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1.我们用$[a]$来表示不大于$a$的最大整数。例如$[1.5]=1,[-2.3]=-3$。若$[x]+4=1$,则$x$的取值范围是
（
A.$-3≤ x＜-2$
B.$-3≤ x≤ -2$
C.$-3＜ x≤ -2$
D.$-3＜ x＜ -2$
（
A
）A.$-3≤ x＜-2$
B.$-3≤ x≤ -2$
C.$-3＜ x≤ -2$
D.$-3＜ x＜ -2$
答案
A
解析
【分析】
首先明确题中新定义：$[a]$表示不大于$a$的最大整数，即向下取整。解题时第一步先根据给出的等式求出$[x]$的取值，再结合取整的定义列出关于$x$的不等式组，即可求出$x$的取值范围。核心是掌握若$[x]=k$（$k$为整数），则$x$满足$k≤ x＜k+1$的规律。
【解析】
解：对等式$[x]+4=1$移项计算，得：
$[x]=1-4=-3$
根据$[a]$的定义，$[x]$是不大于$x$的最大整数，因此当$[x]=-3$时：
1. $x≥-3$：若$x＜-3$，则不大于$x$的最大整数会小于$-3$，不符合$[x]=-3$的要求；
2. $x＜-3+1=-2$：若$x≥-2$，则不大于$x$的最大整数会大于等于$-2$，也不符合$[x]=-3$的要求。
综上，$x$的取值范围是$-3≤ x＜-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式组的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新定义取整符号的含义，解题时要格外注意取值范围的边界等号位置，避免因混淆边界值出错。
【难度系数】
0.7
首先明确题中新定义：$[a]$表示不大于$a$的最大整数，即向下取整。解题时第一步先根据给出的等式求出$[x]$的取值，再结合取整的定义列出关于$x$的不等式组，即可求出$x$的取值范围。核心是掌握若$[x]=k$（$k$为整数），则$x$满足$k≤ x＜k+1$的规律。
【解析】
解：对等式$[x]+4=1$移项计算，得：
$[x]=1-4=-3$
根据$[a]$的定义，$[x]$是不大于$x$的最大整数，因此当$[x]=-3$时：
1. $x≥-3$：若$x＜-3$，则不大于$x$的最大整数会小于$-3$，不符合$[x]=-3$的要求；
2. $x＜-3+1=-2$：若$x≥-2$，则不大于$x$的最大整数会大于等于$-2$，也不符合$[x]=-3$的要求。
综上，$x$的取值范围是$-3≤ x＜-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式组的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新定义取整符号的含义，解题时要格外注意取值范围的边界等号位置，避免因混淆边界值出错。
【难度系数】
0.7
2.已知直线$y=2x+(3-a)$与$x$轴的交点在$A(2,0),B(3,0)$之间(包括$A,B$两点),则$a$的取值范围是
$7≤a≤9$
。答案
$7≤a≤9$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直线与x轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，因此先令y=0，求出交点横坐标的表达式；再根据交点在A(2,0)、B(3,0)之间（包括端点），得到横坐标的取值范围，将其转化为关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
第一步：求直线与x轴交点的横坐标
令y=0，代入直线解析式得：
$0=2x+(3-a)$
移项得：$2x=a-3$
解得：$x=\frac{a-3}{2}$
第二步：根据交点位置列不等式
因为交点在A(2,0)、B(3,0)之间（包括A、B两点），所以横坐标x满足：
$2≤ \frac{a-3}{2} ≤ 3$
第三步：解不等式
不等式三边同时乘2，得：
$4≤ a-3 ≤ 6$
三边同时加3，得：
$7≤ a ≤ 9$
【答案】
$7≤a≤9$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、一元一次不等式解法
【点评】
本题将一次函数性质与一元一次不等式相结合，解题的关键是掌握x轴上点的坐标特征，将函数交点位置的问题转化为不等式求解的问题，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确直线与x轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，因此先令y=0，求出交点横坐标的表达式；再根据交点在A(2,0)、B(3,0)之间（包括端点），得到横坐标的取值范围，将其转化为关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
第一步：求直线与x轴交点的横坐标
令y=0，代入直线解析式得：
$0=2x+(3-a)$
移项得：$2x=a-3$
解得：$x=\frac{a-3}{2}$
第二步：根据交点位置列不等式
因为交点在A(2,0)、B(3,0)之间（包括A、B两点），所以横坐标x满足：
$2≤ \frac{a-3}{2} ≤ 3$
第三步：解不等式
不等式三边同时乘2，得：
$4≤ a-3 ≤ 6$
三边同时加3，得：
$7≤ a ≤ 9$
【答案】
$7≤a≤9$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、一元一次不等式解法
【点评】
本题将一次函数性质与一元一次不等式相结合，解题的关键是掌握x轴上点的坐标特征，将函数交点位置的问题转化为不等式求解的问题，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + 4y = a + 7, \\7x + 5y = 2a - 5\end{cases}$ 的解 $ x, y $ 满足 $ x + y ＜ 1 $，则满足题意的最大整数 $ a $ 是 ______ 。
答案
$2$
