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3. 如图13.3-3，在$△ ABC$中，BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$，若$∠ A=80°$，则$∠ D$的度数为（
图13.3-3
A.$100°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$150°$
C
）。图13.3-3
A.$100°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$150°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，在△ABC中已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的定义，得出∠DBC和∠DCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠DBC与∠DCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△BDC中求出∠D的度数，也可直接利用双内角平分线的夹角规律快速计算。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
∵BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△BDC中，再次根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的基础综合题，解题核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质推导角度关系，掌握双内角平分线的夹角公式可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，在△ABC中已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的定义，得出∠DBC和∠DCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠DBC与∠DCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△BDC中求出∠D的度数，也可直接利用双内角平分线的夹角规律快速计算。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
∵BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△BDC中，再次根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的基础综合题，解题核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质推导角度关系，掌握双内角平分线的夹角公式可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 在一个三角形中，三个内角的度数之比为$2:3:4$，则这个三角形是
锐角三角形
（填“锐角三角形”“钝角三角形”或“直角三角形”）。答案
4. 锐角三角形
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心依据：一是三角形内角和固定为180°，二是三角形按角分类的判断规则：最大内角小于90°为锐角三角形，等于90°为直角三角形，大于90°为钝角三角形。已知三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数，结合内角和定理求出最大角的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
解：设三角形三个内角的度数分别为$2x°$、$3x°$、$4x°$。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为$180°$，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180$
合并同类项得：$9x = 180$
解得：$x = 20$
因此三个内角分别为：$2×20=40°$，$3×20=60°$，$4×20=80°$。
该三角形最大内角为$80°$，小于$90°$，三个角均为锐角，因此是锐角三角形。
【答案】
锐角三角形
【知识点】
三角形内角和；按比例分配；三角形分类
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用内角和定理求出最大内角的度数，再结合分类规则判断三角形类型，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确两个核心依据：一是三角形内角和固定为180°，二是三角形按角分类的判断规则：最大内角小于90°为锐角三角形，等于90°为直角三角形，大于90°为钝角三角形。已知三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数，结合内角和定理求出最大角的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
解：设三角形三个内角的度数分别为$2x°$、$3x°$、$4x°$。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为$180°$，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180$
合并同类项得：$9x = 180$
解得：$x = 20$
因此三个内角分别为：$2×20=40°$，$3×20=60°$，$4×20=80°$。
该三角形最大内角为$80°$，小于$90°$，三个角均为锐角，因此是锐角三角形。
【答案】
锐角三角形
【知识点】
三角形内角和；按比例分配；三角形分类
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用内角和定理求出最大内角的度数，再结合分类规则判断三角形类型，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
5. 在$△ ABC$中，$∠ C$比$∠ A$大$15°$，$∠ B$比$∠ A$大$45°$，则$∠ A$的度数为
40°
。答案
5. 40°
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。题目中∠B、∠C的度数都和∠A相关，我们可以设∠A的度数为未知量，用含该未知量的式子分别表示出∠B和∠C，再根据内角和定理列一元一次方程，求解即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠A的度数为$ x $，根据题意可得：
$ ∠B = x + 45° $，$ ∠C = x + 15° $
由三角形内角和为180°，可列方程：
$ x + (x + 45°) + (x + 15°) = 180° $
合并同类项得：$ 3x + 60° = 180° $
移项计算得：$ 3x = 120° $
解得：$ x = 40° $
【答案】
40°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，核心是利用三个内角的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，掌握角度关系转化为方程的思路即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。题目中∠B、∠C的度数都和∠A相关，我们可以设∠A的度数为未知量，用含该未知量的式子分别表示出∠B和∠C，再根据内角和定理列一元一次方程，求解即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠A的度数为$ x $，根据题意可得：
$ ∠B = x + 45° $，$ ∠C = x + 15° $
由三角形内角和为180°，可列方程：
