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8. 如图13.2-12，在△ABC中，∠BAC=90°，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AB=3 cm，AC=4 cm，BC=5 cm.
(1) 求△ACE和△ABE的周长之差；
(2) 求AD的长度.
图13.2-12
(1) 求△ACE和△ABE的周长之差；
(2) 求AD的长度.
图13.2-12
答案
8. 解：(1)
∵AE 是边 BC 上的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE 的周长－△ABE 的周长 = AC+AE+CE－(AB+BE+AE)=AC－AB=4－3=1（cm），
即△ACE 和△ABE 的周长之差为 1 cm.
(2)
∵∠BAC=90°，AD 是边 BC 上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$.
∴$AD=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{3× 4}{5}=\frac{12}{5}$（cm）.
∵AE 是边 BC 上的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE 的周长－△ABE 的周长 = AC+AE+CE－(AB+BE+AE)=AC－AB=4－3=1（cm），
即△ACE 和△ABE 的周长之差为 1 cm.
(2)
∵∠BAC=90°，AD 是边 BC 上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$.
∴$AD=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{3× 4}{5}=\frac{12}{5}$（cm）.
解析
【分析】
(1) 求两个三角形的周长差，可先分别写出两个三角形的周长表达式：△ACE的周长为AC+AE+CE，△ABE的周长为AB+BE+AE。已知AE是BC边上的中线，根据中线性质可得BE=CE，两个周长作差时，公共边AE、相等边BE和CE均可抵消，因此周长差就等于AC与AB的长度差，代入数值计算即可。
(2) 求高AD的长度可使用等面积法：直角三角形ABC的面积既可以用两条直角边AB、AC乘积的一半计算，也可以用底BC乘高AD的一半计算，两种方式计算的面积相等，建立等式即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵AE是边BC上的中线，
∴BE=CE。
∴△ACE的周长－△ABE的周长 = (AC+AE+CE)－(AB+BE+AE) = AC－AB，
代入AB=3 cm，AC=4 cm，得差值为4－3=1（cm）。
(2)
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，
整理得$AD=\frac{AB·AC}{BC}$，代入AB=3 cm，AC=4 cm，BC=5 cm，得$AD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$（cm）。
【答案】
(1) 1 cm；
(2) $\frac{12}{5}$ cm
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，等面积法求高
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，第一问通过作差抵消公共边和相等边，简化了运算，体现了整体计算的思路；第二问的等面积法是求三角形高线的常用方法，尤其在直角三角形斜边上高的计算中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
(1) 求两个三角形的周长差，可先分别写出两个三角形的周长表达式：△ACE的周长为AC+AE+CE，△ABE的周长为AB+BE+AE。已知AE是BC边上的中线，根据中线性质可得BE=CE，两个周长作差时，公共边AE、相等边BE和CE均可抵消，因此周长差就等于AC与AB的长度差，代入数值计算即可。
(2) 求高AD的长度可使用等面积法：直角三角形ABC的面积既可以用两条直角边AB、AC乘积的一半计算，也可以用底BC乘高AD的一半计算，两种方式计算的面积相等，建立等式即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵AE是边BC上的中线，
∴BE=CE。
∴△ACE的周长－△ABE的周长 = (AC+AE+CE)－(AB+BE+AE) = AC－AB，
代入AB=3 cm，AC=4 cm，得差值为4－3=1（cm）。
(2)
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，
整理得$AD=\frac{AB·AC}{BC}$，代入AB=3 cm，AC=4 cm，BC=5 cm，得$AD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$（cm）。
【答案】
(1) 1 cm；
(2) $\frac{12}{5}$ cm
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，等面积法求高
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，第一问通过作差抵消公共边和相等边，简化了运算，体现了整体计算的思路；第二问的等面积法是求三角形高线的常用方法，尤其在直角三角形斜边上高的计算中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
9. 如图13.2-13，△ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且AE=ED，BD=$\frac{2}{3}$BC，求图中阴影部分的面积和.
图13.2-13
图13.2-13
答案
9. 解：如图，连接 DF.
∵AE=DE，
∴$S_{△ AEF}=S_{△ EDF}$，$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}$.
∴$S_{△ AEF}+S_{△ ABE}=S_{△ EDF}+S_{△ BDE}$.
