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8. 某水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，又用1650元购进该品种苹果，此次所购数量是第一次的3倍，且进货价比第一次每千克贵0.5元.
（1）第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？
（2）该水果店以8元/千克的价格销售这些苹果，售完这些苹果共可获利多少元？
（1）第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？
（2）该水果店以8元/千克的价格销售这些苹果，售完这些苹果共可获利多少元？
答案
8. 解：(1) 设第一次所购苹果的进货价是$x$元/千克，则第二次所购苹果的进货价是$(x+0.5)$元/千克.
根据题意，得$3·\dfrac{500}{x}=\dfrac{1\ 650}{x+0.5}$.
方程两边乘$x(x+0.5)$，得
$1\ 500(x+0.5)=1\ 650x$.
解得$x=5$.
检验：当$x=5$时，$x(x+0.5)\ne0$.
所以，原分式方程的解为$x=5$.
答：第一次所购苹果的进货价是5元/千克.
(2) 第一次购进数量：$500÷5=100\ (\mathrm{kg})$.
第二次购进数量：$300\ \mathrm{kg}$.
总获利：$(100+300)×8-500-1\ 650=1\ 050(\mathrm{元})$.
答：该水果店售完这些苹果共可获利1 050元.
根据题意，得$3·\dfrac{500}{x}=\dfrac{1\ 650}{x+0.5}$.
方程两边乘$x(x+0.5)$，得
$1\ 500(x+0.5)=1\ 650x$.
解得$x=5$.
检验：当$x=5$时，$x(x+0.5)\ne0$.
所以，原分式方程的解为$x=5$.
答：第一次所购苹果的进货价是5元/千克.
(2) 第一次购进数量：$500÷5=100\ (\mathrm{kg})$.
第二次购进数量：$300\ \mathrm{kg}$.
总获利：$(100+300)×8-500-1\ 650=1\ 050(\mathrm{元})$.
答：该水果店售完这些苹果共可获利1 050元.
解析
【分析】
（1）本题为分式方程的实际应用题，求第一次进货价可直接设未知数列方程求解。核心等量关系为：第二次购进苹果的数量=第一次购进苹果数量×3。其中购进数量=总进货金额÷进货单价，设第一次进货价为x元/千克，就能表示出第二次的进货价和两次的进货数量，代入等量关系可列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
（2）求总获利可根据“总获利=总销售额-总进货成本”计算。先利用第一问的结果算出两次的进货总重量，再计算总销售额，减去两次进货的总成本即可得到总利润。
【解析】
(1) 设第一次所购苹果的进货价是$x$元/千克，则第二次所购苹果的进货价是$(x+0.5)$元/千克。
根据题意，得$3·\dfrac{500}{x}=\dfrac{1\ 650}{x+0.5}$。
方程两边乘$x(x+0.5)$，得
$1\ 500(x+0.5)=1\ 650x$。
解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x(x+0.5)\ne0$，所以原分式方程的解为$x=5$，且符合实际意义。
答：第一次所购苹果的进货价是5元/千克。
(2) 第一次购进数量：$500÷5=100\ (\mathrm{kg})$。
第二次购进数量：$100×3=300\ \mathrm{kg}$。
总获利：$(100+300)×8-500-1\ 650=1\ 050(\mathrm{元})$。
答：该水果店售完这些苹果共可获利1 050元。
【答案】
（1）5元/千克
（2）1050元
【知识点】
列分式方程解应用题、分式方程的解法、利润计算
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，解题核心是找准等量关系列方程，注意分式方程求解后必须验根，避免增根不符合题意，利润计算要明确成本、售价、利润三者的关系。
【难度系数】
0.7
（1）本题为分式方程的实际应用题，求第一次进货价可直接设未知数列方程求解。核心等量关系为：第二次购进苹果的数量=第一次购进苹果数量×3。其中购进数量=总进货金额÷进货单价，设第一次进货价为x元/千克，就能表示出第二次的进货价和两次的进货数量，代入等量关系可列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
（2）求总获利可根据“总获利=总销售额-总进货成本”计算。先利用第一问的结果算出两次的进货总重量，再计算总销售额，减去两次进货的总成本即可得到总利润。
【解析】
(1) 设第一次所购苹果的进货价是$x$元/千克，则第二次所购苹果的进货价是$(x+0.5)$元/千克。
根据题意，得$3·\dfrac{500}{x}=\dfrac{1\ 650}{x+0.5}$。
方程两边乘$x(x+0.5)$，得
$1\ 500(x+0.5)=1\ 650x$。
解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x(x+0.5)\ne0$，所以原分式方程的解为$x=5$，且符合实际意义。
答：第一次所购苹果的进货价是5元/千克。
(2) 第一次购进数量：$500÷5=100\ (\mathrm{kg})$。
第二次购进数量：$100×3=300\ \mathrm{kg}$。
总获利：$(100+300)×8-500-1\ 650=1\ 050(\mathrm{元})$。
答：该水果店售完这些苹果共可获利1 050元。
【答案】
（1）5元/千克
（2）1050元
【知识点】
列分式方程解应用题、分式方程的解法、利润计算
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，解题核心是找准等量关系列方程，注意分式方程求解后必须验根，避免增根不符合题意，利润计算要明确成本、售价、利润三者的关系。
【难度系数】
0.7
