一、选择题
1.下列问题情境中,两变量不成反比例的是().

A.在压力不变的情况下,压强$p$与物体的受力面积$S$
B.年利率不变的情况下,年利息$m$与本金$a$
C.路程不变的情况下,速度$v$与运动时间$t$
D.质量不变的情况下,物体的密度$\rho$与体积$V$

1.B

【分析】
要判断两变量是否成反比例，核心依据是：若两个变量的乘积为非零定值，则二者成反比例关系。解题时先明确反比例关系的判定标准，再结合每个选项对应的公式推导两个变量的数量关系，逐一排查即可得出答案。
【解析】
反比例关系的定义：若两个变量$x$、$y$满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$），则称$y$与$x$成反比例关系。我们逐个分析选项：
选项A：压力$F$不变时，压强公式为$p=\frac{F}{S}$，变形可得$pS=F$（$F$为非零定值），因此压强$p$与受力面积$S$成反比例，不符合题意。
选项B：年利率$r$不变时，年利息公式为$m=ra$，变形可得$\frac{m}{a}=r$（$r$为非零定值），因此年利息$m$与本金$a$成正比例，不成反比例，符合题意。
选项C：路程$s$不变时，路程公式为$s=vt$，即$vt=s$（$s$为非零定值），因此速度$v$与时间$t$成反比例，不符合题意。
选项D：质量$m$不变时，密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$，变形可得$\rho V=m$（$m$为非零定值），因此密度$\rho$与体积$V$成反比例，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例关系的判定 2.正比例关系的判定 3.常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是准确掌握反比例关系的核心特征（变量乘积为定值），同时要注意区分反比例和正比例的差异，避免将比值为定值的正比例关系错判为反比例关系。
【难度系数】
0.8

2.下列函数中，y是x的反比例函数的是().

A.$y=\frac{2}{5}x$
B.$y=-\frac{2}{x}$
C.$y=-x+\frac{1}{2}$
D.$y=-2x^2+1$

2.B

【分析】
解决本题的核心是明确反比例函数的定义，首先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，除此之外还有$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）两种等价形式。解题时我们只需逐一判断每个选项的函数形式是否符合反比例函数定义，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
逐一分析选项：
A选项：$y=\frac{2}{5}x$是正比例函数（属于特殊的一次函数），不符合反比例函数的形式，排除；
B选项：$y=-\frac{2}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-2≠0$，属于反比例函数，符合要求；
C选项：$y=-x+\frac{1}{2}$是一次函数，不符合反比例函数的形式，排除；
D选项：$y=-2x^2+1$是二次函数，不符合反比例函数的形式，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查学生对不同类型函数定义的区分能力，熟练掌握各类常见函数的一般形式是快速解题的关键，这类题属于基础拿分题。
【难度系数】
0.8

3.已知函数$y=\frac{2k-5}{x}$的图象在第二、第四象限，则k的取值范围是（）。

A.$k≠\frac{5}{2}$
B.$k＞\frac{5}{2}$
C.$k＜\frac{5}{2}$
D.$k≤\frac{5}{2}$

3.C

【分析】
本题考查反比例函数的图象性质，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）的图象与系数的关系：当$m＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。本题中反比例函数的比例系数为$2k-5$，结合图象所在象限可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
函数$y=\frac{2k-5}{x}$是反比例函数，若其图象在第二、第四象限，则比例系数小于0，即：
$2k - 5 ＜ 0$
移项得：$2k ＜ 5$
两边同时除以2得：$k ＜ \frac{5}{2}$
因此符合要求的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记反比例函数图象的位置与比例系数的正负的对应关系，计算量小，掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

4.函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$与$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，若$y_1,y_2$均随着$x$的增大而增大，则$x$的取值范围可以是().

A.$x＜-3$
B.$-3＜x＜-1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$

4.A

【分析】
解题时先分别回忆二次函数、反比例函数的增减性规律：1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；2. 开口向下的二次函数，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。再结合图像判断$k$的符号、二次函数开口方向和对称轴的大致范围，逐一分析每个选项对应的区间内两个函数的增减性，找到两个函数均递增的区间即可。
【解析】
解：先分别分析两个函数的增减性：
1. 反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，因此$k＜0$，可得：$x＜0$和$x＞0$两个区间内，$y_2$均随$x$的增大而增大。
2. 二次函数$y_1=ax^2+bx+c$开口向下，在对称轴左侧$y_1$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。由图象可知二次函数的顶点在$x=-3$和$x=-1$之间，即对称轴的取值范围为$-3＜x＜-1$。
逐一判断选项：
A选项$x＜-3$：$x＜0$时$y_2$随$x$增大而增大；且$x＜-3$小于二次函数的对称轴，$y_1$也随$x$增大而增大，符合要求。
B选项$-3＜x＜-1$：区间内包含二次函数的对称轴，对称轴左侧$y_1$递增、右侧$y_1$递减，不是整个区间内$y_1$都递增，不符合要求。
C选项$0＜x＜1$、D选项$x＞1$：这两个区间都在二次函数对称轴右侧，$y_1$随$x$增大而减小，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，反比例函数的增减性，函数图象分析
【点评】
本题考查结合函数图象判断函数增减性，解题核心是熟记两类基本函数的增减性规律，结合图象特征确定两个函数各自的递增区间，取公共区间即可得到答案。
【难度系数】
0.7

5.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$，当$2≤x≤3$时，函数$y$的最小值为$a$，则当$-2≤x≤-1$时，函数$y$有（）。

A.最小值$-2a$
B.最大值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$-\frac{a}{2}$

