在$x$轴上，顶点$C$在$y$轴上，正方形$DEFG$的边$DE$在$BC$上，$AB=EF$.反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B$，阴影部分的面积为8，则$k$的值为。

16.答案 16
解析 如图,设$B(a,b)$,$OF$与$BC$交于点$M$,由题意可知$OA=a$,$OC=AB=b$,$∠ OCB=90°$,$\because$ 正方形$DEFG$的边$DE$在$BC$上,$AB=EF$,$\therefore CO=EF$,$∠ FED=90°$,在$△ OCM$和$△ FEM$中,$\begin{cases}∠ OCM=∠ FEM,\\∠ OMC=∠ FME,\\CO=EF,\end{cases}$ $\therefore △ OCM≌△ FEM(\mathrm{AAS})$,$\therefore S_{△ OCM}=S_{△ FEM}$,$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ FEM}+S_{△ OMB}=S_{△ OCM}+S_{△ OMB}=S_{△ OCB}=\dfrac{1}{2}ab=8$,$\therefore ab=16$,$\therefore k=ab=16$.

17.「2026河南洛阳洛龙期中，★★☆」如图，已知四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，BD平分$∠ ABC$，$DH ⊥ AB$于点H，$DH=\sqrt{3}$，$∠ ABC=120°$，则$AB+BC=$。

17.答案 2
解析 如图,过点$D$作$DG⊥ BC$交$BC$的延长线于点$G$,$\because BD$平分$∠ ABC$,$DH⊥ AB$,$DG⊥ BG$,$\therefore △ DHB≌△ DGB$,$\therefore DH=DG$,$BG=BH$.$\because BD$平分$∠ ABC$,$∠ ABC=120°$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\dfrac{1}{2}∠ ABC=60°$,$\therefore AD=CD$,$\because DH⊥ AB$,$DG⊥ BC$,$\therefore ∠ AHD=∠ CGD=90°$,又$\because AD=CD$,$DH=DG$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DHA≌\mathrm{Rt}△ DGC(\mathrm{HL})$,$\therefore AH=CG$,$\therefore AB+BC=AH+BH+BC=CG+BH+BC=BH+BG=2BH$,在$\mathrm{Rt}△ BDH$中,$∠ BDH=90°-∠ ABD=30°$,$\therefore BD=2BH$,$\because DH=\sqrt{3}$,$\therefore BH=1$,$BD=2$,$\therefore AB+BC=2BH=2$.

18. 学科特色 分类讨论思想「2026江西新余月考，★★☆」如图,在等腰直角$△ ABC$中,$AB=CB=4$,将等腰直角$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ AED$.连接$CE$,$BE$,当$△ BCE$为直角三角形时,$CE$的长度是.

18.答案 $4或4\sqrt{5}或\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
解析 分情况讨论:①如图1,$∠ BEC=90°$,过点$A$作$AH⊥ BE$于点$H$,$\therefore ∠ AHB=∠ BEC=90°$,$\therefore ∠ ABH+∠ BAH=90°$,$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ ABC = 90°$,$\therefore ∠ ABH+∠ CBE=90°$,$\therefore ∠ BAH=∠ CBE$,在$△ BAH$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ BAH=∠ CBE,\\∠ AHB=∠ BEC,\\BA=CB=4,\end{cases}$ $\therefore △ BAH≌△ CBE(\mathrm{AAS})$,$\therefore BH=CE$,$\because$ 将等腰直角$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转得到$△ AED$,$\therefore AE=AB=4$,又$\because AH⊥ BE$,$\therefore BH=EH=\dfrac{1}{2}BE$,$\therefore CE=BH=EH=\dfrac{1}{2}BE$,$\therefore BE=2CE$,在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,由勾股定理得$CE^2+BE^2=BC^2$,$\therefore CE^2+4CE^2=4^2$,解得$CE=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$(舍负).②当$∠ BCE=90°$时,$C$,$E$,$D$三点共线,如图2,由旋转的性质可知,$AE=AB=BC=4$,$∠ AED=∠ ABC=90°$,易知四边形$ABCE$是正方形,$\therefore CE=CB=4$.③当$∠ CBE=90°$时,$B$,$A$,$E$三点共线,如图3,由旋转的性质可知,$AE=AB=BC=4$,$\therefore BE=8$,在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,由勾股定理得$BC^2+BE^2=CE^2$,$\therefore 4^2+8^2=CE^2$,解得$CE=4\sqrt{5}$(舍负).综上所述,$CE$的长度是$4$或$4\sqrt{5}$或$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
知识拓展 因为$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转得到$△ AED$,所以点$E$在以点$A$为圆心,$AB$长为半径的圆上.当$△ BCE$为直角三角形时,三个内角均有可能为$90°$,需要分类讨论,画出示意图,根据图形求$CE$的长.