$ x + (x + 45°) + (x + 15°) = 180° $
合并同类项得：$ 3x + 60° = 180° $
移项计算得：$ 3x = 120° $
解得：$ x = 40° $
【答案】
40°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，核心是利用三个内角的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，掌握角度关系转化为方程的思路即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图13.3-4，从A处观测铁塔顶部D处的仰角∠CAD=45°，从B处观测D处的仰角∠CBD=60°，点A，B，C在同一条直线上，则∠ADB的度数为
15°
。答案
6. 15°
解析
【分析】
要求∠ADB的度数，可先分析已知角和所求角的位置关系：∠CBD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，因此∠CBD=∠CAD+∠ADB，代入已知角度就能直接求出∠ADB；也可以先分别求出两个直角三角形中其余锐角的度数，再作差得到∠ADB的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠CBD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠CBD = ∠CAD + ∠ADB
已知∠CAD=45°，∠CBD=60°，代入得：
∠ADB = ∠CBD - ∠CAD = 60° - 45° = 15°
方法二：利用三角形内角和求解
由图可知DC⊥AC，即∠C=90°
在Rt△ACD中，根据三角形内角和为180°，得∠ADC=180°-90°-45°=45°
在Rt△BCD中，同理得∠BDC=180°-90°-60°=30°
∴∠ADB=∠ADC - ∠BDC=45°-30°=15°
【答案】
15°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是找准已知角和未知角的位置关系，选择合适的定理即可快速得出结果，是三角形角度相关性质的基础应用。
【难度系数】
0.85
要求∠ADB的度数，可先分析已知角和所求角的位置关系：∠CBD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，因此∠CBD=∠CAD+∠ADB，代入已知角度就能直接求出∠ADB；也可以先分别求出两个直角三角形中其余锐角的度数，再作差得到∠ADB的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠CBD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠CBD = ∠CAD + ∠ADB
已知∠CAD=45°，∠CBD=60°，代入得：
∠ADB = ∠CBD - ∠CAD = 60° - 45° = 15°
方法二：利用三角形内角和求解
由图可知DC⊥AC，即∠C=90°
在Rt△ACD中，根据三角形内角和为180°，得∠ADC=180°-90°-45°=45°
在Rt△BCD中，同理得∠BDC=180°-90°-60°=30°
∴∠ADB=∠ADC - ∠BDC=45°-30°=15°
【答案】
15°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是找准已知角和未知角的位置关系，选择合适的定理即可快速得出结果，是三角形角度相关性质的基础应用。
【难度系数】
0.85
7. 若将一副三角尺按图13.3-5所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是
105°
。答案
7. 105°
解析
【分析】
首先明确一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°。观察图形可知∠α是△ADC的内角，已知该三角形另外两个内角分别为45°和30°，根据三角形内角和为180°，代入计算即可求出∠α的度数。
【解析】
由三角尺的角度特征可得：∠A=45°，∠C=30°。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，在△ADC中：
∠α = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 30° = 105°
【答案】
105°
【知识点】
三角形内角和、三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是牢记三角尺的固定角度，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°。观察图形可知∠α是△ADC的内角，已知该三角形另外两个内角分别为45°和30°，根据三角形内角和为180°，代入计算即可求出∠α的度数。
【解析】
由三角尺的角度特征可得：∠A=45°，∠C=30°。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，在△ADC中：
∠α = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 30° = 105°
【答案】
105°
【知识点】
三角形内角和、三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是牢记三角尺的固定角度，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图 13.3-6，在$△ ABC$中，$∠ B=40°$，$∠ C=60°$，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且$DE// AB$，若$∠ CAD=25°$，则$∠ ADE$的度数是
55°
。答案
8. 55°
解析
【分析】
要计算∠ADE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再用∠BAC减去已知的∠CAD得到∠BAD的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可得出∠ADE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°
已知∠CAD=25°，因此：
∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 80° - 25° = 55°
∵DE//AB，根据“两直线平行，内错角相等”
∴∠ADE = ∠BAD = 55°
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是先通过三角形内角和求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质完成角度的转化，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算∠ADE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再用∠BAC减去已知的∠CAD得到∠BAD的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可得出∠ADE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°
已知∠CAD=25°，因此：
∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 80° - 25° = 55°
∵DE//AB，根据“两直线平行，内错角相等”
∴∠ADE = ∠BAD = 55°
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是先通过三角形内角和求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质完成角度的转化，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
