在等腰三角形$ABC$纸片中，$AB = AC$。
【基础设问】
（1）命题“等腰三角形的两个腰上的高相等”是（填“真”或“假”）命题，其逆命题是，该逆命题是（填“真”或“假”）命题。
（2）如图，若点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，连接$BE$，$CD$。
①若$∠ DCB = ∠ EBC$，求证：$CD = BE$。
②若$BD = CE$，求证：$∠ DCB = ∠ EBC$。

【能力设问】

(1)真 如果一个三角形两条边上的高相等,那么该三角形是等腰三角形 真
∵ 三角形的面积是不变的,当高相等时,底边也相等,
∴ 如果一个三角形两条边上的高相等,那么该三角形是等腰三角形是真命题.
(2)证明:①
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ ∠DCB = ∠EBC,
∴ ∠ACD = ∠ABE.
在△ABE 和△ACD 中,
∵ ∠ABE = ∠ACD,AB = AC,∠A = ∠A,
∴ △ABE≌△ACD(ASA),
∴ CD = BE.
(同学们也可以利用“ASA”证明△DBC≌△ECB,从而得到CD = BE)
②
∵ AB = AC,BD = CE,
∴ AD = AE.
在△ABE 和△ACD 中,
∵ AB = AC,∠A = ∠A,AE = AD,
∴ △ABE≌△ACD(SAS),
∴ ∠ABE = ∠ACD.
∵ ∠ABC = ∠ACB,
∴ ∠DCB = ∠EBC.
(同学们也可以利用“SAS”证明△DBC≌△ECB,从而得到∠DCB = ∠EBC)

(3)亮亮想将该等腰三角形ABC纸片剪成三张小纸片,使得每张小纸片都是等腰三角形,且不能有剩余.他解决这一问题的思路如下:
根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”,可分别作AB,AC的垂直平分线交于点P,连接PA,PB,PC,沿线段PA,PB,PC剪开,可得到三个等腰三角形纸片.
①如图,根据亮亮的思路,请你分别作AB,AC的垂直平分线交于点P.(不写作法,保留作图痕迹)
②若$∠ BAC = 36°$,求这三个等腰三角形的顶角的度数.
③在②的条件下,求证:直线AP是线段BC的垂直平分线.

(4)如图,若三角形ABC纸片是一般的锐角三角形,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点O.
①若$∠ ABC=40°,∠ ACB=60°$,则$∠ BOC$的度数为.
②点O到BC的距离为2,$△ ABC$的周长为16,求$△ ABC$的面积.

(3)①解:
②解:,根据题意得,PA = PB = PC.
在△APB 和△APC 中,
∵ AB = AC,BP = CP,AP = AP,
∴ △APB≌△APC(SSS).
∵ ∠BAC = 36°,
∴ ∠BAP = ∠CAP = 18°.
∴ ∠PBA = ∠BAP = ∠CAP = ∠PCA = 18°,
∴ ∠APB = ∠APC = 180° - 18°×2 = 144°,
∴ ∠BPC = 360° - 2×144° = 72°,
∴ 等腰三角形 PAB 的顶角度数为 144°,等腰三角形 PBC 的顶角度数为72°,等腰三角形 PAC 的顶角度数为 144°.
③证明:根据②可得,AP 平分∠BAC.
∵ △ABC 是等腰三角形,AB = AC,
∴ AP⊥BC 且直线 AP 平分线段 BC,
∴ 直线 AP 是线段 BC 的垂直平分线.
(4)解:①130°
∵ BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,∠ABC = 40°,∠ACB = 60°,
∴ ∠OBC = 20°,∠OCB = 30°,
∴ ∠BOC = 180° - (30° + 20°) = 130°.
②如图3,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N,OM⊥AC 于点 M,OF⊥BC 于点 F,连接 AO.
∵ BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,点 O 到 BC 的距离为 2,
∴ OF = ON = OM = 2,
∴ S△ABC = S△AOB + S△AOC + S△BOC = 1/2 × 2AB + 1/2 × 2AC + 1/2 × 2BC = AB + AC + BC = 16.