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18.1 小普在约分一个分式$\frac{a^3 - b^3}{a - b}$的时候，书写过程如下：
（1）小普在检查时发现，这道题解错了. 现请你指出：小普从第
（2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当$a=-2$，$b=1$时，按照上述错误的约分方法所求得$a^2 - b^2$的值与$\frac{a^3 - b^3}{a - b}$的值相等，他将满足这一情况的数对$a$，$b$称为“巧数对”. 小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：$a=$
（3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法. 请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由.
（1）小普在检查时发现，这道题解错了. 现请你指出：小普从第
①
步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可）（2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当$a=-2$，$b=1$时，按照上述错误的约分方法所求得$a^2 - b^2$的值与$\frac{a^3 - b^3}{a - b}$的值相等，他将满足这一情况的数对$a$，$b$称为“巧数对”. 小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：$a=$
-4
，$b=$2
；（3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法. 请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由.
答案
解：（1）①
（2）$-4$ 2（答案不唯一）
（3）当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，可以找到“巧数对”. 理由如下：
$\because \frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2 - b^2$，
$\therefore \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}=a^2 - b^2$.
$\therefore a^2 + ab + b^2=a^2 - b^2$.
$\therefore ab + 2b^2=0$.
$\therefore b(a + 2b)=0$.
$\therefore b=0$或$a + 2b=0$.
$\therefore b=0$或$a=-2b$. 又$a≠b$，
$\therefore$当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，可以找到“巧数对”.
（2）$-4$ 2（答案不唯一）
（3）当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，可以找到“巧数对”. 理由如下：
$\because \frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2 - b^2$，
$\therefore \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}=a^2 - b^2$.
$\therefore a^2 + ab + b^2=a^2 - b^2$.
$\therefore ab + 2b^2=0$.
$\therefore b(a + 2b)=0$.
$\therefore b=0$或$a + 2b=0$.
$\therefore b=0$或$a=-2b$. 又$a≠b$，
$\therefore$当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，可以找到“巧数对”.
解析
【分析】
（1）首先回忆立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，观察小普的步骤，第①步错误将分子$a^3-b^3$替换成了$(a-b)^3$，不符合立方差公式，因此第一步就出错了。
（2）“巧数对”的定义是$\frac{a^3 - b^3}{a - b}$的值和错误结果$a^2-b^2$相等，我们可以先建立等式，化简得到a和b的关系，再代入数值写出满足条件的数对即可，注意要满足分式有意义的条件$a≠ b$。
（3）确定“巧数对”的本质就是求解满足$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2-b^2$且$a≠ b$的a、b的取值，我们可以先利用立方差公式对左边的分式约分，再通过移项、因式分解化简等式，最后结合分式有意义的条件得到a、b的关系即可。
【解析】
（1）根据立方差公式，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)≠(a-b)^3$，因此小普从第①步就开始出现错误。
（2）根据题意，“巧数对”满足$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2-b^2$（$a≠ b$），
先对左边化简：$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2$，
因此等式变为$a^2+ab+b^2=a^2-b^2$，
移项合并得：$ab+2b^2=0$，即$b(a+2b)=0$，
所以$b=0$或$a=-2b$，结合$a≠ b$，
取$a=-4$，$b=2$（满足$a=-2b$且$a≠ b$，答案不唯一）。
（3）确定“巧数对”的方法：当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，对应的数对$(a,b)$就是“巧数对”。
理由如下：
由“巧数对”的定义得$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2 - b^2$（$a≠ b$，分式有意义），
根据立方差公式分解分子得：$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}=a^2 - b^2$，
约分得：$a^2 + ab + b^2=a^2 - b^2$，
移项、合并同类项得：$ab + 2b^2=0$，
因式分解得：$b(a + 2b)=0$，
因此$b=0$或$a + 2b=0$，结合$a≠ b$：
当$b=0$时，$a≠0$即可；当$a=-2b$时，$a=-2b≠ b$，即$b≠0$，也就是$a=-2b≠0$。
综上，当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，数对$(a,b)$为“巧数对”。
【答案】
（1）①
（2）$-4$，$2$（答案不唯一，满足$b=0,a≠0$或$a=-2b≠0$即可）
（3）当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，对应的数对为“巧数对”，理由见解析
【知识点】
立方差公式、分式约分、因式分解应用
【点评】
本题以分式约分为背景，结合新定义“巧数对”考查了乘法公式的应用、分式有意义的条件及代数化简能力，易错点是推导过程中容易遗漏$a≠ b$的限制条件。
【难度系数】
0.7
（1）首先回忆立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，观察小普的步骤，第①步错误将分子$a^3-b^3$替换成了$(a-b)^3$，不符合立方差公式，因此第一步就出错了。
（2）“巧数对”的定义是$\frac{a^3 - b^3}{a - b}$的值和错误结果$a^2-b^2$相等，我们可以先建立等式，化简得到a和b的关系，再代入数值写出满足条件的数对即可，注意要满足分式有意义的条件$a≠ b$。
（3）确定“巧数对”的本质就是求解满足$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2-b^2$且$a≠ b$的a、b的取值，我们可以先利用立方差公式对左边的分式约分，再通过移项、因式分解化简等式，最后结合分式有意义的条件得到a、b的关系即可。
【解析】
（1）根据立方差公式，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)≠(a-b)^3$，因此小普从第①步就开始出现错误。
