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一、选择题
1.下列问题情境中,两变量不成反比例的是(
A.在压力不变的情况下,压强$p$与物体的受力面积$S$
B.年利率不变的情况下,年利息$m$与本金$a$
C.路程不变的情况下,速度$v$与运动时间$t$
D.质量不变的情况下,物体的密度$\rho$与体积$V$
1.下列问题情境中,两变量不成反比例的是(
B
).A.在压力不变的情况下,压强$p$与物体的受力面积$S$
B.年利率不变的情况下,年利息$m$与本金$a$
C.路程不变的情况下,速度$v$与运动时间$t$
D.质量不变的情况下,物体的密度$\rho$与体积$V$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断两个变量是否成反比例，核心判定依据是：若两个相关联的变量的乘积为非零定值，则两变量成反比例；若商为非零定值则成正比例。解题时先写出每个选项对应的数量/物理公式，再结合题干给出的不变量，判断两个变量是乘积一定还是商一定，逐一排查即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），则x与y成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 压力F不变时，压强公式为$p=\frac{F}{S}$，变形得$pS=F$（F为定值），因此p与S成反比例，不符合题意；
B. 年利率r不变时，年利息公式为$m=ar$，变形得$\frac{m}{a}=r$（r为定值），商为定值，因此m与a成正比例，不成反比例，符合题意；
C. 路程s不变时，速度公式为$v=\frac{s}{t}$，变形得$vt=s$（s为定值），因此v与t成反比例，不符合题意；
D. 质量m不变时，密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$，变形得$\rho V=m$（m为定值），因此ρ与V成反比例，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例关系判定
2.正比例关系判定
3.常见数量关系应用
【点评】
本题结合生活、物理常见情境考查正反比例关系的区分，属于基础题型，解题关键是牢记正反比例的核心判定条件，不要混淆“乘积一定”和“商一定”的情况。
【难度系数】
0.85
要判断两个变量是否成反比例，核心判定依据是：若两个相关联的变量的乘积为非零定值，则两变量成反比例；若商为非零定值则成正比例。解题时先写出每个选项对应的数量/物理公式，再结合题干给出的不变量，判断两个变量是乘积一定还是商一定，逐一排查即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），则x与y成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 压力F不变时，压强公式为$p=\frac{F}{S}$，变形得$pS=F$（F为定值），因此p与S成反比例，不符合题意；
B. 年利率r不变时，年利息公式为$m=ar$，变形得$\frac{m}{a}=r$（r为定值），商为定值，因此m与a成正比例，不成反比例，符合题意；
C. 路程s不变时，速度公式为$v=\frac{s}{t}$，变形得$vt=s$（s为定值），因此v与t成反比例，不符合题意；
D. 质量m不变时，密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$，变形得$\rho V=m$（m为定值），因此ρ与V成反比例，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例关系判定
2.正比例关系判定
3.常见数量关系应用
【点评】
本题结合生活、物理常见情境考查正反比例关系的区分，属于基础题型，解题关键是牢记正反比例的核心判定条件，不要混淆“乘积一定”和“商一定”的情况。
【难度系数】
0.85
2.下列函数中，y是x的反比例函数的是(
A.$y=\frac{2}{5}x$
B.$y=-\frac{2}{x}$
C.$y=-x+\frac{1}{2}$
D.$y=-2x^2+1$
B
).A.$y=\frac{2}{5}x$
B.$y=-\frac{2}{x}$
C.$y=-x+\frac{1}{2}$
D.$y=-2x^2+1$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义，即反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），核心特征是分母含有自变量x，分子为非零常数，x的次数为-1。接下来依次判断每个选项对应的函数类型，排除不符合反比例函数形式的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\frac{2}{5}x$符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合要求；
B. $y=-\frac{2}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=-2≠0$，是反比例函数，符合要求；
C. $y=-x+\frac{1}{2}$符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，是一次函数，不符合要求；
D. $y=-2x^2+1$符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，是二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一次函数的识别
3. 二次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查各类常见函数的形式区分，核心是熟练掌握反比例函数的标准形式，区分清楚不同函数的表达式特征，熟记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确反比例函数的定义，即反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），核心特征是分母含有自变量x，分子为非零常数，x的次数为-1。接下来依次判断每个选项对应的函数类型，排除不符合反比例函数形式的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\frac{2}{5}x$符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合要求；