9. 在数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间。若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为
$\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$
。（“里”非国际通用单位）答案
9. $\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要找准核心等量关系，本题的等量关系为“快马的速度是慢马的2倍”。我们可以先结合设出的规定时间x天，分别表示出慢马、快马派送文件的总时长，再根据“速度=路程÷时间”分别写出两种马的速度表达式，最后代入等量关系即可得到所求方程。
【解析】
设规定时间为x天：
1. 慢马所需时间比规定时间多2天，因此慢马派送总耗时为$(x+2)$天，根据速度公式可得慢马速度为$\dfrac{600}{x+2}$里/天；
2. 快马所需时间比规定时间少3天，因此快马派送总耗时为$(x-3)$天，同理可得快马速度为$\dfrac{600}{x-3}$里/天；
3. 结合“快马速度是慢马的2倍”的等量关系，代入速度表达式可得方程：$\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$。
【答案】
$\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题属于基础类方程应用题，解题关键是准确梳理两种派送方式的耗时，找准速度的倍数等量关系，侧重考查应用题的基础分析能力。
【难度系数】
0.7
要列出符合题意的方程，首先要找准核心等量关系，本题的等量关系为“快马的速度是慢马的2倍”。我们可以先结合设出的规定时间x天，分别表示出慢马、快马派送文件的总时长，再根据“速度=路程÷时间”分别写出两种马的速度表达式，最后代入等量关系即可得到所求方程。
【解析】
设规定时间为x天：
1. 慢马所需时间比规定时间多2天，因此慢马派送总耗时为$(x+2)$天，根据速度公式可得慢马速度为$\dfrac{600}{x+2}$里/天；
2. 快马所需时间比规定时间少3天，因此快马派送总耗时为$(x-3)$天，同理可得快马速度为$\dfrac{600}{x-3}$里/天；
3. 结合“快马速度是慢马的2倍”的等量关系，代入速度表达式可得方程：$\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$。
【答案】
$\dfrac{600}{x-3}=2·\dfrac{600}{x+2}$
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题属于基础类方程应用题，解题关键是准确梳理两种派送方式的耗时，找准速度的倍数等量关系，侧重考查应用题的基础分析能力。
【难度系数】
0.7
10. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低与琴弦的长度有关，如三根琴弦（材料相同）长度之比为$15:12:10$，把它们绷得一样紧（张力相同），用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的声音。研究这三个数的倒数发现：$\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$，此时我们称15，12，10这三个数为一组调和数。现有三个数（未排序）：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为
$15或\dfrac{15}{4}或\dfrac{15}{7}$
。答案
10. $15或\dfrac{15}{4}或\dfrac{15}{7}$
解析
【分析】
首先要理解调和数的定义：若三个数从大到小排列为a、b、c，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，整理可得$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$。由于给出的三个数5、3、x未排序，x的大小位置不确定，因此需要分三种情况讨论：x是最大数、x是中间数、x是最小数，分别列分式方程求解，最后要检验分式方程的根是否符合对应情况的大小关系、是否为增根。
【解析】
根据调和数的定义，三个数按从大到小排列为a、b、c时，满足$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$，分三种情况讨论：
1. 当x为最大数时，排序为$x＞5＞3$，中间数$b=5$，代入得：
$\frac{2}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}$
移项计算得：$\frac{1}{x}=\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$，解得$x=15$。
检验：$x=15≠0$，且$15＞5＞3$，符合题意。
2. 当x为中间数时，排序为$5＞x＞3$，中间数$b=x$，代入得：
$\frac{2}{x}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$
计算右边得$\frac{8}{15}$，交叉相乘得$8x=30$，解得$x=\frac{15}{4}$。
检验：$x=\frac{15}{4}≠0$，且$5＞\frac{15}{4}＞3$，符合题意。
3. 当x为最小数时，排序为$5＞3＞x$，中间数$b=3$，代入得：
$\frac{2}{3}=\frac{1}{5}+\frac{1}{x}$
移项计算得：$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{7}{15}$，解得$x=\frac{15}{7}$。
检验：$x=\frac{15}{7}≠0$，且$5＞3＞\frac{15}{7}$，符合题意。
【答案】
$15或\dfrac{15}{4}或\dfrac{15}{7}$
【知识点】
新定义问题、分式方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题以调和数的新定义为背景，考查分式方程的应用，解题核心是准确理解新定义的运算规则，结合未知数的大小位置合理分类讨论，同时注意解分式方程后要检验根是否满足题意。
