△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一个动点，连接BP，CP，AP。若AB=7，AC=3，BC=8，则△APC的周长的最小值为。

1. 解题思路:若 $△ APC$ 的周长最小, 则 $AP + CP$ 的值最小. 根据线段垂直平分线的性质, 可得 $BP = CP$, 故根据“$AP + CP = AP + PB \ge AB$”即可求得 $△ APC$ 的周长的最小值.
$\because m$ 是 $BC$ 的垂直平分线, 点 $P$ 在直线 $m$ 上, $\therefore BP = CP$.
$\because △ APC$的周长为 $AC + PC + AP, \therefore △ APC$ 的周长为 $3 + BP + AP. \because AP + PB \ge AB = 7$(两点之间线段最短), $\therefore BP + AP$ 的最小值为 $7, \therefore △ APC$ 的周长的最小值为 $3 + 7 = 10$.

2. 根据线段之和与面积求线段长 [2026金华期末]如图，四边形ABDC的面积为16，AD平分∠BAC，AB+AC=10.
(1)求点D到AC的距离DE的长；
(2)若∠C+∠B=180°,求证:BD=DC.

2. (1)解:如图,过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC, DE ⊥ AC, \therefore DF = DE$.
$\because S_{\mathrm{四边形}ABDC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$,
$\therefore \frac{1}{2}AB · DF + \frac{1}{2}AC · DE = \frac{1}{2}DE(AB + AC) = \frac{1}{2}DE × 10 = 16, \therefore DE = \frac{16}{5}$.

(2)证明:由(1)得, $DF = DE, ∠ DEC = ∠ F = 90°$.
$\because ∠ C + ∠ ABD = 180°, ∠ DBF + ∠ ABD = 180°$,
$\therefore ∠ DBF = ∠ C$.
在 $△ DBF$ 和 $△ DCE$ 中,
$∠ DBF = ∠ C, ∠ F = ∠ DEC, DF = DE$,
$\therefore △ DBF ≌ △ DCE(\mathrm{AAS}), \therefore BD = DC$.

说法不一定正确的是 （）

A.$AF = BF$
B.$AE = \frac{1}{2}AC$
C.$∠ DBF + ∠ DFB = 90°$
D.$∠ BAF = ∠ EBC$

1. B
由题图中尺规作图痕迹可知, $BE$ 为 $∠ ABC$ 的平分线,直线 $DF$ 为线段 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AF = BF, ∠ BDF = 90°$, $∠ ABF = ∠ EBC, \therefore ∠ ABF = ∠ BAF, ∠ DBF + ∠ DFB = 90°$, $\therefore ∠ BAF = ∠ EBC$, 故选项 A,C,D 的说法都正确. 根据已知条件不能得出 $AE = \frac{1}{2}AC$, 故选项 B 的说法不一定正确.

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$CD$平分$∠ ACB$,交$AB$于点$D$.
(1)过点$B$作$BE ⊥$直线$CD$于点$E$;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)求证:$∠ ABE + 3∠ ACE = 90°$.

2. (1)解:如图, $BE$ 即所求.

(2)证明: $\because CE$ 平分 $∠ ACB, \therefore ∠ BCE = ∠ ACE$.
$\because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 2∠ ACE$.
$\because BE ⊥ CD, \therefore ∠ BEC = 90°$,
$\therefore ∠ ABE = 90° - ∠ BCE - ∠ ABC = 90° - 3∠ ACE$,
即 $∠ ABE + 3∠ ACE = 90°$.

3. 商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他，准备建造一座伊尹雕像. 如图1，经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到让周边A，B两个小区的人们都方便过来瞻仰，故雕像到A，B两个小区的距离也相等，请依据上述信息，在图2中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像P点的位置.（不写作法，保留作图痕迹）

3. 解:如图,点 $P$ 即所求.