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例2 (1)若不等式$(m-3)x＜3-m$的两边同除以$(m-3)$，得$x＞-1$，则$m$的取值范围为
(2)要使代数式$2x-6$的值不大于$5x-3$的值，则$x$的取值范围是
(3)当$k=$
(4)关于$x$的不等式$2x-a≤1$的解集为$x≤1$，则$a$的值为
(5)不等式$2x+6≥3(x+1)$的正整数解是
(6)解不等式$5-3x＜\frac{x-1}{2}$。
防范点:1.一元一次不等式的解集
C. $\begin{cases} y+2＞0, \\ x-y＜0 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-5＞0, \\ x＜0 \end{cases}$
(2)若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x-3＞0, \\ 2x+a＞0\end{cases}$的解集为$x＞3$，则$a$的取值范围是 ______ 。
(3)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x-1}{2}-1＜0, \\ a-x＜0\end{cases}$有且只有3个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
(4)解不等式组$\begin{cases} 2(x+2)＞x-1, \\ \frac{5-x}{2}≤3x+1 \end{cases}$
$m＜3$
。(2)要使代数式$2x-6$的值不大于$5x-3$的值，则$x$的取值范围是
$x≥-1$
。(3)当$k=$
$\pm 3$
时，不等式$(k-2)x^{|k|-2}+2＞0$是一元一次不等式。(4)关于$x$的不等式$2x-a≤1$的解集为$x≤1$，则$a$的值为
$1$
。(5)不等式$2x+6≥3(x+1)$的正整数解是
$1,2,3$
。(6)解不等式$5-3x＜\frac{x-1}{2}$。
防范点:1.一元一次不等式的解集
C. $\begin{cases} y+2＞0, \\ x-y＜0 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-5＞0, \\ x＜0 \end{cases}$
(2)若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x-3＞0, \\ 2x+a＞0\end{cases}$的解集为$x＞3$，则$a$的取值范围是 ______ 。
(3)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x-1}{2}-1＜0, \\ a-x＜0\end{cases}$有且只有3个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
(4)解不等式组$\begin{cases} 2(x+2)＞x-1, \\ \frac{5-x}{2}≤3x+1 \end{cases}$
答案
(1)$m＜3$
(2)$x≥-1$
(3)$\pm 3$
(4)$1$
(5)$1,2,3$
(6)去分母,得 $10-6x＜x-1$,移项,得$-6x-x＜-1-10$,合并同类项,得$-7x＜-11$,系数化为1,得$x＞\frac{11}{7}$。
(2)$x≥-1$
(3)$\pm 3$
(4)$1$
(5)$1,2,3$
(6)去分母,得 $10-6x＜x-1$,移项,得$-6x-x＜-1-10$,合并同类项,得$-7x＜-11$,系数化为1,得$x＞\frac{11}{7}$。
解析
【分析】
(1) 不等式两边除以同一个数后不等号方向改变，根据不等式性质可知除数为负数，因此只要令$m-3＜0$即可求出$m$的范围。
(2) “不大于”对应不等号“≤”，先根据题意列出不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可。
(3) 一元一次不等式需要满足两个条件：未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列等式和不等式求解$k$。
(4) 先把$a$当作常数解出不等式的解集，再和已知解集$x≤1$对应相等，即可求出$a$的值。
(5) 先求解不等式得到$x$的取值范围，再从中筛选出正整数解即可。
(6) 按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解，注意系数为负时不等号方向要改变。
【解析】
(1) 不等式$(m-3)x＜3-m$两边除以$(m-3)$后不等号方向改变，因此$m-3＜0$，解得$m＜3$。
(2) 根据题意列不等式：$2x-6≤5x-3$，移项得$2x-5x≤-3+6$，合并同类项得$-3x≤3$，系数化为1得$x≥-1$。
(3) 由一元一次不等式定义得：$\begin{cases}|k|-2=1 \\ k-2≠0\end{cases}$，解$|k|-2=1$得$k=±3$，结合$k≠2$，得$k=±3$。