【难度系数】
0.6
首先要理解调和数的定义：若三个数从大到小排列为a、b、c，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，整理可得$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$。由于给出的三个数5、3、x未排序，x的大小位置不确定，因此需要分三种情况讨论：x是最大数、x是中间数、x是最小数，分别列分式方程求解，最后要检验分式方程的根是否符合对应情况的大小关系、是否为增根。
【解析】
根据调和数的定义，三个数按从大到小排列为a、b、c时，满足$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$，分三种情况讨论：
1. 当x为最大数时，排序为$x＞5＞3$，中间数$b=5$，代入得：
$\frac{2}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}$
移项计算得：$\frac{1}{x}=\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$，解得$x=15$。
检验：$x=15≠0$，且$15＞5＞3$，符合题意。
2. 当x为中间数时，排序为$5＞x＞3$，中间数$b=x$，代入得：
$\frac{2}{x}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$
计算右边得$\frac{8}{15}$，交叉相乘得$8x=30$，解得$x=\frac{15}{4}$。
检验：$x=\frac{15}{4}≠0$，且$5＞\frac{15}{4}＞3$，符合题意。
3. 当x为最小数时，排序为$5＞3＞x$，中间数$b=3$，代入得：
$\frac{2}{3}=\frac{1}{5}+\frac{1}{x}$
移项计算得：$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{7}{15}$，解得$x=\frac{15}{7}$。
检验：$x=\frac{15}{7}≠0$，且$5＞3＞\frac{15}{7}$，符合题意。
【答案】
$15或\dfrac{15}{4}或\dfrac{15}{7}$
【知识点】
新定义问题、分式方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题以调和数的新定义为背景，考查分式方程的应用，解题核心是准确理解新定义的运算规则，结合未知数的大小位置合理分类讨论，同时注意解分式方程后要检验根是否满足题意。
【难度系数】
0.6
11. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为7元/个和12元/个.
已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的$\frac{2}{3}$，用300元购买的水果蛋糕比用612元购买的慕斯蛋糕少9个.
（1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕每个的售价分别为多少元；
（2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了$\frac{3}{4}a\%$，每个慕斯蛋糕的售价上调了$\frac{1}{6}a\%$. 月底，经统计，水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个. 若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值.
已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的$\frac{2}{3}$，用300元购买的水果蛋糕比用612元购买的慕斯蛋糕少9个.
（1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕每个的售价分别为多少元；
（2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了$\frac{3}{4}a\%$，每个慕斯蛋糕的售价上调了$\frac{1}{6}a\%$. 月底，经统计，水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个. 若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值.
答案
11. 解：(1) 设慕斯蛋糕每个售价为$3x$元，则水果蛋糕每个售价为$2x$元.
根据题意，得$\dfrac{612}{3x}-\dfrac{300}{2x}=9$.
方程两边乘$6x$，得$1\ 224-900=54x$.
解得$x=6$.
检验：当$x=6$时，$6x\ne0$.
所以，原分式方程的解为$x=6$.
故$3x=18$，$2x=12$.
答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元.
(2) 根据题意，得$12(1+\dfrac{3}{4}a\%)×400+18(1+\dfrac{1}{6}a\%)×300-400×7-300×12\ge4\ 700$.
解得$a\ge20$.
答：$a$的最小值为20.
根据题意，得$\dfrac{612}{3x}-\dfrac{300}{2x}=9$.
方程两边乘$6x$，得$1\ 224-900=54x$.
解得$x=6$.
检验：当$x=6$时，$6x\ne0$.
所以，原分式方程的解为$x=6$.
故$3x=18$，$2x=12$.
答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元.
(2) 根据题意，得$12(1+\dfrac{3}{4}a\%)×400+18(1+\dfrac{1}{6}a\%)×300-400×7-300×12\ge4\ 700$.
解得$a\ge20$.
答：$a$的最小值为20.