解析
【分析】
拿到本题，目标是找到满足$x+y＜1$的最大整数$a$。观察方程组的系数特征，发现两个方程中$x$的系数和为$2+7=9$，$y$的系数和为$4+5=9$，因此无需单独求解$x$、$y$，可将两个方程直接相加，整体得到$x+y$与$a$的关系，简化计算。再将$x+y$的表达式代入不等式，解出$a$的取值范围，最后在范围内找最大整数即可。
【解析】
1. 将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(2x+4y)+(7x+5y)&=(a+7)+(2a-5)\\9x+9y&=3a+2\end{aligned}$
两边同时除以9，得：$x+y=\frac{3a+2}{9}$
2. 代入$x+y＜1$列不等式：
$\frac{3a+2}{9}＜1$
两边同乘9得：$3a+2＜9$
移项化简得：$3a＜7$，即$a＜\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
3. 小于$2\frac{1}{3}$的最大整数为2，因此满足题意的最大整数$a$是2。
【答案】
$2$
【知识点】
整体法求值，解一元一次不等式，不等式的整数解
【点评】
本题考查整体思想的应用，通过观察系数特征整体计算$x+y$，可大幅简化运算过程，求解整数解时要注意取值范围的边界，避免多取或漏取。
【难度系数】
0.7
拿到本题，目标是找到满足$x+y＜1$的最大整数$a$。观察方程组的系数特征，发现两个方程中$x$的系数和为$2+7=9$，$y$的系数和为$4+5=9$，因此无需单独求解$x$、$y$，可将两个方程直接相加，整体得到$x+y$与$a$的关系，简化计算。再将$x+y$的表达式代入不等式，解出$a$的取值范围，最后在范围内找最大整数即可。
【解析】
1. 将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(2x+4y)+(7x+5y)&=(a+7)+(2a-5)\\9x+9y&=3a+2\end{aligned}$
两边同时除以9，得：$x+y=\frac{3a+2}{9}$
2. 代入$x+y＜1$列不等式：
$\frac{3a+2}{9}＜1$
两边同乘9得：$3a+2＜9$
移项化简得：$3a＜7$，即$a＜\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
3. 小于$2\frac{1}{3}$的最大整数为2，因此满足题意的最大整数$a$是2。
【答案】
$2$
【知识点】
整体法求值，解一元一次不等式，不等式的整数解
【点评】
本题考查整体思想的应用，通过观察系数特征整体计算$x+y$，可大幅简化运算过程，求解整数解时要注意取值范围的边界，避免多取或漏取。
【难度系数】
0.7
4.解不等式(组)：
(1)$\begin{cases}\dfrac{5+2x}{3} ＞ x+1, \\-x+5 ≤ 7。\end{cases}$
(2)$x - \dfrac{3x-8}{2} +1 ≥ \dfrac{2(10-x)}{7}$
(1)$\begin{cases}\dfrac{5+2x}{3} ＞ x+1, \\-x+5 ≤ 7。\end{cases}$
(2)$x - \dfrac{3x-8}{2} +1 ≥ \dfrac{2(10-x)}{7}$
答案
(1)解不等式$\frac{5+2x}{3}＞x+1$,得$x＜2$,解不等式$-x+5≤7$,得$x≥-2$,故该不等式组的解集为$-2≤x＜2$。
(2)去分母,得$14x-7(3x-8)+14≥4(10-x)$,去括号,得$14x-21x+56+14≥40-4x$,移项、合并同类项,得$-3x≥-30$,系数化为1,得$x≤10$。
(2)去分母,得$14x-7(3x-8)+14≥4(10-x)$,去括号,得$14x-21x+56+14≥40-4x$,移项、合并同类项,得$-3x≥-30$,系数化为1,得$x≤10$。
解析
【分析】
（1）解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：先分别求出组内两个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时，按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意系数为负时不等号方向要改变。
（2）解单个一元一次不等式，严格遵循去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，尤其注意系数化为1时若系数为负，不等号方向要反转。
【解析】
(1) 先解第一个不等式$\dfrac{5+2x}{3} ＞ x+1$：
两边同乘3去分母，得$5+2x ＞ 3(x+1)$，
去括号得$5+2x ＞ 3x+3$，
移项、合并同类项得$-x ＞ -2$，
系数化为1（不等号变向）得$x ＜ 2$。
再解第二个不等式$-x+5 ≤ 7$：
移项得$-x ≤ 7-5$，
合并同类项得$-x ≤ 2$，
系数化为1（不等号变向）得$x ≥ -2$。
取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集。
(2) 解不等式$x - \dfrac{3x-8}{2} +1 ≥ \dfrac{2(10-x)}{7}$：
两边同乘14（2和7的最小公倍数）去分母，得$14x-7(3x-8)+14 ≥ 4(10-x)$，
去括号得$14x-21x+56+14 ≥ 40-4x$，
移项、合并同类项得$-3x ≥ -30$，
系数化为1（不等号变向）得$x ≤ 10$。
【答案】
(1) $-2≤x＜2$
(2) $x≤10$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式（组）的基础计算题型，主要考察解不等式的常规操作步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，熟练掌握不等式的基本性质和解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.75
