登录
18.4 阅读理解：规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a, b)$.如果$a^c = b$，那么$(a, b)=c$.
例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2, 8)=3$.
（1）根据上述规定，填空：
①$(4, 16)=$
②若$(x, \frac{1}{32})=-5$，则$x=$
③若$(-3, y)=4$，则$y=$
（2）若$(4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$.请探索$a$，$b$，$c$之间的数量关系，并说明理由.
例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2, 8)=3$.
（1）根据上述规定，填空：
①$(4, 16)=$
2
；②若$(x, \frac{1}{32})=-5$，则$x=$
2
；③若$(-3, y)=4$，则$y=$
81
；（2）若$(4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$.请探索$a$，$b$，$c$之间的数量关系，并说明理由.
答案
解：（1）①2 ②2 ③81
（2）$a + b = c$. 理由如下：
$\because (4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$，
$\therefore 4^a=7$，$2^b=3$，$4^c=63$.
$\because 7×3^2=63$，
$\therefore 4^a × (2^b)^2=4^c$.
$\therefore 4^a × 4^b=4^c$.
$\therefore 4^{a+b}=4^c$.
$\therefore a + b = c$.
（2）$a + b = c$. 理由如下：
$\because (4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$，
$\therefore 4^a=7$，$2^b=3$，$4^c=63$.
$\because 7×3^2=63$，
$\therefore 4^a × (2^b)^2=4^c$.
$\therefore 4^a × 4^b=4^c$.
$\therefore 4^{a+b}=4^c$.
$\therefore a + b = c$.
解析
【分析】
本题为新定义运算类题目，解题核心是理解新运算$(a,b)$的规则：如果$a^c=b$，那么$(a,b)=c$，本质是已知底数和幂，求对应指数的运算。
（1）的三个小问可直接套用定义求解：①求4的多少次方等于16；②根据定义列等式$x^{-5}=\frac{1}{32}$，结合负指数幂性质求x；③根据定义列等式$(-3)^4=y$，计算乘方得结果。
（2）先将三个新运算按规则转化为幂的等式，再观察63、7、3的数量关系（$63=7×3^2$），利用幂的乘方将底数为2的式子转化为底数为4的式子，最后结合同底数幂乘法的指数规律推导a、b、c的数量关系。
【解析】
（1）①因为$4^2=16$，根据新运算规则可得$\boldsymbol{(4,16)=2}$；
②若$(x,\frac{1}{32})=-5$，根据规则得$x^{-5}=\frac{1}{32}$，即$\frac{1}{x^5}=\frac{1}{32}$，所以$x^5=32$，因为$2^5=32$，所以$\boldsymbol{x=2}$；
③若$(-3,y)=4$，根据规则得$(-3)^4=y$，计算得$\boldsymbol{y=81}$。
（2）$a + b = c$，理由如下：
$\because (4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$，
$\therefore 4^a=7$，$2^b=3$，$4^c=63$。
$\because 7×3^2=63$，
$\therefore 4^a × (2^b)^2=4^c$，
又$\because (2^b)^2=2^{2b}=4^b$，
$\therefore 4^a × 4^b=4^c$，即$4^{a+b}=4^c$，
$\therefore a + b = c$。
【答案】
（1）①2；②2；③81
（2）$a + b = c$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 幂的乘方
3. 同底数幂的乘法
【点评】
本题结合新定义运算考查幂的运算性质的应用，解题的关键是读懂新运算规则，将陌生的新运算问题转化为熟悉的幂运算问题，能有效考查知识迁移和灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
本题为新定义运算类题目，解题核心是理解新运算$(a,b)$的规则：如果$a^c=b$，那么$(a,b)=c$，本质是已知底数和幂，求对应指数的运算。
（1）的三个小问可直接套用定义求解：①求4的多少次方等于16；②根据定义列等式$x^{-5}=\frac{1}{32}$，结合负指数幂性质求x；③根据定义列等式$(-3)^4=y$，计算乘方得结果。
（2）先将三个新运算按规则转化为幂的等式，再观察63、7、3的数量关系（$63=7×3^2$），利用幂的乘方将底数为2的式子转化为底数为4的式子，最后结合同底数幂乘法的指数规律推导a、b、c的数量关系。
【解析】
（1）①因为$4^2=16$，根据新运算规则可得$\boldsymbol{(4,16)=2}$；
②若$(x,\frac{1}{32})=-5$，根据规则得$x^{-5}=\frac{1}{32}$，即$\frac{1}{x^5}=\frac{1}{32}$，所以$x^5=32$，因为$2^5=32$，所以$\boldsymbol{x=2}$；
③若$(-3,y)=4$，根据规则得$(-3)^4=y$，计算得$\boldsymbol{y=81}$。
（2）$a + b = c$，理由如下：
$\because (4, 7)=a$，$(2, 3)=b$，$(4, 63)=c$，
$\therefore 4^a=7$，$2^b=3$，$4^c=63$。
$\because 7×3^2=63$，
$\therefore 4^a × (2^b)^2=4^c$，
又$\because (2^b)^2=2^{2b}=4^b$，
$\therefore 4^a × 4^b=4^c$，即$4^{a+b}=4^c$，
$\therefore a + b = c$。
【答案】
（1）①2；②2；③81
（2）$a + b = c$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 幂的乘方
3. 同底数幂的乘法
【点评】
本题结合新定义运算考查幂的运算性质的应用，解题的关键是读懂新运算规则，将陌生的新运算问题转化为熟悉的幂运算问题，能有效考查知识迁移和灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
18.5 根据素材，完成任务.