5.B

【分析】
首先回忆反比例函数当$k＜0$时的图像与性质：图像位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。先分析$2≤x≤3$的区间：该区间x均为正数，对应第四象限分支，结合增减性找到y取最小值$a$时对应的x值，推导$k$与$a$的关系；再分析$-2≤x≤-1$的区间：该区间x均为负数，对应第二象限分支，结合增减性判断最值情况，代入$k$与$a$的关系即可求出结果。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图像分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
1. 当$2≤x≤3$时，x均为正，对应第四象限图像分支
根据增减性，x最小时y最小，即$x=2$时$y=a$，代入解析式得：
$a=\frac{k}{2}$，解得$k=2a$。
2. 当$-2≤x≤-1$时，x均为负，对应第二象限图像分支
根据增减性，x最大时y最大，即$x=-1$时y取最大值，将$k=2a$、$x=-1$代入解析式得：
$y_{最大值}=\frac{2a}{-1}=-2a$。
即此时函数y有最大值$-2a$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图像与性质，反比例函数的最值
【点评】
本题核心是结合反比例函数的增减性求区间最值，解题时需注意反比例函数的增减性只在单个象限内成立，要分区间讨论最值对应的自变量取值，避免跨象限比较函数值导致错误。
【难度系数】
0.65

6.在同一平面直角坐标系中，若正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象没有交点，则对于$k_1$与$k_2$的关系，有下列表述：①$k_1 + k_2 ≤ 0$；②$|k_1 + k_2| ＜ |k_1|$或$|k_1 + k_2| ＜ |k_2|$；③$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$；④$k_1k_2 ＜ 0$。其中正确的有（）。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

6.B

【分析】
解题首先要明确正比例函数和反比例函数图象无交点的核心前提：两个函数的比例系数$k_1$和$k_2$异号（符号相反），即$k_1k_2＜0$。接下来先通过反例排除明显错误的表述，再结合绝对值性质、完全平方公式推导其余表述是否成立即可。
【解析】
首先推导两函数无交点的前提条件：
若$k_1＞0$，正比例函数$y=k_1x$过第一、三象限，若要和反比例函数无交点，则反比例函数需过第二、四象限，即$k_2＜0$；
若$k_1＜0$，正比例函数$y=k_1x$过第二、四象限，若要和反比例函数无交点，则反比例函数需过第一、三象限，即$k_2＞0$；
因此可得：$k_1$与$k_2$异号，即$k_1k_2＜0$，故表述④正确。
接下来逐一判断其余表述：
① 举反例：取$k_1=3$，$k_2=-1$，满足$k_1k_2＜0$（两函数无交点），此时$k_1+k_2=2＞0$，和$k_1+k_2≤0$矛盾，故①错误。
② 因为$k_1$、$k_2$异号，两数相加的和的绝对值等于两个数的绝对值的差（即$||k_1|-|k_2||$），该值一定小于两个绝对值中较大的那个，因此要么小于$|k_1|$，要么小于$|k_2|$，故$|k_1 + k_2| ＜ |k_1|$或$|k_1 + k_2| ＜ |k_2|$成立，②正确。
③ 不等式两边均为非负数，同时平方后不等号方向不变：
左边$|k_1+k_2|^2=k_1^2+2k_1k_2+k_2^2$，右边$|k_1-k_2|^2=k_1^2-2k_1k_2+k_2^2$；
因为$k_1k_2＜0$，所以$2k_1k_2＜-2k_1k_2$，可得左边小于右边，即$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$成立，③正确。
综上，②③④共3个表述正确。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；绝对值的性质
【点评】
本题结合函数图象性质考查绝对值不等式的判断，需要熟练掌握正比例、反比例函数的象限和系数的对应关系，同时学会用举反例、平方比较法快速判断不等式是否成立。
【难度系数】
0.6

二、填空题
7.若 $ y=(n-3)x^{n^2 -10} $ 是关于x的反比例函数，则n的值是.

7.-3

【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，也可转化为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。因此该函数需要同时满足两个条件：一是x的指数为-1，二是x的系数（比例系数）不为0。我们根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解即可得到n的取值。
【解析】
解：
∵$y=(n-3)x^{n^2 -10}$是关于x的反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
① x的指数为-1：$n^2-10=-1$
移项计算得$n^2=9$，解得$n=3$或$n=-3$
② 比例系数不为0：$n-3≠0$，解得$n≠3$
综合两个条件，排除$n=3$，因此$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数的定义；一元二次方程求解；不等式的应用
【点评】
本题属于反比例函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略比例系数不能为0的约束条件，误将3作为正确答案，解题时要全面考虑定义的所有限制要求，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6

8.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上有一点$P(2,n)$，将点$P$向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点$Q$.若点$Q$也在该函数的图象上，则$k=$.

8.6

【分析】
解题时首先利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到k与点P纵坐标n的关系；再根据坐标平移“右加左减、上加下减”的规则，求出平移后点Q的坐标；最后将点Q坐标代入反比例函数解析式，联立两个含k和n的等式，解方程即可求出k的值。
【解析】
1. 把点$P(2,n)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得：
$n=\frac{k}{2}$，整理得 $k=2n$ ①；
2. 根据平移规则，点P向右平移1个单位长度横坐标加1，向下平移1个单位长度纵坐标减1，因此点Q的坐标为$(2+1,n-1)$，即$(3,n-1)$；
3. 把点$Q(3,n-1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得：
$n-1=\frac{k}{3}$，整理得 $k=3(n-1)$ ②；
4. 联立①②得方程$2n=3(n-1)$，解方程：
$2n=3n-3$，移项得$n=3$；
5. 将$n=3$代入①式，得$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.坐标平移规律
【点评】
本题是反比例函数与坐标平移结合的基础常考题，解题核心是抓住反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式的性质，结合平移规则列方程求解即可。
【难度系数】
0.8