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4. 在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$AB=3$，高$AD$与高$BE$所在直线交于点$H$，点$H$在$△ ABC$的外部，下列关于$∠ C$的描述正确的是（
A.$∠ C$是锐角
B.$∠ C$是直角
C.$∠ C$是钝角
D.$∠ C$是锐角或钝角
D
）.A.$∠ C$是锐角
B.$∠ C$是直角
C.$∠ C$是钝角
D.$∠ C$是锐角或钝角
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先明确三角形三条高的交点（垂心）的位置与三角形形状的对应关系：锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部。题目中交点H在三角形外部，说明△ABC是钝角三角形，已知∠B=45°为锐角，因此钝角只能是∠A或∠C，分两种情况讨论∠C的类型即可得出结论。
【解析】
我们根据三角形垂心的位置规律逐一分析：
1. 若△ABC为锐角三角形：垂心在三角形内部，不符合“H在△ABC外部”的条件，排除；
2. 若△ABC为直角三角形：垂心与直角顶点重合，位于三角形顶点处，不属于“在外部”，排除；
3. 因此△ABC只能是钝角三角形，已知∠B=45°是锐角，故钝角为∠A或∠C：
当钝角为∠A时，∠C = 180° - ∠B - ∠A ＜ 180° - 45° - 90° = 45°，是锐角，符合条件；
当钝角为∠C时，∠C ＞ 90°，是钝角，也符合条件。
综上，∠C可能是锐角也可能是钝角。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；垂心的性质；三角形内角和
【点评】
本题考查三角形垂心位置与三角形形状的对应关系，解题时需要注意分类讨论钝角的位置，避免因思维定势认为钝角一定是∠C而错选。
【难度系数】
0.6
解题时先明确三角形三条高的交点（垂心）的位置与三角形形状的对应关系：锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部。题目中交点H在三角形外部，说明△ABC是钝角三角形，已知∠B=45°为锐角，因此钝角只能是∠A或∠C，分两种情况讨论∠C的类型即可得出结论。
【解析】
我们根据三角形垂心的位置规律逐一分析：
1. 若△ABC为锐角三角形：垂心在三角形内部，不符合“H在△ABC外部”的条件，排除；
2. 若△ABC为直角三角形：垂心与直角顶点重合，位于三角形顶点处，不属于“在外部”，排除；
3. 因此△ABC只能是钝角三角形，已知∠B=45°是锐角，故钝角为∠A或∠C：
当钝角为∠A时，∠C = 180° - ∠B - ∠A ＜ 180° - 45° - 90° = 45°，是锐角，符合条件；
当钝角为∠C时，∠C ＞ 90°，是钝角，也符合条件。
综上，∠C可能是锐角也可能是钝角。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；垂心的性质；三角形内角和
【点评】
本题考查三角形垂心位置与三角形形状的对应关系，解题时需要注意分类讨论钝角的位置，避免因思维定势认为钝角一定是∠C而错选。
【难度系数】
0.6
5. 如图13.2-9，在三角形纸片ABC中，D为BC上一点，沿过点D的直线折叠这个三角形，使点C与点B重合，则AD是△ABC的（
A.高线
B.角平分线
C.中线
D.不能确定
C
）。A.高线
B.角平分线
C.中线
D.不能确定
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先从题目给出的折叠操作入手，回忆折叠的性质：折叠后重合的对应点的连线被折痕垂直平分，对应边长度相等。本题中点C折叠后与点B重合，说明B、C是对应点，结合D在BC边上，可推出BD=CD，即D是BC的中点。再对照三角形高线、角平分线、中线的定义，即可判断AD的类型。
【解析】
根据折叠的性质可知，沿过点D的直线折叠后点C与点B重合，因此对应边BD=CD，即点D是BC边的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC的中线。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是通过折叠的性质得到边的等量关系，再结合三角形三类特殊线段的定义判断即可，解题时注意不要混淆高、角平分线、中线的概念。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的折叠操作入手，回忆折叠的性质：折叠后重合的对应点的连线被折痕垂直平分，对应边长度相等。本题中点C折叠后与点B重合，说明B、C是对应点，结合D在BC边上，可推出BD=CD，即D是BC的中点。再对照三角形高线、角平分线、中线的定义，即可判断AD的类型。
【解析】
