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3.计算：
(1) $99\frac{17}{18} × (-9)$；
(2) $-999\frac{8}{9} ÷ (-1\frac{1}{9})$。
(1) $99\frac{17}{18} × (-9)$；
(2) $-999\frac{8}{9} ÷ (-1\frac{1}{9})$。
答案
解：
(1) 原式$=(100 - \frac{1}{18}) × (-9)$
$=100×(-9) - \frac{1}{18}×(-9)$
$=-900 + \frac{1}{2}$
$=-899\frac{1}{2}$
(2) 原式$=999\frac{8}{9} ÷ 1\frac{1}{9}$
$=(1000 - \frac{1}{9}) × \frac{9}{10}$
$=1000×\frac{9}{10} - \frac{1}{9}×\frac{9}{10}$
$=900 - \frac{1}{10}$
$=899\frac{9}{10}$
(1) 原式$=(100 - \frac{1}{18}) × (-9)$
$=100×(-9) - \frac{1}{18}×(-9)$
$=-900 + \frac{1}{2}$
$=-899\frac{1}{2}$
(2) 原式$=999\frac{8}{9} ÷ 1\frac{1}{9}$
$=(1000 - \frac{1}{9}) × \frac{9}{10}$
$=1000×\frac{9}{10} - \frac{1}{9}×\frac{9}{10}$
$=900 - \frac{1}{10}$
$=899\frac{9}{10}$
解析
【分析】
这两道题都是带分数的有理数乘除运算，若直接将带分数化为假分数计算，数值大易出错。解题思路如下：①观察带分数的特征，发现它们都接近整百、整千数，因此可以把带分数拆成“整数 - 小分数”的形式；②除法运算先依据“除以一个数等于乘它的倒数”转化为乘法，同时先根据“同号得正，异号得负”确定结果的符号；③利用乘法分配律展开计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 把$99\frac{17}{18}$拆成$100 - \frac{1}{18}$，再利用乘法分配律计算：
原式$=(100 - \frac{1}{18}) × (-9)$
$=100×(-9) - \frac{1}{18}×(-9)$
$=-900 + \frac{1}{2}$
$=-899\frac{1}{2}$
(2) 先根据“负负得正”确定结果为正，再把除法转化为乘法，同时将$999\frac{8}{9}$拆成$1000 - \frac{1}{9}$，利用乘法分配律计算：
原式$=999\frac{8}{9} ÷ 1\frac{1}{9}$
$=(1000 - \frac{1}{9}) × \frac{9}{10}$
$=1000×\frac{9}{10} - \frac{1}{9}×\frac{9}{10}$
$=900 - \frac{1}{10}$
$=899\frac{9}{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-899\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{899\frac{9}{10}}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是有理数运算的典型简便计算题，核心技巧是将接近整十、整百、整千的带分数拆分后结合乘法分配律计算，能有效减少计算量、降低出错概率，是有理数运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.7
这两道题都是带分数的有理数乘除运算，若直接将带分数化为假分数计算，数值大易出错。解题思路如下：①观察带分数的特征，发现它们都接近整百、整千数，因此可以把带分数拆成“整数 - 小分数”的形式；②除法运算先依据“除以一个数等于乘它的倒数”转化为乘法，同时先根据“同号得正，异号得负”确定结果的符号；③利用乘法分配律展开计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 把$99\frac{17}{18}$拆成$100 - \frac{1}{18}$，再利用乘法分配律计算：
原式$=(100 - \frac{1}{18}) × (-9)$
$=100×(-9) - \frac{1}{18}×(-9)$
$=-900 + \frac{1}{2}$
$=-899\frac{1}{2}$
(2) 先根据“负负得正”确定结果为正，再把除法转化为乘法，同时将$999\frac{8}{9}$拆成$1000 - \frac{1}{9}$，利用乘法分配律计算：
原式$=999\frac{8}{9} ÷ 1\frac{1}{9}$
$=(1000 - \frac{1}{9}) × \frac{9}{10}$
$=1000×\frac{9}{10} - \frac{1}{9}×\frac{9}{10}$
$=900 - \frac{1}{10}$
$=899\frac{9}{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-899\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{899\frac{9}{10}}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是有理数运算的典型简便计算题，核心技巧是将接近整十、整百、整千的带分数拆分后结合乘法分配律计算，能有效减少计算量、降低出错概率，是有理数运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4.数学老师布置了一道思考题:计算$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})$.小明仔细思考了一番,用了一种不同的方法解答了这个问题.
原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})=(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$,所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$.
(1)请你通过计算验证小明解法的正确性;
(2)由此可以得到结论:一个非零数的倒数的倒数等于;
(3)请你运用小明的解法计算$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})$.