（1）解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：先分别求出组内两个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时，按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意系数为负时不等号方向要改变。
（2）解单个一元一次不等式，严格遵循去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，尤其注意系数化为1时若系数为负，不等号方向要反转。
【解析】
(1) 先解第一个不等式$\dfrac{5+2x}{3} ＞ x+1$：
两边同乘3去分母，得$5+2x ＞ 3(x+1)$，
去括号得$5+2x ＞ 3x+3$，
移项、合并同类项得$-x ＞ -2$，
系数化为1（不等号变向）得$x ＜ 2$。
再解第二个不等式$-x+5 ≤ 7$：
移项得$-x ≤ 7-5$，
合并同类项得$-x ≤ 2$，
系数化为1（不等号变向）得$x ≥ -2$。
取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集。
(2) 解不等式$x - \dfrac{3x-8}{2} +1 ≥ \dfrac{2(10-x)}{7}$：
两边同乘14（2和7的最小公倍数）去分母，得$14x-7(3x-8)+14 ≥ 4(10-x)$，
去括号得$14x-21x+56+14 ≥ 40-4x$，
移项、合并同类项得$-3x ≥ -30$，
系数化为1（不等号变向）得$x ≤ 10$。
【答案】
(1) $-2≤x＜2$
(2) $x≤10$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式（组）的基础计算题型，主要考察解不等式的常规操作步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，熟练掌握不等式的基本性质和解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.75
5. 今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费 30 万元，第二次花费50 万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了 200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了 200 元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍。
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工 5吨土豆，每吨土豆获利 700 元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利 400 元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过 60 天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的$\frac{2}{3}$，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工 5吨土豆，每吨土豆获利 700 元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利 400 元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过 60 天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的$\frac{2}{3}$，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
答案
(1)设去年每吨土豆的平均价格是$x$元,则今年第一次采购时每吨土豆的价格为$(x+200)$元,第二次采购时每吨土豆的价格为$(x-200)$元。由题意得$\frac{300000}{x+200}×2=\frac{500000}{x-200}$,解得$x=2200$,经检验,$x=2200$是原分式方程的解,且符合题意。答:去年每吨土豆的平均价格是 2200 元。
(2)由(1)得今年采购的土豆数为$\frac{300000}{2200+200}×3=375$(吨),设应将$m$吨土豆加工成薯片,则应将$(375-m)$吨加工成淀粉,由题意得$\begin{cases}m≥\frac{2}{3}(375-m), \\\frac{m}{5}+\frac{375-m}{8}≤60,\end{cases}$ 解得$150≤m≤175$,设总利润为$y$元,则$y=700m+400(375-m)=300m+150000$,因为$300＞0$,所以$y$随$m$的增大而增大,所以当$m=175$时,$y$的值最大$=300×175+150000=202500$。答:为获得最大利润,应将175 吨土豆加工成薯片,最大利润是 202500 元。
(2)由(1)得今年采购的土豆数为$\frac{300000}{2200+200}×3=375$(吨),设应将$m$吨土豆加工成薯片,则应将$(375-m)$吨加工成淀粉,由题意得$\begin{cases}m≥\frac{2}{3}(375-m), \\\frac{m}{5}+\frac{375-m}{8}≤60,\end{cases}$ 解得$150≤m≤175$,设总利润为$y$元,则$y=700m+400(375-m)=300m+150000$,因为$300＞0$,所以$y$随$m$的增大而增大,所以当$m=175$时,$y$的值最大$=300×175+150000=202500$。答:为获得最大利润,应将175 吨土豆加工成薯片,最大利润是 202500 元。
解析
【分析】