(4) 解不等式$2x-a≤1$，移项得$2x≤a+1$，系数化为1得$x≤\frac{a+1}{2}$，已知解集为$x≤1$，因此$\frac{a+1}{2}=1$，解得$a=1$。
(5) 解不等式$2x+6≥3(x+1)$，去括号得$2x+6≥3x+3$，移项得$2x-3x≥3-6$，合并同类项得$-x≥-3$，系数化为1得$x≤3$，因此正整数解为1、2、3。
(6) 去分母，得 $10-6x＜x-1$，移项，得$-6x-x＜-1-10$，合并同类项，得$-7x＜-11$，系数化为1，得$x＞\frac{11}{7}$。
【答案】
(1)$m＜3$
(2)$x≥-1$
(3)$\pm 3$
(4)$1$
(5)$1,2,3$
(6)$x＞\frac{11}{7}$
【知识点】
不等式的基本性质；一元一次不等式的定义；一元一次不等式的解法
【点评】
本组题目为一元一次不等式的基础题型，覆盖了核心考点，重点考查对不等式性质的理解、基础运算能力，解题时需注意系数化为1时不等号方向的变化，不要漏记一元一次不等式的隐含条件。
【难度系数】
0.8
(1) 不等式两边除以同一个数后不等号方向改变，根据不等式性质可知除数为负数，因此只要令$m-3＜0$即可求出$m$的范围。
(2) “不大于”对应不等号“≤”，先根据题意列出不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可。
(3) 一元一次不等式需要满足两个条件：未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列等式和不等式求解$k$。
(4) 先把$a$当作常数解出不等式的解集，再和已知解集$x≤1$对应相等，即可求出$a$的值。
(5) 先求解不等式得到$x$的取值范围，再从中筛选出正整数解即可。
(6) 按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解，注意系数为负时不等号方向要改变。
【解析】
(1) 不等式$(m-3)x＜3-m$两边除以$(m-3)$后不等号方向改变，因此$m-3＜0$，解得$m＜3$。
(2) 根据题意列不等式：$2x-6≤5x-3$，移项得$2x-5x≤-3+6$，合并同类项得$-3x≤3$，系数化为1得$x≥-1$。
(3) 由一元一次不等式定义得：$\begin{cases}|k|-2=1 \\ k-2≠0\end{cases}$，解$|k|-2=1$得$k=±3$，结合$k≠2$，得$k=±3$。
(4) 解不等式$2x-a≤1$，移项得$2x≤a+1$，系数化为1得$x≤\frac{a+1}{2}$，已知解集为$x≤1$，因此$\frac{a+1}{2}=1$，解得$a=1$。
(5) 解不等式$2x+6≥3(x+1)$，去括号得$2x+6≥3x+3$，移项得$2x-3x≥3-6$，合并同类项得$-x≥-3$，系数化为1得$x≤3$，因此正整数解为1、2、3。
(6) 去分母，得 $10-6x＜x-1$，移项，得$-6x-x＜-1-10$，合并同类项，得$-7x＜-11$，系数化为1，得$x＞\frac{11}{7}$。
【答案】
(1)$m＜3$
(2)$x≥-1$
(3)$\pm 3$
(4)$1$
(5)$1,2,3$
(6)$x＞\frac{11}{7}$
【知识点】
不等式的基本性质；一元一次不等式的定义；一元一次不等式的解法
【点评】
本组题目为一元一次不等式的基础题型，覆盖了核心考点，重点考查对不等式性质的理解、基础运算能力，解题时需注意系数化为1时不等号方向的变化，不要漏记一元一次不等式的隐含条件。
【难度系数】
0.8
例3 (1)下列选项中，是一元一次不等式组的是（）
A.$\begin{cases} x+4=0, \\ \frac{1}{x} -5＞0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x^2 -x=0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x+4=0, \\ \frac{1}{x} -5＞0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x^2 -x=0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
答案
(1)D
(2)$a≥-6$
(3)$-1≤a＜0$
(4)$x≥\frac{3}{7}$
(2)$a≥-6$
(3)$-1≤a＜0$
(4)$x≥\frac{3}{7}$
解析
【分析】要判断是否为一元一次不等式组，需紧扣其定义核心要点：①由若干个只含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成；②一元一次不等式要求是整式不等式，未知数次数为1，且组内不能有等式。解题时对照要点逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】一元一次不等式组需满足三个判定条件：①每个组成部分都是不等式；②每个不等式都是只含同一个未知数的一元一次不等式（未知数次数为1，且为整式不等式，分母不含未知数）；③所有不等式只含同一个未知数。