B. $y=-\frac{2}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=-2≠0$，是反比例函数，符合要求；
C. $y=-x+\frac{1}{2}$符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，是一次函数，不符合要求；
D. $y=-2x^2+1$符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，是二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一次函数的识别
3. 二次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查各类常见函数的形式区分，核心是熟练掌握反比例函数的标准形式，区分清楚不同函数的表达式特征，熟记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.已知函数$y=\frac{2k-5}{x}$的图象在第二、第四象限，则k的取值范围是（
A.$k≠\frac{5}{2}$
B.$k＞\frac{5}{2}$
C.$k＜\frac{5}{2}$
D.$k≤\frac{5}{2}$
C
）。A.$k≠\frac{5}{2}$
B.$k＞\frac{5}{2}$
C.$k＜\frac{5}{2}$
D.$k≤\frac{5}{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质应用，解题思路如下：首先识别题目给出的是反比例函数形式，回忆反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m为常数，$m≠0$）的图象规律：当$m＞0$时，图象位于第一、三象限；当$m＜0$时，图象位于第二、四象限。本题已知图象在第二、四象限，因此对应的比例系数$2k-5$小于0，接下来解这个一元一次不等式即可得到k的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{2k-5}{x}$是反比例函数，且图象在第二、第四象限
∴ 其比例系数小于0，即：
$2k - 5 ＜ 0$
移项得$2k ＜ 5$
系数化为1得$k ＜ \frac{5}{2}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握反比例函数比例系数和图象所在象限的对应关系，牢记性质即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象性质应用，解题思路如下：首先识别题目给出的是反比例函数形式，回忆反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m为常数，$m≠0$）的图象规律：当$m＞0$时，图象位于第一、三象限；当$m＜0$时，图象位于第二、四象限。本题已知图象在第二、四象限，因此对应的比例系数$2k-5$小于0，接下来解这个一元一次不等式即可得到k的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{2k-5}{x}$是反比例函数，且图象在第二、第四象限
∴ 其比例系数小于0，即：
$2k - 5 ＜ 0$
移项得$2k ＜ 5$
系数化为1得$k ＜ \frac{5}{2}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握反比例函数比例系数和图象所在象限的对应关系，牢记性质即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
4.函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$与$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，若$y_1,y_2$均随着$x$的增大而增大，则$x$的取值范围可以是(
A.$x＜-3$
B.$-3＜x＜-1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$
A
).A.$x＜-3$
B.$-3＜x＜-1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时需分别分析二次函数和反比例函数的增减性，再找两个函数同时递增的x区间：①先判断反比例函数的符号：由图像在二、四象限可知k＜0，因此反比例函数在x＜0和x＞0两个区间内分别随x增大而增大；②再判断二次函数的增减性：二次函数开口向下，因此在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧随x增大而减小，结合图像可知二次函数的对称轴在-3和-1之间；最后逐一筛选选项，排除不符合两个函数同时递增的区间即可。
【解析】
1. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：
由图像可知反比例函数位于第二、四象限，因此$k＜0$，可得：当$x＜0$或$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
2. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：
由图像可知二次函数开口向下，因此$a＜0$，其在对称轴左侧$y_1$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y_1$随$x$的增大而减小；结合图像可得二次函数的对称轴位于$-3＜x＜-1$范围内。
3. 逐一判断选项：
选项C（$0＜x＜1$）、D（$x＞1$）：$x＞0$时$y_2$递增，但$x＞0$在二次函数对称轴右侧，$y_1$随$x$增大而减小，不符合要求，排除；
选项B（$-3＜x＜-1$）：该区间包含二次函数对称轴右侧的部分，此部分$y_1$递减，不符合要求，排除；
选项A（$x＜-3$）：$x＜0$满足$y_2$随$x$增大而增大，且$x＜-3$在二次函数对称轴左侧，$y_1$也随$x$增大而增大，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，二次函数的性质，函数的增减性
【点评】