即 $S_{△ ABF}=S_{△ BDF}$.
∵$BD=\frac{2}{3}BC$，
∴$S_{△ BDF}=S_{△ DCF}× 2$.
∴$S_{△ ABF}=S_{△ BDF}=S_{△ DCF}× 2$.
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DCF}× 5$.
∴$S_{△ DCF}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}× 10=2$.
∴阴影部分的面积和 $=S_{△ BDF}=S_{△ DCF}× 2=2× 2=4$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积和，已知E为AD中点、$BD=\frac{2}{3}BC$，且$S_{△ABC}=10$。首先依据“等底同高的三角形面积相等”的性质，可通过连接辅助线DF，将分散的两块阴影面积转化为同一个三角形的面积；再根据BD和DC的长度比，得到同高的△BDF和△DCF的面积比，最后把△ABC的总面积按份数拆分，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：如图，连接DF。
∵AE=DE，△AEF和△EDF同高，△ABE和△BDE同高，
∴$S_{△ AEF}=S_{△ EDF}$，$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}$。
∴$S_{△ AEF}+S_{△ ABE}=S_{△ EDF}+S_{△ BDE}$，
即 $S_{△ ABF}=S_{△ BDF}$。
∵$BD=\frac{2}{3}BC$，
∴$DC=\frac{1}{3}BC$，即$BD:DC=2:1$，
△BDF和△DCF同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BDF}=2S_{△ DCF}$。
∴$S_{△ ABF}=S_{△ BDF}=2S_{△ DCF}$，
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}+S_{△ DCF}=2S_{△ DCF}+2S_{△ DCF}+S_{△ DCF}=5S_{△ DCF}$。
∴$S_{△ DCF}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}× 10=2$。
∴阴影部分的面积和 $=S_{△ BDE}+S_{△ AEF}=S_{△ BDE}+S_{△ EDF}=S_{△ BDF}=2×2=4$。
【答案】
阴影部分的面积和为4。
【知识点】
等积变换，三角形面积比例，辅助线构造
【点评】
本题是典型的三角形面积计算问题，解题核心是通过添加辅助线，利用等底同高的三角形面积相等的性质，将分散的阴影面积转化为可计算的整体，再结合同高三角形面积与底成正比的关系建立总面积和待求面积的联系，能有效锻炼几何转化思维和比例计算能力。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积和，已知E为AD中点、$BD=\frac{2}{3}BC$，且$S_{△ABC}=10$。首先依据“等底同高的三角形面积相等”的性质，可通过连接辅助线DF，将分散的两块阴影面积转化为同一个三角形的面积；再根据BD和DC的长度比，得到同高的△BDF和△DCF的面积比，最后把△ABC的总面积按份数拆分，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：如图，连接DF。
∵AE=DE，△AEF和△EDF同高，△ABE和△BDE同高，
∴$S_{△ AEF}=S_{△ EDF}$，$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}$。
∴$S_{△ AEF}+S_{△ ABE}=S_{△ EDF}+S_{△ BDE}$，
即 $S_{△ ABF}=S_{△ BDF}$。
∵$BD=\frac{2}{3}BC$，
∴$DC=\frac{1}{3}BC$，即$BD:DC=2:1$，
△BDF和△DCF同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BDF}=2S_{△ DCF}$。
∴$S_{△ ABF}=S_{△ BDF}=2S_{△ DCF}$，
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}+S_{△ DCF}=2S_{△ DCF}+2S_{△ DCF}+S_{△ DCF}=5S_{△ DCF}$。
∴$S_{△ DCF}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}× 10=2$。
∴阴影部分的面积和 $=S_{△ BDE}+S_{△ AEF}=S_{△ BDE}+S_{△ EDF}=S_{△ BDF}=2×2=4$。
【答案】
阴影部分的面积和为4。
【知识点】
等积变换，三角形面积比例，辅助线构造
【点评】
本题是典型的三角形面积计算问题，解题核心是通过添加辅助线，利用等底同高的三角形面积相等的性质，将分散的阴影面积转化为可计算的整体，再结合同高三角形面积与底成正比的关系建立总面积和待求面积的联系，能有效锻炼几何转化思维和比例计算能力。
【难度系数】
0.6