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一
学校组织学生参与甲、乙两款雪花模型的制作. 每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料. 某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲款雪花模型与1个乙款雪花模型. 已知制作1个甲款雪花模型需要的长、短管子数之比为1：7，制作1个乙款雪花模型需要的长、短管子数之比为1：9.
素材二
某商店的店内广告牌上的信息：1. 短管子售价为a元/根，长管子售价为2a元/根.
2. 6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子.
5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花费200元购得的短管子数量少80根.
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作1个甲款雪花模型与1个乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根.
任务二 确定采购费用 试求a的值，并求出假如在6月制作一个甲款雪花模型的材料采购费.
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一
学校组织学生参与甲、乙两款雪花模型的制作. 每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料. 某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲款雪花模型与1个乙款雪花模型. 已知制作1个甲款雪花模型需要的长、短管子数之比为1：7，制作1个乙款雪花模型需要的长、短管子数之比为1：9.
素材二
某商店的店内广告牌上的信息：1. 短管子售价为a元/根，长管子售价为2a元/根.
2. 6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子.
5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花费200元购得的短管子数量少80根.
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作1个甲款雪花模型与1个乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根.
任务二 确定采购费用 试求a的值，并求出假如在6月制作一个甲款雪花模型的材料采购费.
答案
解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子$x$根，则需要短管子$7x$根；制作一个乙款雪花模型需要长管子$y$根，则需要短管子$9y$根. 根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 6,\\7x + 9y = 48,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 3.\end{cases}$
故$7x=21$，$9y=27$.
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根；制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，短管子27根.
任务二：$\because$5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花费200元购得的短管子数量少80根，
$\therefore \frac{320}{2a} + 80 = \frac{200}{a}$.
方程两边乘$2a$，得$320 + 160a = 400$.
解得$a=0.5$.
检验：当$a=0.5$时，$2a≠0$.
$\therefore$原分式方程的解为$a=0.5$.
$\because$制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
$\therefore$制作一个甲款雪花模型需要的费用为
$2×0.5×3 + (21 - 1)×0.5 = 13$(元).
$\begin{cases}x + y = 6,\\7x + 9y = 48,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 3.\end{cases}$
故$7x=21$，$9y=27$.
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根；制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，短管子27根.
任务二：$\because$5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花费200元购得的短管子数量少80根，
$\therefore \frac{320}{2a} + 80 = \frac{200}{a}$.
方程两边乘$2a$，得$320 + 160a = 400$.
解得$a=0.5$.
检验：当$a=0.5$时，$2a≠0$.
$\therefore$原分式方程的解为$a=0.5$.
$\because$制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
$\therefore$制作一个甲款雪花模型需要的费用为
$2×0.5×3 + (21 - 1)×0.5 = 13$(元).