解析
【分析】
（1）第一问是分式方程的销售类应用，解题思路如下：首先根据“水果蛋糕售价是慕斯蛋糕售价的$\frac{2}{3}$”的条件，设慕斯蛋糕售价为$3x$元、水果蛋糕售价为$2x$元，可避免计算出现分数；再找核心等量关系：612元购买的慕斯蛋糕数量 - 300元购买的水果蛋糕数量 = 9，结合“数量=总价÷单价”分别表示两种蛋糕的购买数量，代入等量关系列分式方程，求解后必须检验分母不为0，最后计算两种蛋糕的售价即可。
（2）第二问是一元一次不等式的利润类应用，解题思路如下：牢记“总利润=总销售额-总成本”的核心公式，先表示出调价后两种蛋糕的单价，结合各自销量计算总销售额，再减去两种蛋糕的总成本，根据“总利润不低于4700元”的要求列不等式，求解不等式得到$a$的取值范围，即可得到$a$的最小值。
【解析】
(1) 设慕斯蛋糕每个售价为$3x$元，则水果蛋糕每个售价为$2x$元。
根据题意列方程：
$\dfrac{612}{3x}-\dfrac{300}{2x}=9$
方程两边乘最简公分母$6x$去分母，得：
$1224-900=54x$
化简得$324=54x$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$6x=36\ne0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
则慕斯蛋糕售价：$3x=3×6=18$元，水果蛋糕售价：$2x=2×6=12$元。
(2) 根据总利润≥4700元列不等式：
$12(1+\dfrac{3}{4}a\%)×400 + 18(1+\dfrac{1}{6}a\%)×300 - 400×7 - 300×12 \ge 4700$
化简不等式左边：
$4800×(1+\dfrac{3a}{400})+5400×(1+\dfrac{a}{600})-2800-3600$
$=4800+36a+5400+9a-6400=3800+45a$
因此不等式变为：
$3800+45a\ge4700$
移项得$45a\ge900$，解得$a\ge20$。
【答案】
（1）水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元；
（2）$a$的最小值为20。
【知识点】
分式方程应用、一元一次不等式应用、销售利润计算
【点评】
本题是实际应用类综合题，核心考查分式方程和一元一次不等式的实际使用，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系、不等关系，同时要注意分式方程求解后必须验根，这类问题是常考题型，需要熟练掌握销售问题的基本数量公式。
【难度系数】
0.65
（1）第一问是分式方程的销售类应用，解题思路如下：首先根据“水果蛋糕售价是慕斯蛋糕售价的$\frac{2}{3}$”的条件，设慕斯蛋糕售价为$3x$元、水果蛋糕售价为$2x$元，可避免计算出现分数；再找核心等量关系：612元购买的慕斯蛋糕数量 - 300元购买的水果蛋糕数量 = 9，结合“数量=总价÷单价”分别表示两种蛋糕的购买数量，代入等量关系列分式方程，求解后必须检验分母不为0，最后计算两种蛋糕的售价即可。
（2）第二问是一元一次不等式的利润类应用，解题思路如下：牢记“总利润=总销售额-总成本”的核心公式，先表示出调价后两种蛋糕的单价，结合各自销量计算总销售额，再减去两种蛋糕的总成本，根据“总利润不低于4700元”的要求列不等式，求解不等式得到$a$的取值范围，即可得到$a$的最小值。
【解析】
(1) 设慕斯蛋糕每个售价为$3x$元，则水果蛋糕每个售价为$2x$元。
根据题意列方程：
$\dfrac{612}{3x}-\dfrac{300}{2x}=9$
方程两边乘最简公分母$6x$去分母，得：
$1224-900=54x$
化简得$324=54x$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$6x=36\ne0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
则慕斯蛋糕售价：$3x=3×6=18$元，水果蛋糕售价：$2x=2×6=12$元。
(2) 根据总利润≥4700元列不等式：
$12(1+\dfrac{3}{4}a\%)×400 + 18(1+\dfrac{1}{6}a\%)×300 - 400×7 - 300×12 \ge 4700$
化简不等式左边：
$4800×(1+\dfrac{3a}{400})+5400×(1+\dfrac{a}{600})-2800-3600$
$=4800+36a+5400+9a-6400=3800+45a$
因此不等式变为：
$3800+45a\ge4700$
移项得$45a\ge900$，解得$a\ge20$。
【答案】
（1）水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元；
（2）$a$的最小值为20。
【知识点】
分式方程应用、一元一次不等式应用、销售利润计算
【点评】
本题是实际应用类综合题，核心考查分式方程和一元一次不等式的实际使用，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系、不等关系，同时要注意分式方程求解后必须验根，这类问题是常考题型，需要熟练掌握销售问题的基本数量公式。
【难度系数】
0.65