根据折叠的性质可知，沿过点D的直线折叠后点C与点B重合，因此对应边BD=CD，即点D是BC边的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC的中线。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是通过折叠的性质得到边的等量关系，再结合三角形三类特殊线段的定义判断即可，解题时注意不要混淆高、角平分线、中线的概念。
【难度系数】
0.8
6. 如图13.2-10，在$△ ABC$中，D，E分别是线段BC，AD的中点，点F在BE上，且$EF=2BF$。若$S_{△ BCF}=2\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC}=$（
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$16\ \mathrm{cm}^2$
C
）。A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$16\ \mathrm{cm}^2$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时我们可以分两步推导：首先利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合已知EF=2BF和△BCF的面积，先求出△BCE的面积；再利用三角形中线平分三角形面积的性质，找到△BCE和△ABC的面积关系，最终求出△ABC的面积。
【解析】
1. 对于△BCF和△BCE，二者同高（以C为顶点向BE所在直线作高，高相同），面积比等于底的比。
已知EF=2BF，故BE=BF+EF=3BF，即$BF:BE=1:3$，因此$S_{△ BCF}:S_{△ BCE}=1:3$。
代入$S_{△ BCF}=2\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ BCE}=3× 2=6\ \mathrm{cm}^2$。
2. 因为E是AD的中点，所以BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线：
中线平分三角形面积，故$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$。
因此$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
3. 计算得$S_{△ ABC}=2× S_{△ BCE}=2×6=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 同高三角形面积规律
2. 三角形中线的面积性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是灵活运用同高三角形的面积比例关系和中线平分面积的性质，逐步推导各部分面积的关联即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分两步推导：首先利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合已知EF=2BF和△BCF的面积，先求出△BCE的面积；再利用三角形中线平分三角形面积的性质，找到△BCE和△ABC的面积关系，最终求出△ABC的面积。
【解析】
1. 对于△BCF和△BCE，二者同高（以C为顶点向BE所在直线作高，高相同），面积比等于底的比。
已知EF=2BF，故BE=BF+EF=3BF，即$BF:BE=1:3$，因此$S_{△ BCF}:S_{△ BCE}=1:3$。
代入$S_{△ BCF}=2\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ BCE}=3× 2=6\ \mathrm{cm}^2$。
2. 因为E是AD的中点，所以BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线：
中线平分三角形面积，故$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$。
因此$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
3. 计算得$S_{△ ABC}=2× S_{△ BCE}=2×6=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 同高三角形面积规律
2. 三角形中线的面积性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是灵活运用同高三角形的面积比例关系和中线平分面积的性质，逐步推导各部分面积的关联即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图13.2-11，将$△ ABC$的$BA$边延长到点$D$，使$AD=BA$，$CB$边延长到点$E$，使$BE=2CB$，$AC$边延长到点$F$，使$CF=AC$。如果$△ ABC$的面积等于1，那么$△ DEF$的面积等于（
