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9. 估计$10 - \sqrt{21}$的值在（
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
B
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
B $\because 4 = \sqrt{16} ＜ \sqrt{21} ＜ \sqrt{25} = 5,\therefore -5 ＜ -\sqrt{21} ＜ -4$,$\therefore 5 ＜ 10 - \sqrt{21} ＜ 6$.
10. [2026济南历城区模拟]实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (
A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
D
)A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
答案
D 根据题中数轴,可得$-1 ＜ a ＜ 0 ＜ 1 ＜ b ＜ 2$,$\therefore |a| ＜ |b|$,$a + b ＞ 0$,$a + 2 ＜ b + 2$.$\because |a - 1| = 1 - a = 1 + |a| ＞ 1$,$|b - 1| = b - 1 ＜ 1$,$\therefore |a - 1| ＞ |b - 1|$.
11. 正整数$a,b$分别满足$\sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98}$，$\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7}$，则$b^a =$
16
答案
16 $\because \sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{53} ＜ \sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{98} ＜ \sqrt[3]{125}$,即$3 ＜ \sqrt[3]{53} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{98} ＜ 5$,$1 ＜ \sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9} = 3$,$\therefore a = 4$,$b = 2$,$\therefore b^a = 2^4 = 16$.
1. 利用实数的性质比较大小 [2025 西安交大附中模拟] 下列各数中,最小的数是 (
A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
A
)A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
A $-(-2) = 2$,$-\sqrt{2} \approx -1.414$,$\because -2 ＜ -1.414 ＜ -\frac{1}{2} ＜ 2$,$\therefore -2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -\frac{1}{2} ＜ -(-2)$.
2. 利用数轴比较实数大小 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
A.$-b ＜ -a ＜ a ＜ b$
B.$-a ＜ -b ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$
D.$b ＜ -b ＜ -a ＜ a$
C
）A.$-b ＜ -a ＜ a ＜ b$
B.$-a ＜ -b ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$
D.$b ＜ -b ＜ -a ＜ a$
答案
C 根据题中数轴可得,$b ＜ -1 ＜ 0 ＜ a ＜ 1$,$\therefore -b ＞ 1$,$-1 ＜ -a ＜ 0$,$\therefore b ＜ -a ＜ a ＜ -b$.
3. 利用平方法(或立方法)比较实数大小 试比较4，$\sqrt{15}$与$\sqrt[3]{70}$的大小.
答案
解:$\because (\sqrt{15})^2 = 15$,$4^2 = 16$,$15 ＜ 16$,$\therefore \sqrt{15} ＜ 4$.
$\because 4^3 = 64$,$(\sqrt[3]{70})^3 = 70$,$64 ＜ 70$,
$\therefore 4 ＜ \sqrt[3]{70}$,$\therefore \sqrt{15} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{70}$.
$\because 4^3 = 64$,$(\sqrt[3]{70})^3 = 70$,$64 ＜ 70$,
$\therefore 4 ＜ \sqrt[3]{70}$,$\therefore \sqrt{15} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{70}$.
4. 利用作差法比较实数大小 课堂上,老师出了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.小明的解法如下:
解: $\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because 4^2=16＜19,\therefore \sqrt{19}＞4,\therefore \sqrt{19}-4＞0$,
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0,\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
利用上述方法比较$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$与$\frac{3}{4}$的大小.
解: $\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because 4^2=16＜19,\therefore \sqrt{19}＞4,\therefore \sqrt{19}-4＞0$,
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0,\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
利用上述方法比较$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$与$\frac{3}{4}$的大小.
答案
解:$\frac{9-\sqrt{22}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9-\sqrt{22}-3}{4} = \frac{6-\sqrt{22}}{4}$.
$\because 6^2 = 36 ＞ 22$,$\therefore 6 ＞ \sqrt{22}$,$\therefore 6 - \sqrt{22} ＞ 0$,
$\therefore \frac{6-\sqrt{22}}{4} ＞ 0$,$\therefore \frac{9-\sqrt{22}}{4} ＞ \frac{3}{4}$.
$\because 6^2 = 36 ＞ 22$,$\therefore 6 ＞ \sqrt{22}$,$\therefore 6 - \sqrt{22} ＞ 0$,
$\therefore \frac{6-\sqrt{22}}{4} ＞ 0$,$\therefore \frac{9-\sqrt{22}}{4} ＞ \frac{3}{4}$.