原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})=(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$,所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$.
(1)请你通过计算验证小明解法的正确性;
(2)由此可以得到结论:一个非零数的倒数的倒数等于;
(3)请你运用小明的解法计算$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})$.
答案
解：
(1) 先计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$
则原式$=(-\frac{1}{12})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{12})×(-2)=\frac{1}{6}$，
计算结果与小明所得结果一致，故小明的解法正确。
(2) 它本身
(3) 求原式的倒数：
$\begin{split}&(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})÷(-\frac{7}{8})\\=&(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})×(-\frac{8}{7})\\=&\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{8}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{12}×(-\frac{8}{7})\\=&-2+1+\frac{2}{3}\\=&-\frac{1}{3}\end{split}$
所以$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})=-3$
(1) 先计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$
则原式$=(-\frac{1}{12})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{12})×(-2)=\frac{1}{6}$，
计算结果与小明所得结果一致，故小明的解法正确。
(2) 它本身
(3) 求原式的倒数：
$\begin{split}&(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})÷(-\frac{7}{8})\\=&(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})×(-\frac{8}{7})\\=&\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{8}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{12}×(-\frac{8}{7})\\=&-2+1+\frac{2}{3}\\=&-\frac{1}{3}\end{split}$
所以$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})=-3$
解析
【分析】
（1）要验证小明解法是否正确，按照有理数混合运算的常规顺序计算即可：先计算括号内的减法，再计算括号外的除法，将得到的结果和小明的计算结果对比，若一致则解法正确。
（2）根据倒数的定义推导：设非零数为a，它的倒数是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$的倒数为a，因此可直接得到结论。
（3）模仿小明的解法，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，求出倒数的结果后，再取倒数即可得到原式的结果，该方法可避免先通分计算括号内的复杂运算。
【解析】
(1) 按照常规运算顺序计算：
先计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$
则原式$=(-\frac{1}{12})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{12})×(-2)=\frac{1}{6}$，
计算结果与小明所得结果一致，故小明的解法正确。
(2) 设非零数为$a(a≠0)$，则$a$的倒数是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$的倒数为$\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$，因此结论为：一个非零数的倒数的倒数等于它本身。
(3) 先求原式的倒数：
$\begin{split}&(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})÷(-\frac{7}{8})\\=&(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})×(-\frac{8}{7})\\=&\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{8}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{12}×(-\frac{8}{7})\\=&-2+1+\frac{2}{3}\\=&-\frac{1}{3}\end{split}$
所以$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$
【答案】
(1) 小明的解法正确；(2) 它本身；(3) $-3$
【知识点】
有理数混合运算、倒数的性质、乘法分配律
【点评】
本题重点考察有理数运算的简便技巧，通过先求倒数的方法，可将除数为多个分数和差的除法运算转化为更易计算的乘法分配律运算，有效减少通分的计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
（1）要验证小明解法是否正确，按照有理数混合运算的常规顺序计算即可：先计算括号内的减法，再计算括号外的除法，将得到的结果和小明的计算结果对比，若一致则解法正确。
（2）根据倒数的定义推导：设非零数为a，它的倒数是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$的倒数为a，因此可直接得到结论。
（3）模仿小明的解法，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，求出倒数的结果后，再取倒数即可得到原式的结果，该方法可避免先通分计算括号内的复杂运算。
【解析】
(1) 按照常规运算顺序计算：
先计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$
则原式$=(-\frac{1}{12})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{12})×(-2)=\frac{1}{6}$，
计算结果与小明所得结果一致，故小明的解法正确。
(2) 设非零数为$a(a≠0)$，则$a$的倒数是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$的倒数为$\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$，因此结论为：一个非零数的倒数的倒数等于它本身。
(3) 先求原式的倒数：
$\begin{split}&(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})÷(-\frac{7}{8})\\=&(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})×(-\frac{8}{7})\\=&\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{8}×(-\frac{8}{7})-\frac{7}{12}×(-\frac{8}{7})\\=&-2+1+\frac{2}{3}\\=&-\frac{1}{3}\end{split}$
所以$(-\frac{7}{8})÷(1\frac{3}{4}-\frac{7}{8}-\frac{7}{12})=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$
【答案】
(1) 小明的解法正确；(2) 它本身；(3) $-3$
【知识点】
有理数混合运算、倒数的性质、乘法分配律
【点评】
本题重点考察有理数运算的简便技巧，通过先求倒数的方法，可将除数为多个分数和差的除法运算转化为更易计算的乘法分配律运算，有效减少通分的计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
