母题鉴赏
提高奥数思维
【例题】简便计算。
(1)$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$
(2)$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{2×4}+\frac{2}{3×5}+…+\frac{2}{11×13}$
【分析】
观察算式特点，不难发现题(1)的分母中两个乘数的差均为1，与分子相同，并且题(2)的分母中两个乘数的差均为2，也与分子相同。我们可以总结出这两小题的共同特点：所有分子相同，均等于分母中两个乘数的差。
对于此类题型可以采用裂项相消法进行简便计算，如$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$…所以题(1)拆分后可得$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$，其中相同的分数一加一减刚好抵消，化简后即$\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=\frac{49}{100}$。
同理，题(2)原式$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}$
$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{11})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{13})$
$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{13}=\frac{209}{156}$。
【解答】

(1)$\frac{49}{100}$
(2)$\frac{209}{156}$

1. $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$

提示: 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$

2. $\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\dots+\frac{2}{2024×2026}$

提示: 原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}=\frac{506}{1013}$

3. $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{11×13}$

提示: 原式$=(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{11}-\frac{1}{13})÷2$
$=(1-\frac{1}{13})÷2=\frac{6}{13}$

4. $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{90}$

提示: 原式$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\dots+\frac{1}{9×10}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$