9.「2026北京东城期中，★★☆」如图，AB,AC,AD分别是直径为AE的$\odot O$的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若$AB=2$,给出下面四个结论:①$\odot O$的直径为4;②$AC=2\sqrt{2}$;③$AD=2AB$;④$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.上述结论中,所有正确结论的序号是 ()


A.①③④
B.①②
C.①②④
D.②③④

9.C 如图,连接$OB$,$OC$,$OD$,$OB$交$AD$于点$F$,$\because AB$,$AC$,$AD$分别是直径为$AE$的$\odot O$的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边,$\therefore ∠ AOB=\dfrac{1}{6}×360°=60°$,$∠ AOC=\dfrac{1}{4}×360°=90°$,$∠ AOD=\dfrac{1}{3}×360°=120°$,$OA=OB=OC=OD=OE$,$\therefore △ OAB$是等边三角形,$\therefore OA=AB=2$,$\therefore AE=OA+OE=4$,$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=2\sqrt{2}$,故①②正确.$\because ∠ AOB=60°$,$∠ AOD=120°$,$\therefore ∠ BOD=120°-60°=60°=∠ BOA$,$\therefore OF⊥ AD$,$\therefore AF=DF=\dfrac{1}{2}AD＜\dfrac{1}{2}AE=OA$,$\therefore AD＜2OA$,$\therefore AD＜2AB$,故③错误.$\because ∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=30°$,$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=30°$,$\therefore ∠ BOC=∠ COD$,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,故④正确.$\therefore$ ①②④正确.故选C.

10.「2025四川遂宁中考改编，★★★」如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数,且$a≠0$)的对称轴是直线$x=1$,且抛物线与$x$轴的一个公共点坐标是$(4,0)$,与$y$轴交点的坐标是$(0,m)$,且$2＜m＜3$.有下列结论:
①$abc＜0$;②$9a-3b+c＞0$;③$\frac{9}{4}＜y_{最大值}＜\frac{27}{8}$;④关于$x$的一元二次方程$ax^2+(b-1)x+c-2=0$必有两个不相等的实数根.其中正确的有 ()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

10.C $\because$ 抛物线开口向下,对称轴在$y$轴右侧,$\therefore a＜0$,$b＞0$,$\because$ 抛物线与$y$轴交于正半轴,$\therefore c＞0$,$\therefore abc＜0$,故①正确.$\because$ 抛物线与$x$轴的一个公共点坐标是$(4,0)$,对称轴为直线$x=1$,$\therefore$ 另一个公共点坐标为$(-2,0)$,$\therefore$ 当$x=-3$时,$y=9a-3b+c＜0$,故②错误.$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=1$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=1$,$\therefore b=-2a$,$\because$ 点$(-2,0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,$\therefore 4a-2b+c=8a+c=0$,$\therefore c=-8a$,$\because 2＜m＜3$,$\therefore 2＜c＜3$,$\therefore 2＜-8a＜3$,$\therefore \dfrac{1}{4}＜-a＜\dfrac{3}{8}$,当$x=1$时,$y$取得最大值,最大值为$a+b+c=a-2a-8a=-9a$,$\therefore \dfrac{9}{4}＜-9a＜\dfrac{27}{8}$,$\therefore \dfrac{9}{4}＜y_{最大值}＜\dfrac{27}{8}$,故③正确.对于④,$\because b=-2a$,$c=-8a$,$\therefore$ 原方程可化为$ax^2+(-2a-1)x-8a-2=0$,$\therefore \Delta=(-2a-1)^2+4a(8a+2)=36a^2+12a+1=(6a+1)^2$,由前面的推理可得$-\dfrac{3}{8}＜a＜-\dfrac{1}{4}$,$\therefore a≠-\dfrac{1}{6}$,$\therefore \Delta=(6a+1)^2＞0$,$\therefore$ 该方程必有两个不相等的实数根,故④正确.故正确的是①③④,共3个.故选C.

11.「2026湖北武汉江夏月考，★☆」已知$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的值为。

11.答案 -2
解析 $\because y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数,$\therefore m^2+m=2$且$m+1≠0$,解得$m=1$或$m=-2$,$\because$ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore m+1＜0$,$\therefore m＜-1$,$\therefore m=-2$.

12.「2026江苏南京期末，★☆」已知点$P(3a-1,2a+1)$关于原点的对称点在第四象限，则$a$的取值范围是。

12.答案 $-\dfrac{1}{2}＜a＜\dfrac{1}{3}$
解析 设点$P(3a-1,2a+1)$关于原点的对称点为$P'(-3a+1,-2a-1)$,$\because$ 点$P'$在第四象限,$\therefore \begin{cases}-3a+1＞0,\\-2a-1＜0,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{2}＜a＜\dfrac{1}{3}$.

13.「2026北京密云期末，★☆」已知点C在线段AB上，且$AC=3$，$BC=4$，以点C为圆心，r为半径作圆，若点A，B只有一个点在圆内，则r的值可以为（写出一个满足题意的值即可）。

13.答案 3.6(答案不唯一)
解析 $\because AC=3$,$BC=4$,$\therefore$ 点$A$在圆内,点$B$在圆上或圆外,$\therefore 3＜r≤4$,$\therefore r$的值可以为3.6(答案不唯一).