(1) 第一问是分式方程的实际应用，解题核心是找到两次采购数量的等量关系。我们可以设去年每吨土豆平均价格为x元，分别表示出两次采购的每吨单价，再结合“采购总量=总费用÷每吨单价”表示两次的采购量，根据“第二次采购量是第一次的2倍”列方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问是一元一次不等式组与一次函数结合的最值问题，首先根据第一问的结果算出总采购土豆吨数，再设加工成薯片的土豆为m吨，结合“加工薯片的量不少于淀粉的$\frac{2}{3}$”“总加工时长不超过60天”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围，再根据总利润公式列出一次函数表达式，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应参数。
【解析】
(1) 设去年每吨土豆的平均价格是$x$元，则今年第一次采购时每吨价格为$(x+200)$元，第二次采购时每吨价格为$(x-200)$元。
由题意得：$\frac{300000}{x+200}×2=\frac{500000}{x-200}$
去分母得：$600000(x-200)=500000(x+200)$
化简求解得：$x=2200$
检验：当$x=2200$时，$(x+200)(x-200)≠0$，所以$x=2200$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)可得，第一次采购量为$\frac{300000}{2200+200}=125$吨，第二次采购量为$125×2=250$吨，总采购量为$125+250=375$吨。
设应将$m$吨土豆加工成薯片，则将$(375-m)$吨加工成淀粉，由题意得：
$\begin{cases}m≥\frac{2}{3}(375-m) \\\frac{m}{5}+\frac{375-m}{8}≤60,\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥150$，解第二个不等式得$m≤175$，故不等式组解集为$150≤m≤175$。
设总利润为$y$元，则$y=700m+400(375-m)=300m+150000$，
$\because 300＞0$，$\therefore y$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=175$时，$y$取得最大值，最大值为$300×175+150000=202500$元。
【答案】
(1) 去年每吨土豆的平均价格是2200元；
(2) 应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数最值
【点评】
本题是实际应用类综合题，融合了分式方程、一元一次不等式组和一次函数性质三个考点，解题时需注意梳理题目中的等量关系和不等关系，分式方程要检验根的合理性，求最值时需结合自变量取值范围和函数增减性分析，对学生的实际问题分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问是分式方程的实际应用，解题核心是找到两次采购数量的等量关系。我们可以设去年每吨土豆平均价格为x元，分别表示出两次采购的每吨单价，再结合“采购总量=总费用÷每吨单价”表示两次的采购量，根据“第二次采购量是第一次的2倍”列方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问是一元一次不等式组与一次函数结合的最值问题，首先根据第一问的结果算出总采购土豆吨数，再设加工成薯片的土豆为m吨，结合“加工薯片的量不少于淀粉的$\frac{2}{3}$”“总加工时长不超过60天”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围，再根据总利润公式列出一次函数表达式，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应参数。
【解析】
(1) 设去年每吨土豆的平均价格是$x$元，则今年第一次采购时每吨价格为$(x+200)$元，第二次采购时每吨价格为$(x-200)$元。
由题意得：$\frac{300000}{x+200}×2=\frac{500000}{x-200}$
去分母得：$600000(x-200)=500000(x+200)$
化简求解得：$x=2200$
检验：当$x=2200$时，$(x+200)(x-200)≠0$，所以$x=2200$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)可得，第一次采购量为$\frac{300000}{2200+200}=125$吨，第二次采购量为$125×2=250$吨，总采购量为$125+250=375$吨。
设应将$m$吨土豆加工成薯片，则将$(375-m)$吨加工成淀粉，由题意得：
$\begin{cases}m≥\frac{2}{3}(375-m) \\\frac{m}{5}+\frac{375-m}{8}≤60,\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥150$，解第二个不等式得$m≤175$，故不等式组解集为$150≤m≤175$。
设总利润为$y$元，则$y=700m+400(375-m)=300m+150000$，
$\because 300＞0$，$\therefore y$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=175$时，$y$取得最大值，最大值为$300×175+150000=202500$元。
【答案】
(1) 去年每吨土豆的平均价格是2200元；
(2) 应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数最值
【点评】
本题是实际应用类综合题，融合了分式方程、一元一次不等式组和一次函数性质三个考点，解题时需注意梳理题目中的等量关系和不等关系，分式方程要检验根的合理性，求最值时需结合自变量取值范围和函数增减性分析，对学生的实际问题分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