A.10
B.8
C.9
D.11
A
）。A.10
B.8
C.9
D.11
答案
7. A
解析
【分析】
要求△DEF的面积，已知△ABC的面积为1，且给出了各延长线段的倍数关系，我们可以利用“等高的两个三角形，面积之比等于对应底边长的比”这一性质，通过分析△DEF拆分出的各部分三角形与△ABC的面积关系，分别计算各部分面积后求和即可得到结果。
【解析】
我们通过连接辅助线，分别计算各部分面积：
1. 计算$S_{△ BDE}$：
连接AE，$△ ABE$和$△ ABC$等高（高为点A到直线CE的距离），已知$BE=2CB$，所以$S_{△ ABE}=2S_{△ ABC}=2×1=2$。
又$AD=BA$，$△ ADE$和$△ ABE$等高（高为点E到直线BD的距离），所以$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}=2$，因此$S_{△ BDE}=2+2=4$。
2. 计算$S_{△ ADF}$：
连接CD，$△ ACD$和$△ ABC$等高（高为点C到直线BD的距离），已知$AD=BA$，所以$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=1$。
$△ CDF$和$△ ACD$等高（高为点D到直线AF的距离），已知$CF=AC$，所以$S_{△ CDF}=S_{△ ACD}=1$，因此$S_{△ ADF}=1+1=2$。
3. 计算$S_{△ CEF}$：
连接BF，$△ BCF$和$△ ABC$等高（高为点B到直线AF的距离），已知$CF=AC$，所以$S_{△ BCF}=S_{△ ABC}=1$。
$△ BEF$和$△ BCF$等高（高为点F到直线CE的距离），已知$BE=2CB$，所以$S_{△ BEF}=2S_{△ BCF}=2×1=2$，因此$S_{△ CEF}=1+2=3$。
4. 计算$S_{△ DEF}$：
$△ DEF$的面积为上述三个三角形面积加上中间$△ ABC$的面积，即$S_{△ DEF}=4+2+3+1=10$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积与底高的关系，等底等高三角形面积性质
【点评】
本题解题关键是灵活运用等高三角形面积与底的正比关系，通过连接辅助线将未知面积的三角形拆分为与已知三角形面积相关的部分，逐步计算求和即可得到结果，是三角形面积计算类的典型题型。
【难度系数】
0.6
要求△DEF的面积，已知△ABC的面积为1，且给出了各延长线段的倍数关系，我们可以利用“等高的两个三角形，面积之比等于对应底边长的比”这一性质，通过分析△DEF拆分出的各部分三角形与△ABC的面积关系，分别计算各部分面积后求和即可得到结果。
【解析】
我们通过连接辅助线，分别计算各部分面积：
1. 计算$S_{△ BDE}$：
连接AE，$△ ABE$和$△ ABC$等高（高为点A到直线CE的距离），已知$BE=2CB$，所以$S_{△ ABE}=2S_{△ ABC}=2×1=2$。
又$AD=BA$，$△ ADE$和$△ ABE$等高（高为点E到直线BD的距离），所以$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}=2$，因此$S_{△ BDE}=2+2=4$。
2. 计算$S_{△ ADF}$：
连接CD，$△ ACD$和$△ ABC$等高（高为点C到直线BD的距离），已知$AD=BA$，所以$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=1$。
$△ CDF$和$△ ACD$等高（高为点D到直线AF的距离），已知$CF=AC$，所以$S_{△ CDF}=S_{△ ACD}=1$，因此$S_{△ ADF}=1+1=2$。
3. 计算$S_{△ CEF}$：
连接BF，$△ BCF$和$△ ABC$等高（高为点B到直线AF的距离），已知$CF=AC$，所以$S_{△ BCF}=S_{△ ABC}=1$。
$△ BEF$和$△ BCF$等高（高为点F到直线CE的距离），已知$BE=2CB$，所以$S_{△ BEF}=2S_{△ BCF}=2×1=2$，因此$S_{△ CEF}=1+2=3$。
4. 计算$S_{△ DEF}$：
$△ DEF$的面积为上述三个三角形面积加上中间$△ ABC$的面积，即$S_{△ DEF}=4+2+3+1=10$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积与底高的关系，等底等高三角形面积性质
【点评】
本题解题关键是灵活运用等高三角形面积与底的正比关系，通过连接辅助线将未知面积的三角形拆分为与已知三角形面积相关的部分，逐步计算求和即可得到结果，是三角形面积计算类的典型题型。
【难度系数】
0.6