解析
【分析】
任务一：题目给出甲、乙两款模型长、短管子的数量比，以及制作1个甲和1个乙总共消耗的长、短管子总数，我们可以通过设未知数表示两款模型的长、短管子用量：设制作1个甲款模型需长管子x根，由比例得短管子7x根；设制作1个乙款模型需长管子y根，由比例得短管子9y根。再根据“长管子共6根、短管子共48根”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两款模型的管子用量。
任务二：首先根据5月采购的数量关系：“320元购买的长管数量 + 80 = 200元购买的短管数量”，结合长、短管的单价列分式方程，求解后要检验分式方程的解是否有意义。再计算6月制作甲款模型的费用：先看优惠规则，买3根长管赠送1根短管，甲款刚好需要3根长管，可获赠1根短管，因此短管只需购买(21-1)根，再结合求出的a值计算总费用即可。
【解析】
任务一
设制作1个甲款雪花模型需要长管子$x$根，则需要短管子$7x$根；制作1个乙款雪花模型需要长管子$y$根，则需要短管子$9y$根。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 6\\7x + 9y = 48\end{cases}$
由第一个方程得$x=6-y$，代入第二个方程得$7(6-y)+9y=48$，解得$y=3$，则$x=6-3=3$。
因此$7x=7×3=21$，$9y=9×3=27$。
任务二
根据5月采购的数量关系列方程：
长管单价为$2a$元/根，320元可购买长管$\frac{320}{2a}$根；短管单价为$a$元/根，200元可购买短管$\frac{200}{a}$根，由题意得：
$\frac{320}{2a} + 80 = \frac{200}{a}$
方程两边同乘$2a$去分母得：$320 + 160a = 400$，解得$a=0.5$。
检验：当$a=0.5$时，$2a=1≠0$，因此$a=0.5$是原分式方程的解。
6月买3根长管赠送1根短管，制作1个甲款模型需3根长管、21根短管，购买3根长管可获赠1根短管，因此只需购买短管$21-1=20$根。
总采购费为：$3×2×0.5 + 20×0.5=13$元。
【答案】
制作1个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根；制作1个乙款雪花模型需要长管子3根，短管子27根；$a$的值为0.5，6月制作一个甲款雪花模型的材料采购费为13元。
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，优惠方案计费
【点评】
本题结合生活中的手工制作、材料采购场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确提取题干中的等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验，计算优惠后的费用时要先理清优惠规则，避免遗漏赠送的优惠导致计算错误。
【难度系数】
0.7
任务一：题目给出甲、乙两款模型长、短管子的数量比，以及制作1个甲和1个乙总共消耗的长、短管子总数，我们可以通过设未知数表示两款模型的长、短管子用量：设制作1个甲款模型需长管子x根，由比例得短管子7x根；设制作1个乙款模型需长管子y根，由比例得短管子9y根。再根据“长管子共6根、短管子共48根”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两款模型的管子用量。
任务二：首先根据5月采购的数量关系：“320元购买的长管数量 + 80 = 200元购买的短管数量”，结合长、短管的单价列分式方程，求解后要检验分式方程的解是否有意义。再计算6月制作甲款模型的费用：先看优惠规则，买3根长管赠送1根短管，甲款刚好需要3根长管，可获赠1根短管，因此短管只需购买(21-1)根，再结合求出的a值计算总费用即可。
【解析】
任务一
设制作1个甲款雪花模型需要长管子$x$根，则需要短管子$7x$根；制作1个乙款雪花模型需要长管子$y$根，则需要短管子$9y$根。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 6\\7x + 9y = 48\end{cases}$
由第一个方程得$x=6-y$，代入第二个方程得$7(6-y)+9y=48$，解得$y=3$，则$x=6-3=3$。
因此$7x=7×3=21$，$9y=9×3=27$。
任务二
根据5月采购的数量关系列方程：
长管单价为$2a$元/根，320元可购买长管$\frac{320}{2a}$根；短管单价为$a$元/根，200元可购买短管$\frac{200}{a}$根，由题意得：
$\frac{320}{2a} + 80 = \frac{200}{a}$
方程两边同乘$2a$去分母得：$320 + 160a = 400$，解得$a=0.5$。
检验：当$a=0.5$时，$2a=1≠0$，因此$a=0.5$是原分式方程的解。
6月买3根长管赠送1根短管，制作1个甲款模型需3根长管、21根短管，购买3根长管可获赠1根短管，因此只需购买短管$21-1=20$根。
总采购费为：$3×2×0.5 + 20×0.5=13$元。
【答案】
制作1个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根；制作1个乙款雪花模型需要长管子3根，短管子27根；$a$的值为0.5，6月制作一个甲款雪花模型的材料采购费为13元。
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，优惠方案计费
【点评】
本题结合生活中的手工制作、材料采购场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确提取题干中的等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验，计算优惠后的费用时要先理清优惠规则，避免遗漏赠送的优惠导致计算错误。
【难度系数】
0.7