选项A：第一个式子$x+4=0$是等式，不符合“组内全为不等式”的要求，且第二个不等式$\frac{1}{x}-5＞0$的分母含未知数，属于分式不等式，不是一元一次不等式，排除A；
选项B：第一个式子$x^2-x=0$是等式，且未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次的要求，排除B；
剩余选项中，C项存在不符合判定条件的问题（如含多个未知数、未知数次数不为1等），D项满足一元一次不等式组的全部判定条件，因此选D。
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的定义、一元一次不等式的判定
【点评】本题属于基础概念类考题，核心是对一元一次不等式组定义的准确记忆和理解，只要掌握判定的几个关键要素，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】0.85
【解析】一元一次不等式组需满足三个判定条件：①每个组成部分都是不等式；②每个不等式都是只含同一个未知数的一元一次不等式（未知数次数为1，且为整式不等式，分母不含未知数）；③所有不等式只含同一个未知数。
选项A：第一个式子$x+4=0$是等式，不符合“组内全为不等式”的要求，且第二个不等式$\frac{1}{x}-5＞0$的分母含未知数，属于分式不等式，不是一元一次不等式，排除A；
选项B：第一个式子$x^2-x=0$是等式，且未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次的要求，排除B；
剩余选项中，C项存在不符合判定条件的问题（如含多个未知数、未知数次数不为1等），D项满足一元一次不等式组的全部判定条件，因此选D。
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的定义、一元一次不等式的判定
【点评】本题属于基础概念类考题，核心是对一元一次不等式组定义的准确记忆和理解，只要掌握判定的几个关键要素，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】0.85
例4 某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和枫树，经市场调查，2棵榕树的单价比1棵枫树多40元，购买4棵榕树和3棵枫树共需480元。
（1）榕树和枫树的单价各是多少？
（2）根据学校实际情况，需购买这两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买枫树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和枫树共有哪几种方案。
【反思】一元一次不等式的实际应用，需要先正确列式，注意利用如题中所涉及的“不超过”“不少于”等关键词列不等式，然后求解作答。
（1）榕树和枫树的单价各是多少？
（2）根据学校实际情况，需购买这两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买枫树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和枫树共有哪几种方案。
【反思】一元一次不等式的实际应用，需要先正确列式，注意利用如题中所涉及的“不超过”“不少于”等关键词列不等式，然后求解作答。
答案
(1)设榕树的单价为$x$元/棵,枫树的单价是$y$元/棵。根据题意得$\begin{cases}2x-y=40, \\4x+3y=480,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=60, \\y=80,\end{cases}$答:榕树和枫树的单价分别是 60元/棵,80 元/棵。
(2)设购买榕树$a$棵,则购买枫树$(150-a)$棵。根据题意得,$\begin{cases}60a+80(150-a)≤10840,① \\150-a≥1.5a,②\end{cases}$
解不等式①得,$a≥58$,解不等式②得,$a≤60$,所以不等式组的解集是$58≤a≤60$。因为$a$只能取正整数,所以$a$为 58 或 59 或60,因此有 3 种购买方案:方案一:购买榕树58 棵,枫树 92 棵,方案二:购买榕树 59 棵,枫树 91 棵,方案三:购买榕树 60 棵,枫树90 棵。
(2)设购买榕树$a$棵,则购买枫树$(150-a)$棵。根据题意得,$\begin{cases}60a+80(150-a)≤10840,① \\150-a≥1.5a,②\end{cases}$
解不等式①得,$a≥58$,解不等式②得,$a≤60$,所以不等式组的解集是$58≤a≤60$。因为$a$只能取正整数,所以$a$为 58 或 59 或60,因此有 3 种购买方案:方案一:购买榕树58 棵,枫树 92 棵,方案二:购买榕树 59 棵,枫树 91 棵,方案三:购买榕树 60 棵,枫树90 棵。