本题结合函数图像考查两类基本函数的增减性，解题关键是先分别确定两个函数各自的递增区间，再筛选出公共的符合条件的区间，能有效考查对函数基本性质的理解和图像分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时需分别分析二次函数和反比例函数的增减性，再找两个函数同时递增的x区间：①先判断反比例函数的符号：由图像在二、四象限可知k＜0，因此反比例函数在x＜0和x＞0两个区间内分别随x增大而增大；②再判断二次函数的增减性：二次函数开口向下，因此在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧随x增大而减小，结合图像可知二次函数的对称轴在-3和-1之间；最后逐一筛选选项，排除不符合两个函数同时递增的区间即可。
【解析】
1. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：
由图像可知反比例函数位于第二、四象限，因此$k＜0$，可得：当$x＜0$或$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
2. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：
由图像可知二次函数开口向下，因此$a＜0$，其在对称轴左侧$y_1$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y_1$随$x$的增大而减小；结合图像可得二次函数的对称轴位于$-3＜x＜-1$范围内。
3. 逐一判断选项：
选项C（$0＜x＜1$）、D（$x＞1$）：$x＞0$时$y_2$递增，但$x＞0$在二次函数对称轴右侧，$y_1$随$x$增大而减小，不符合要求，排除；
选项B（$-3＜x＜-1$）：该区间包含二次函数对称轴右侧的部分，此部分$y_1$递减，不符合要求，排除；
选项A（$x＜-3$）：$x＜0$满足$y_2$随$x$增大而增大，且$x＜-3$在二次函数对称轴左侧，$y_1$也随$x$增大而增大，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，二次函数的性质，函数的增减性
【点评】
本题结合函数图像考查两类基本函数的增减性，解题关键是先分别确定两个函数各自的递增区间，再筛选出公共的符合条件的区间，能有效考查对函数基本性质的理解和图像分析能力。
【难度系数】
0.7
5.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$，当$2≤x≤3$时，函数$y$的最小值为$a$，则当$-2≤x≤-1$时，函数$y$有（
A.最小值$-2a$
B.最大值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$-\frac{a}{2}$
B
）。A.最小值$-2a$
B.最大值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$-\frac{a}{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$当$k＜0$时的图象性质：图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。第一步先根据$2≤ x≤3$时的最小值$a$，结合该区间的增减性求出$k$与$a$的关系；第二步再分析$-2≤ x≤-1$所在象限的增减性，代入$k$与$a$的关系求出对应最值，最后匹配选项即可。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$：
1. 当$2≤ x≤3$时，$x＞0$，函数图象位于第四象限，且在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值$2$时，$y$取得最小值$a$，代入得：
$a=\frac{k}{2}$，即$k=2a$（且因$k＜0$，可得$a＜0$）。
2. 当$-2≤ x≤-1$时，$x＜0$，函数图象位于第二象限，且在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最大值$-1$时，$y$取得最大值，将$x=-1$、$k=2a$代入得：
$y_{max}=\frac{2a}{-1}=-2a$。
因此当$-2≤ x≤-1$时，函数$y$有最大值$-2a$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性与最值的结合应用，解题的核心是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，要分区间判断对应最值，避免因跨象限判断增减性出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$当$k＜0$时的图象性质：图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。第一步先根据$2≤ x≤3$时的最小值$a$，结合该区间的增减性求出$k$与$a$的关系；第二步再分析$-2≤ x≤-1$所在象限的增减性，代入$k$与$a$的关系求出对应最值，最后匹配选项即可。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$：
1. 当$2≤ x≤3$时，$x＞0$，函数图象位于第四象限，且在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值$2$时，$y$取得最小值$a$，代入得：
$a=\frac{k}{2}$，即$k=2a$（且因$k＜0$，可得$a＜0$）。
2. 当$-2≤ x≤-1$时，$x＜0$，函数图象位于第二象限，且在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最大值$-1$时，$y$取得最大值，将$x=-1$、$k=2a$代入得：
$y_{max}=\frac{2a}{-1}=-2a$。
因此当$-2≤ x≤-1$时，函数$y$有最大值$-2a$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性与最值的结合应用，解题的核心是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，要分区间判断对应最值，避免因跨象限判断增减性出错。
【难度系数】
0.6
