18.3【提出问题】已知$m＞n＞0$，$a＞0$，分式$\frac{n}{m}$的分子、分母都加上$a$后，所得分式$\frac{n+a}{m+a}$的值与$\frac{n}{m}$相比是增大了还是减小了？
【观察发现】观察下列式子：$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+2}{3+2}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+3}{3+3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+4}{3+4}$……对于真分数$\frac{2}{3}$，当分子、分母同时加上同一个大于0的数$a$时，所得分数的值变大，即$\frac{2}{3}＜\frac{2+a}{3+a}$。
【探究验证】（1）对于$\frac{2}{3}＜\frac{2+a}{3+a}$，我们可以用“作差法”进行证明。
$\frac{2}{3}-\frac{2+a}{3+a}=\frac{2(3+a)-3(2+a)}{3(3+a)}=\frac{-a}{3(3+a)}$。
$\because a＞0$，$\therefore -a＜0$，$3(3+a)＞0$。
$\therefore \frac{-a}{3(3+a)}＜0$，即$\frac{2}{3}-\frac{2+a}{3+a}＜0$，$\therefore \frac{2}{3}＜\frac{2+a}{3+a}$。
（2）由（1）我们可猜想$\frac{n}{m}$与$\frac{n+a}{m+a}$的大小关系是：，请你用“作差法”证明你的结论。
【拓展思考】（3）若$n＞m＞0$，$a＞0$，则（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子。
【方法应用】（4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为$v_1$，$v_2$，水流速度为$v_0$($v_1＞v_2＞v_0＞0$)，两船同向航行1 h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为$t_1$，$t_2$，请比较$t_1$，$t_2$的大小，判断哪条船先返回A港。

解：（2）$\frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$
证明如下：
$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{n(m+a)-m(n+a)}{m(m+a)}=\frac{nm+na-mn-ma}{m(m+a)}=\frac{na-ma}{m(m+a)}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}$.
$\because m＞n＞0$，$a＞0$，
$\therefore n-m＜0$，$m+a＞0$.
$\therefore \frac{a(n-m)}{m(m+a)}＜0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}＜0$.
$\therefore \frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$.
（3）不成立. 正确的大小关系是$\frac{n}{m}＞\frac{n+a}{m+a}$.
理由如下：
根据（2）可得$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}$.
$\because n＞m＞0$，$a＞0$，
$\therefore n-m＞0$，$m+a＞0$.
$\therefore \frac{a(n-m)}{m(m+a)}＞0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}＞0$.
$\therefore \frac{n}{m}＞\frac{n+a}{m+a}$.
（4）当返航为顺水时，
$t_1=\frac{v_1-v_0}{v_1+v_0}$，$t_2=\frac{v_2-v_0}{v_2+v_0}$.
$t_1-t_2=\frac{v_1-v_0}{v_1+v_0}-\frac{v_2-v_0}{v_2+v_0}$
$=\frac{(v_1-v_0)(v_2+v_0)-(v_2-v_0)(v_1+v_0)}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}=$
$\frac{v_1v_2+v_1v_0-v_0v_2-v_0^2-v_1v_2-v_0v_2+v_0v_1+v_0^2}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}$
$=\frac{2v_0v_1-2v_0v_2}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}=\frac{2v_0(v_1-v_2)}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}$.
$\because v_1＞v_2＞v_0＞0$，
$\therefore v_1-v_2＞0$，$v_1+v_0＞0$，$v_2+v_0＞0$.
$\therefore t_1-t_2=\frac{2v_0(v_1-v_2)}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}＞0$，
即$t_1＞t_2$.
当返航为逆水时，
$t_1=\frac{v_1+v_0}{v_1-v_0}$，$t_2=\frac{v_2+v_0}{v_2-v_0}$.
$t_1-t_2=\frac{v_1+v_0}{v_1-v_0}-\frac{v_2+v_0}{v_2-v_0}$
$=\frac{(v_1+v_0)(v_2-v_0)-(v_2+v_0)(v_1-v_0)}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}=$
$\frac{v_1v_2-v_0v_1+v_0v_2-v_0^2-v_1v_2+v_0v_2-v_0v_1+v_0^2}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}$
$=\frac{2v_0v_2-2v_0v_1}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}=\frac{2v_0(v_2-v_1)}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}$.
$\because v_1＞v_2＞v_0＞0$，
$\therefore v_2-v_1＜0$，$v_1-v_0＞0$，$v_2-v_0＞0$.
