8.「2026山东日照五莲期中，★★☆」在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，那么称该点为“平衡点”.例如$(1,1)$，$(2025,2025)$都是“平衡点”.已知二次函数$y=-x^2+4x+c$的图象上有且只有一个“平衡点”，且当$0≤x≤m$时，函数$y=-x^2+4x+c-\frac{3}{4}$的最小值为$-3$，最大值为$1$，则$m$的取值范围是()

A.$-1≤m≤0$
B.$2≤m＜\frac{7}{2}$
C.$2≤m≤4$
D.$\frac{9}{4}＜m≤\frac{7}{2}$

8.C 设点P(x,x)为函数图象上的“平衡点”,代入解析式,得x=-x²+4x+c,整理,得x²-3x-c=0,
∵ 有且只有一个“平衡点”,
∴ Δ=(-3)²-4×1×(-c)=9+4c=0,解得c=-$\frac{9}{4}$,
∴ 函数y=-x²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-(x-2)²+1,
∴ 图象顶点坐标为(2,1),开口向下,当y=-3时,-(x-2)²+1=-3,解得x=0或x=4,
∵ 当0≤x≤m时,函数最小值为-3,最大值为1,
∴ 2≤m≤4.故选 C.

9. 学科特色 教材变式「2026天津东丽期中，★★☆」某种商品每件的进价为30元，若以每件$x$元的价格售出，可卖出$(80-x)$件，下列说法正确的是（）

A.这种商品的销售利润可表示为$x(80-x)$元
B.这种商品的销售利润随$x$的增大而增大
C.每件商品售价定为40元或50元时，销售这种商品可获得相同的利润
D.若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润

9.D 设这种商品的销售利润为y元,则y=(x-30)(80-x),故选项 A 说法错误;y=(x-30)(80-x)=-x²+110x-2 400,
∵ -1＜0,
∴ 函数图象开口向下,y随x的增大先增大后减小,故选项 B 说法错误;当x=40时,y=(40-30)×(80-40)=10×40=400,当x=50时,y=(50-30)×(80-50)=20×30=600,
∵ 400≠600,
∴ 选项 C 说法错误;
∵ 二次函数图象顶点横坐标为-$\frac{110}{2×(-1)}$=55,
∴ 当x=55时,利润最大,选项 D 说法正确.故选 D.

10.「2026山东烟台龙口期中，★☆☆」如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$与y轴交于点A，与x轴的一个公共点为B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且$CD=3$。当$AD+BC$的值最小时，点C的坐标为（）

A.(8,6)
B.(8,3)
C.(4,-2)
D.(4,1)

10.D

∵ y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$(x-4)²-2,
∴ 该抛物线的对称轴为直线x=4,如图,设抛物线与x轴的另一个公共点为F,当x=0时,y=6,
∴ A(0,6),当y=0时,0=$\frac{1}{2}$x²-4x+6,解得x₁=2,x₂=6,
∴ B(2,0),F(6,0),在y轴上取点E(0,3),连接CE,CF,EF,
∴ AE=3=CD,
∵ CD//AE,
∴ 四边形AECD是平行四边形,
∴ AD=CE,
∵ 抛物线的对称轴为直线x=4,
∴ BC=CF,
∴ AD+BC=CE+CF≥EF,当E,C,F三点共线,即点C在直线EF与直线x=4的交点位置时,AD+BC的值最小,设直线EF的解析式为y'=kx+b(k≠0),把(6,0),(0,3)代入,得$\begin{cases}6k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
∴ y'=-$\frac{1}{2}$x+3,当x=4时,y'=-$\frac{1}{2}$×4+3=1,
∴ 当AD+BC的值最小时,点C的坐标为(4,1).故选 D.

11.「2026辽宁沈阳期中，★☆」已知抛物线$y=x^2-(m+1)x+2$，若其顶点在$y$轴上，则$m=$。

11.答案 -1
解析

∵ 抛物线y=x²-(m+1)x+2的顶点在y轴上,
∴ -$\frac{(m+1)}{2×1}$=0,解得m=-1.