6.在同一平面直角坐标系中，若正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象没有交点，则对于$k_1$与$k_2$的关系，有下列表述：①$k_1 + k_2 ≤ 0$；②$|k_1 + k_2| ＜ |k_1|$或$|k_1 + k_2| ＜ |k_2|$；③$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$；④$k_1k_2 ＜ 0$。其中正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
6.B
解析
【分析】
解题第一步先推导两个函数图象无交点的条件：联立正比例函数与反比例函数的解析式，得到方程$k_1x=\frac{k_2}{x}$，整理得$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。图象无交点说明该方程无实根，因此$\frac{k_2}{k_1}＜0$，又因为正比例、反比例函数的比例系数不为0，可得核心条件：$k_1$与$k_2$异号，即$k_1k_2＜0$。第二步结合该条件逐一验证4个表述是否成立，验证时可结合绝对值的性质、举反例等方法判断。
【解析】
首先确定两函数无交点的条件：
联立$\begin{cases}y=k_1x \\ y=\frac{k_2}{x}\end{cases}$，消去$y$得$k_1x=\frac{k_2}{x}$，即$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。
∵图象无交点，
∴方程无实根，即$\frac{k_2}{k_1}＜0$，可得$k_1$与$k_2$异号，且$k_1≠0,k_2≠0$，即$k_1k_2＜0$。
逐个判断表述：
①$k_1 + k_2 ≤ 0$：举反例，取$k_1=3,k_2=-1$，满足$k_1k_2＜0$，两函数无交点，但$k_1+k_2=2＞0$，故①错误；
②$|k_1 + k_2| ＜ |k_1|$或$|k_1 + k_2| ＜ |k_2|$：
∵$k_1,k_2$异号，两数相加为抵消关系：若$|k_1|＞|k_2|$，则$|k_1+k_2|=|k_1|-|k_2|＜|k_1|$；若$|k_2|＞|k_1|$，则$|k_1+k_2|=|k_2|-|k_1|＜|k_2|$；若$|k_1|=|k_2|$，则$|k_1+k_2|=0＜|k_1|$且$0＜|k_2|$，三种情况均满足表述，故②正确；
③$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$：两边均为非负数，同时平方得：左边=$(k_1+k_2)^2=k_1^2+2k_1k_2+k_2^2$，右边=$(k_1-k_2)^2=k_1^2-2k_1k_2+k_2^2$，
∵$k_1k_2＜0$，
∴$2k_1k_2＜-2k_1k_2$，因此左边＜右边，开方后可得$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$，故③正确；
④$k_1k_2 ＜ 0$：由前面推导的两函数无交点的核心条件可知，④正确。
综上，②③④共3个表述正确。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；绝对值的性质
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的图象特征与绝对值性质的结合，解题关键是先根据函数无交点推导得出两个比例系数异号的核心条件，再结合代数运算或举反例的方法逐一判断结论即可。
【难度系数】
0.65
解题第一步先推导两个函数图象无交点的条件：联立正比例函数与反比例函数的解析式，得到方程$k_1x=\frac{k_2}{x}$，整理得$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。图象无交点说明该方程无实根，因此$\frac{k_2}{k_1}＜0$，又因为正比例、反比例函数的比例系数不为0，可得核心条件：$k_1$与$k_2$异号，即$k_1k_2＜0$。第二步结合该条件逐一验证4个表述是否成立，验证时可结合绝对值的性质、举反例等方法判断。
【解析】
首先确定两函数无交点的条件：
联立$\begin{cases}y=k_1x \\ y=\frac{k_2}{x}\end{cases}$，消去$y$得$k_1x=\frac{k_2}{x}$，即$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。
∵图象无交点，
∴方程无实根，即$\frac{k_2}{k_1}＜0$，可得$k_1$与$k_2$异号，且$k_1≠0,k_2≠0$，即$k_1k_2＜0$。
逐个判断表述：
①$k_1 + k_2 ≤ 0$：举反例，取$k_1=3,k_2=-1$，满足$k_1k_2＜0$，两函数无交点，但$k_1+k_2=2＞0$，故①错误；
②$|k_1 + k_2| ＜ |k_1|$或$|k_1 + k_2| ＜ |k_2|$：
∵$k_1,k_2$异号，两数相加为抵消关系：若$|k_1|＞|k_2|$，则$|k_1+k_2|=|k_1|-|k_2|＜|k_1|$；若$|k_2|＞|k_1|$，则$|k_1+k_2|=|k_2|-|k_1|＜|k_2|$；若$|k_1|=|k_2|$，则$|k_1+k_2|=0＜|k_1|$且$0＜|k_2|$，三种情况均满足表述，故②正确；
③$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$：两边均为非负数，同时平方得：左边=$(k_1+k_2)^2=k_1^2+2k_1k_2+k_2^2$，右边=$(k_1-k_2)^2=k_1^2-2k_1k_2+k_2^2$，
∵$k_1k_2＜0$，
∴$2k_1k_2＜-2k_1k_2$，因此左边＜右边，开方后可得$|k_1 + k_2| ＜ |k_1 - k_2|$，故③正确；
④$k_1k_2 ＜ 0$：由前面推导的两函数无交点的核心条件可知，④正确。
综上，②③④共3个表述正确。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；绝对值的性质
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的图象特征与绝对值性质的结合，解题关键是先根据函数无交点推导得出两个比例系数异号的核心条件，再结合代数运算或举反例的方法逐一判断结论即可。
【难度系数】
0.65
二、填空题
7.若 $ y=(n-3)x^{n^2 -10} $ 是关于x的反比例函数，则n的值是
7.若 $ y=(n-3)x^{n^2 -10} $ 是关于x的反比例函数，则n的值是
-3
.答案