$\therefore t_1-t_2=\frac{2v_0(v_2-v_1)}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}＜0$，
即$t_1＜t_2$.
故当返航为顺水时，乙船先返回；当返航为逆水时，甲船先返回.

【分析】
本题可通过作差法比较分式大小，解题思路如下：1. 对于（2），类比给出的作差证明过程，先计算$\frac{n}{m}$与$\frac{n+a}{m+a}$的差，通分化简后结合$m＞n＞0,a＞0$的条件判断差的正负，即可得到二者大小关系；2. 对于（3），沿用（2）中化简得到的差的表达式，将条件替换为$n＞m＞0,a＞0$，重新判断差的正负，即可得到新的大小关系；3. 对于（4），先根据行程公式算出两船驶出的路程，结合返航的顺水/逆水速度得到返航时间$t_1、t_2$的表达式，再用作差法计算$t_1-t_2$，分返航为顺水、逆水两种情况判断差的正负，即可比较$t_1、t_2$的大小，判断哪条船先返回。
【解析】
（2）猜想大小关系为$\frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$，证明如下：
$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{n(m+a)-m(n+a)}{m(m+a)}=\frac{nm+na-mn-ma}{m(m+a)}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}$
$\because m＞n＞0,a＞0$，$\therefore n-m＜0$，$m(m+a)＞0$
$\therefore \frac{a(n-m)}{m(m+a)}＜0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}＜0$，因此$\frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$。
（3）（2）中的不等式不成立，正确的大小关系是$\frac{n}{m}＞\frac{n+a}{m+a}$，理由如下：
由（2）的推导可得$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}$
$\because n＞m＞0,a＞0$，$\therefore n-m＞0$，$m(m+a)＞0$
$\therefore \frac{a(n-m)}{m(m+a)}＞0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}＞0$，因此$\frac{n}{m}＞\frac{n+a}{m+a}$。
（4）两船同向航行1h的路程即为返航路程，分两种情况讨论：
①若返航为顺水：
驶出时为逆水，驶出路程分别为$(v_1-v_0)×1$、$(v_2-v_0)×1$，返航顺水速度分别为$v_1+v_0$、$v_2+v_0$，因此：
$t_1=\frac{v_1-v_0}{v_1+v_0}$，$t_2=\frac{v_2-v_0}{v_2+v_0}$
作差得：
$t_1-t_2=\frac{v_1-v_0}{v_1+v_0}-\frac{v_2-v_0}{v_2+v_0}=\frac{(v_1-v_0)(v_2+v_0)-(v_2-v_0)(v_1+v_0)}{(v_1+v_0)(v_2+v_0)}$
展开分子化简得$2v_0(v_1-v_2)$，$\because v_1＞v_2＞v_0＞0$，$\therefore v_1-v_2＞0$，分母$(v_1+v_0)(v_2+v_0)＞0$，因此$t_1-t_2＞0$，即$t_1＞t_2$。
②若返航为逆水：
驶出时为顺水，驶出路程分别为$(v_1+v_0)×1$、$(v_2+v_0)×1$，返航逆水速度分别为$v_1-v_0$、$v_2-v_0$，因此：
$t_1=\frac{v_1+v_0}{v_1-v_0}$，$t_2=\frac{v_2+v_0}{v_2-v_0}$
作差得：
$t_1-t_2=\frac{v_1+v_0}{v_1-v_0}-\frac{v_2+v_0}{v_2-v_0}=\frac{(v_1+v_0)(v_2-v_0)-(v_2+v_0)(v_1-v_0)}{(v_1-v_0)(v_2-v_0)}$
展开分子化简得$2v_0(v_2-v_1)$，$\because v_1＞v_2＞v_0＞0$，$\therefore v_2-v_1＜0$，分母$(v_1-v_0)(v_2-v_0)＞0$，因此$t_1-t_2＜0$，即$t_1＜t_2$。
【答案】
（2）$\frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$；
（3）不成立，正确大小关系为$\frac{n}{m}＞\frac{n+a}{m+a}$；
（4）当返航为顺水时，$t_1＞t_2$，乙船先返回A港；当返航为逆水时，$t_1＜t_2$，甲船先返回A港。
【知识点】
1. 作差法比较大小
2. 分式加减运算
3. 分式实际应用
【点评】
本题从特殊例子出发探究分式的大小变化规律，再将规律应用到实际行程问题中，既考查了作差法比较大小的核心方法，也考查了分式运算的掌握程度，需要学生具备分类讨论意识和逻辑推理能力，能将实际问题转化为数学问题求解。
【难度系数】
0.6