三角形内角和定理的证明.
已知：如图13.3-1，△ABC是任意一个三角形.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图13.3-1，过点A作直线DE，使DE//.
∵DE//BC，
∴∠B=，∠C=（）.
∵∠DAB，∠BAC，∠EAC组成平角，
∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（）.
∴∠B+∠BAC+∠C=（）.
于是可以得到任意一个三角形的内角和等于.

证明：如图13.3-1，过点A作直线DE，使DE//BC.
∵DE//BC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠CAE（两直线平行，内错角相等）.
∵∠DAB，∠BAC，∠EAC组成平角，
∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定义）.
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）.
于是可以得到任意一个三角形的内角和等于180°.

【分析】
要证明三角形内角和为180°，可联系度数为180°的几何量，我们已学过平角的度数是180°，因此考虑将三角形的三个内角转化为一个平角来推导。具体思路为：过三角形的顶点A作对边BC的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将∠B、∠C转移到顶点A处，与∠BAC共同组成平角，再通过等量代换即可得到三角形内角和的结论。
【解析】
证明步骤如下：
1. 辅助线作法：过点A作直线DE，使DE//BC；
2. 依据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠DAB，∠C=∠CAE；
3. 依据平角的定义：平角的度数为180°，因为∠DAB、∠BAC、∠EAC组成平角，因此∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°；
4. 进行等量代换：将∠DAB替换为∠B，∠EAC替换为∠C，可得∠B+∠BAC+∠C=180°；
5. 归纳结论：任意一个三角形的内角和等于180°。
【答案】
证明：如图13.3-1，过点A作直线DE，使DE//BC.
∵DE//BC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠CAE（两直线平行，内错角相等）.
∵∠DAB，∠BAC，∠EAC组成平角，
∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定义）.
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）.
于是可以得到任意一个三角形的内角和等于180°.
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础推导题，通过作平行线的辅助线实现角的转化，将未知的内角和问题转化为已知的平角问题求解，体现了几何学习中的转化思想，这类作辅助线的方法是后续角度计算、几何证明的常用技巧。
【难度系数】
0.8

1. 已知$△ ABC$的三个内角的大小分别为$x°$，$x°$，$(3x)°$，则$x$的值为（）.

A.24
B.30
C.36
D.40

1. C

【分析】
解题的核心依据是三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。我们先将题目给出的三个内角度数相加，令其和等于180°，即可得到关于x的一元一次方程，求解方程就能得出x的值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，列方程得：
$x + x + 3x = 180$
合并同类项，得：$5x = 180$
系数化为1，得：$x = 36$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形内角和定理的直接应用，牢记定理内容、正确列方程计算即可得分，计算时要注意避免合并同类项、系数化1环节的低级错误。
【难度系数】
0.9

2. 如图13.3-2，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，$DE// BC$，则$∠ AED$的度数是（）。

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

2. D

【分析】
要计算∠AED的度数，我们可以分两步思考：首先，已知△ABC中两个内角的度数，可先利用三角形内角和为180°算出第三个内角∠C的度数；其次，题目给出DE//BC的条件，结合平行线同位角相等的性质，可得到∠AED与∠C相等，进而求出∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，已知∠A=60°，∠B=40°，因此：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°
又因为DE//BC，∠AED和∠C是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
∠AED = ∠C = 80°
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算题目，将三角形内角和与平行线性质结合考查，解题的关键是先求出∠C的度数，再利用平行线的性质建立待求角与已知角的关系，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8