解析
【分析】
（1）第一问需求两种树的单价，属于双未知量问题，题干给出两个明确等量关系：①2棵榕树的单价比1棵枫树多40元；②4棵榕树和3棵枫树总费用480元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是方案设计问题，已知两种树总棵数，设购买榕树a棵，则枫树为(150-a)棵，根据两个限制条件：总费用不超过10840元、枫树棵数不少于榕树的1.5倍，列出一元一次不等式组，求出解集后结合a为正整数的实际意义，确定a的取值即可得到对应购买方案。
【解析】
(1) 设榕树的单价为$x$元/棵，枫树的单价为$y$元/棵。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x-y=40 \\4x+3y=480\end{cases}$
由第一个方程得$y=2x-40$，代入第二个方程：
$4x+3(2x-40)=480$
$10x=600$，解得$x=60$
将$x=60$代入$y=2x-40$，得$y=80$
即方程组的解为$\begin{cases}x=60 \\y=80\end{cases}$
(2) 设购买榕树$a$棵，则购买枫树$(150-a)$棵。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60a+80(150-a)≤10840 ① \\150-a≥1.5a ②\end{cases}$
解不等式①：
$-20a≤-1160$，不等号两边同除以负数，不等号方向改变，得$a≥58$
解不等式②：
$2.5a≤150$，得$a≤60$
因此不等式组的解集为$58≤a≤60$
由于a为树苗棵数，是正整数，故a可取58、59、60，对应3种方案：
方案一：购买榕树58棵，枫树$150-58=92$棵；
方案二：购买榕树59棵，枫树$150-59=91$棵；
方案三：购买榕树60棵，枫树$150-60=90$棵。
【答案】
(1) 榕树单价为60元/棵，枫树单价为80元/棵；
(2) 共有3种购买方案：方案一：榕树58棵，枫树92棵；方案二：榕树59棵，枫树91棵；方案三：榕树60棵，枫树90棵。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确抓取题干中的等量关系和不等关系，正确列出方程组和不等式组，求解时要注意结合实际问题对未知数的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需求两种树的单价，属于双未知量问题，题干给出两个明确等量关系：①2棵榕树的单价比1棵枫树多40元；②4棵榕树和3棵枫树总费用480元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是方案设计问题，已知两种树总棵数，设购买榕树a棵，则枫树为(150-a)棵，根据两个限制条件：总费用不超过10840元、枫树棵数不少于榕树的1.5倍，列出一元一次不等式组，求出解集后结合a为正整数的实际意义，确定a的取值即可得到对应购买方案。
【解析】
(1) 设榕树的单价为$x$元/棵，枫树的单价为$y$元/棵。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x-y=40 \\4x+3y=480\end{cases}$
由第一个方程得$y=2x-40$，代入第二个方程：
$4x+3(2x-40)=480$
$10x=600$，解得$x=60$
将$x=60$代入$y=2x-40$，得$y=80$
即方程组的解为$\begin{cases}x=60 \\y=80\end{cases}$
(2) 设购买榕树$a$棵，则购买枫树$(150-a)$棵。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60a+80(150-a)≤10840 ① \\150-a≥1.5a ②\end{cases}$
解不等式①：
$-20a≤-1160$，不等号两边同除以负数，不等号方向改变，得$a≥58$
解不等式②：
$2.5a≤150$，得$a≤60$
因此不等式组的解集为$58≤a≤60$
由于a为树苗棵数，是正整数，故a可取58、59、60，对应3种方案：
方案一：购买榕树58棵，枫树$150-58=92$棵；
方案二：购买榕树59棵，枫树$150-59=91$棵；
方案三：购买榕树60棵，枫树$150-60=90$棵。
【答案】
(1) 榕树单价为60元/棵，枫树单价为80元/棵；
(2) 共有3种购买方案：方案一：榕树58棵，枫树92棵；方案二：榕树59棵，枫树91棵；方案三：榕树60棵，枫树90棵。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确抓取题干中的等量关系和不等关系，正确列出方程组和不等式组，求解时要注意结合实际问题对未知数的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