（2）根据题意，“巧数对”满足$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2-b^2$（$a≠ b$），
先对左边化简：$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2$，
因此等式变为$a^2+ab+b^2=a^2-b^2$，
移项合并得：$ab+2b^2=0$，即$b(a+2b)=0$，
所以$b=0$或$a=-2b$，结合$a≠ b$，
取$a=-4$，$b=2$（满足$a=-2b$且$a≠ b$，答案不唯一）。
（3）确定“巧数对”的方法：当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，对应的数对$(a,b)$就是“巧数对”。
理由如下：
由“巧数对”的定义得$\frac{a^3 - b^3}{a - b}=a^2 - b^2$（$a≠ b$，分式有意义），
根据立方差公式分解分子得：$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}=a^2 - b^2$，
约分得：$a^2 + ab + b^2=a^2 - b^2$，
移项、合并同类项得：$ab + 2b^2=0$，
因式分解得：$b(a + 2b)=0$，
因此$b=0$或$a + 2b=0$，结合$a≠ b$：
当$b=0$时，$a≠0$即可；当$a=-2b$时，$a=-2b≠ b$，即$b≠0$，也就是$a=-2b≠0$。
综上，当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，数对$(a,b)$为“巧数对”。
【答案】
（1）①
（2）$-4$，$2$（答案不唯一，满足$b=0,a≠0$或$a=-2b≠0$即可）
（3）当$b=0$，$a≠0$或$a=-2b≠0$时，对应的数对为“巧数对”，理由见解析
【知识点】
立方差公式、分式约分、因式分解应用
【点评】
本题以分式约分为背景，结合新定义“巧数对”考查了乘法公式的应用、分式有意义的条件及代数化简能力，易错点是推导过程中容易遗漏$a≠ b$的限制条件。
【难度系数】
0.7
18.2（1）计算：$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})$；
（2）已知$x+2y=4$，$x-2y=-1$，求$\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2$的值。
（2）已知$x+2y=4$，$x-2y=-1$，求$\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2$的值。
答案
解：（1）$(-\frac{2a}{b^2})^2 · (\frac{2b}{a})^2 ÷ (-\frac{2b^2}{a})$
$=-\frac{4a^2}{b^4} · \frac{4b^2}{a^2} · \frac{a}{2b^2}=-\frac{8a}{b^4}$.
（2）$\frac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\frac{x+2y}{x+y})^2$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \frac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} · \frac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}$
$=\frac{x-2y}{x+2y}$.
把$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入上式，得
$\frac{x-2y}{x+2y}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$.
$=-\frac{4a^2}{b^4} · \frac{4b^2}{a^2} · \frac{a}{2b^2}=-\frac{8a}{b^4}$.
（2）$\frac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\frac{x+2y}{x+y})^2$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \frac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} · \frac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}$
$=\frac{x-2y}{x+2y}$.
把$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入上式，得
$\frac{x-2y}{x+2y}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
（1）本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题时先按照分式乘方法则计算各乘方项，注意区分正负号，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分化简得到结果。
（2）本题是分式化简求值题，解题时先对分式的分子、分母进行因式分解，再计算分式的乘方，接着把除法转化为乘法，约分化简为最简形式，最后利用已知条件整体代入求值，无需单独求解x和y，能简化计算过程。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})\\=&\dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})\\=&-\dfrac{4a^2×4b^2× a}{b^4× a^2×2b^2}\\=&-\dfrac{8a}{b^4}\end{aligned}$
（2）先化简分式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} · \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}\\=&\dfrac{x-2y}{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$-\dfrac{8a}{b^4}$；（2）$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题侧重考察分式运算的熟练度与化简求值的技巧，第一小题需注意运算顺序，先算乘方再算乘除，同时留意负号的处理；第二小题先化简再代入，采用整体代入的方法可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
（1）本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题时先按照分式乘方法则计算各乘方项，注意区分正负号，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分化简得到结果。
（2）本题是分式化简求值题，解题时先对分式的分子、分母进行因式分解，再计算分式的乘方，接着把除法转化为乘法，约分化简为最简形式，最后利用已知条件整体代入求值，无需单独求解x和y，能简化计算过程。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})\\=&\dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})\\=&-\dfrac{4a^2×4b^2× a}{b^4× a^2×2b^2}\\=&-\dfrac{8a}{b^4}\end{aligned}$
（2）先化简分式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} · \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}\\=&\dfrac{x-2y}{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$-\dfrac{8a}{b^4}$；（2）$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题侧重考察分式运算的熟练度与化简求值的技巧，第一小题需注意运算顺序，先算乘方再算乘除，同时留意负号的处理；第二小题先化简再代入，采用整体代入的方法可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