7.-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，它需要满足两个核心条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不能为$0$。我们只需要根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后取公共解即可得到$n$的值。
【解析】
解：$\because y=(n-3)x^{n^2 -10}$是关于$x$的反比例函数
$\therefore$根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}n^2 - 10 = -1 \quad \mathrm{(1)} \\n - 3 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解式(1)：移项得$n^2=9$，开平方得$n=3$或$n=-3$
解式(2)：得$n≠3$
综上，排除$n=3$，可得$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.一元二次方程的解法
3.不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记反比例函数的两个成立条件，易错点是忽略系数不为0的限制，误将$n=3$也作为正确结果，解题时要注意验证所有限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，它需要满足两个核心条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不能为$0$。我们只需要根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后取公共解即可得到$n$的值。
【解析】
解：$\because y=(n-3)x^{n^2 -10}$是关于$x$的反比例函数
$\therefore$根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}n^2 - 10 = -1 \quad \mathrm{(1)} \\n - 3 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解式(1)：移项得$n^2=9$，开平方得$n=3$或$n=-3$
解式(2)：得$n≠3$
综上，排除$n=3$，可得$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.一元二次方程的解法
3.不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记反比例函数的两个成立条件，易错点是忽略系数不为0的限制，误将$n=3$也作为正确结果，解题时要注意验证所有限制条件。
【难度系数】
0.7
8.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上有一点$P(2,n)$，将点$P$向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点$Q$.若点$Q$也在该函数的图象上，则$k=$
6
.答案
8.6
解析
【分析】
解题思路如下：①首先，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点P坐标代入$y=\frac{k}{x}$，可得到k与n的第一个关系式；②根据点平移的坐标变化规律（横坐标右加左减，纵坐标上加下减），计算出平移后点Q的坐标；③由于点Q也在该反比例函数图象上，将Q坐标代入解析式，得到k与n的第二个关系式；④联立两个关系式，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$P(2,n)$代入解析式得：$n=\frac{k}{2}$，整理得$k=2n$ ①；
根据点平移的规律，点P向右平移1个单位、向下平移1个单位后，
点Q的横坐标为$2+1=3$，纵坐标为$n-1$，即$Q(3,n-1)$；
又
∵ 点Q也在该反比例函数图象上，
∴ 将$Q(3,n-1)$代入解析式得：$n-1=\frac{k}{3}$，整理得$k=3(n-1)$ ②；
联立①②可得方程：$2n=3(n-1)$，
解得：$2n=3n-3$，即$n=3$，
将$n=3$代入①得：$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.反比例函数点的坐标特征
2.点的平移规律
3.一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的基本性质与点平移的坐标变化规律，解题的关键是准确写出平移后点的坐标，再结合函数解析式建立等量关系求解，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①首先，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点P坐标代入$y=\frac{k}{x}$，可得到k与n的第一个关系式；②根据点平移的坐标变化规律（横坐标右加左减，纵坐标上加下减），计算出平移后点Q的坐标；③由于点Q也在该反比例函数图象上，将Q坐标代入解析式，得到k与n的第二个关系式；④联立两个关系式，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$P(2,n)$代入解析式得：$n=\frac{k}{2}$，整理得$k=2n$ ①；
根据点平移的规律，点P向右平移1个单位、向下平移1个单位后，
点Q的横坐标为$2+1=3$，纵坐标为$n-1$，即$Q(3,n-1)$；
又
∵ 点Q也在该反比例函数图象上，
∴ 将$Q(3,n-1)$代入解析式得：$n-1=\frac{k}{3}$，整理得$k=3(n-1)$ ②；
联立①②可得方程：$2n=3(n-1)$，
解得：$2n=3n-3$，即$n=3$，
将$n=3$代入①得：$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.反比例函数点的坐标特征
2.点的平移规律
3.一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的基本性质与点平移的坐标变化规律，解题的关键是准确写出平移后点的坐标，再结合函数解析式建立等量关系求解，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
