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1.在1个菱形(非正方形)，1个矩形(非正方形)，1个等边三角形，1个正方形中，正多边形有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确正多边形的判定标准：同时满足各边长度相等、各内角度数相等两个条件的多边形才是正多边形。接下来我们逐个验证题干给出的4个图形是否符合两个判定条件即可得出答案，注意两个条件缺一不可，不能只满足一个就判定为正多边形。
【解析】
解：根据正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，对四个图形逐一判断：
1. 非正方形的菱形：四条边长度相等，但内角不全相等（邻角互补，大小不同），不符合正多边形判定条件，不是正多边形；
2. 非正方形的矩形：四个内角均为90°相等，但邻边长度不相等，不符合正多边形判定条件，不是正多边形；
3. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60°相等，符合正多边形判定条件，属于正多边形（正三角形）；
4. 正方形：四条边长度相等，四个内角均为90°相等，符合正多边形判定条件，属于正多边形（正四边形）。
综上，正多边形共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的判定；特殊四边形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略正多边形需要同时满足边等和角等两个条件，误将仅满足边等的菱形或仅满足角等的矩形判定为正多边形，解题时需牢牢抓住定义的两个核心要素判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确正多边形的判定标准：同时满足各边长度相等、各内角度数相等两个条件的多边形才是正多边形。接下来我们逐个验证题干给出的4个图形是否符合两个判定条件即可得出答案，注意两个条件缺一不可，不能只满足一个就判定为正多边形。
【解析】
解：根据正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，对四个图形逐一判断：
1. 非正方形的菱形：四条边长度相等，但内角不全相等（邻角互补，大小不同），不符合正多边形判定条件，不是正多边形；
2. 非正方形的矩形：四个内角均为90°相等，但邻边长度不相等，不符合正多边形判定条件，不是正多边形；
3. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60°相等，符合正多边形判定条件，属于正多边形（正三角形）；
4. 正方形：四条边长度相等，四个内角均为90°相等，符合正多边形判定条件，属于正多边形（正四边形）。
综上，正多边形共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的判定；特殊四边形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略正多边形需要同时满足边等和角等两个条件，误将仅满足边等的菱形或仅满足角等的矩形判定为正多边形，解题时需牢牢抓住定义的两个核心要素判断。
【难度系数】
0.7
2.有下列描述:①各边相等.②各个内角相等.③各个外角相等.④正多边形的中心到各个顶点的距离相等.⑤正$n$边形不一定有$n$条对称轴.其中属于正多边形特征的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确正多边形的定义与相关性质，再对题干中的5个描述逐一判断正误，最后统计正确描述的数量即可得到答案。思考步骤为：先回忆正多边形的定义判断①②；再结合内角与外角的互补关系、多边形外角和定理判断③；接着结合正多边形与圆的位置关系判断④；最后根据正多边形的对称性判断⑤。
【解析】
我们逐个分析各描述：
1. 描述①：正多边形的定义包含“各边相等”，该描述是正多边形的特征，正确；
2. 描述②：正多边形的定义包含“各个内角相等”，该描述是正多边形的特征，正确；
3. 描述③：多边形的一个内角与相邻外角互补，正多边形各内角相等，因此各外角也相等，且正$n$边形每个外角均为$\frac{360°}{n}$，该描述是正多边形的特征，正确；
4. 描述④：正多边形的中心是其外接圆的圆心，正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，因此中心到各个顶点的距离都等于外接圆半径，长度相等，该描述是正多边形的特征，正确；
5. 描述⑤：正$n$边形一定有$n$条对称轴，因此“不一定有$n$条对称轴”的表述错误，不是正多边形的特征。
综上，属于正多边形特征的是①②③④，共4个。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质；正多边形的对称性
【点评】
本题考查正多边形的基础特征，难度不大，解题的关键是准确掌握正多边形的定义、与圆的关系、对称性等核心性质，避免对对称轴数量等易错点记忆混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正多边形的定义与相关性质，再对题干中的5个描述逐一判断正误，最后统计正确描述的数量即可得到答案。思考步骤为：先回忆正多边形的定义判断①②；再结合内角与外角的互补关系、多边形外角和定理判断③；接着结合正多边形与圆的位置关系判断④；最后根据正多边形的对称性判断⑤。
【解析】
我们逐个分析各描述：
1. 描述①：正多边形的定义包含“各边相等”，该描述是正多边形的特征，正确；
2. 描述②：正多边形的定义包含“各个内角相等”，该描述是正多边形的特征，正确；
3. 描述③：多边形的一个内角与相邻外角互补，正多边形各内角相等，因此各外角也相等，且正$n$边形每个外角均为$\frac{360°}{n}$，该描述是正多边形的特征，正确；
4. 描述④：正多边形的中心是其外接圆的圆心，正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，因此中心到各个顶点的距离都等于外接圆半径，长度相等，该描述是正多边形的特征，正确；
5. 描述⑤：正$n$边形一定有$n$条对称轴，因此“不一定有$n$条对称轴”的表述错误，不是正多边形的特征。
综上，属于正多边形特征的是①②③④，共4个。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质；正多边形的对称性
【点评】
本题考查正多边形的基础特征，难度不大，解题的关键是准确掌握正多边形的定义、与圆的关系、对称性等核心性质，避免对对称轴数量等易错点记忆混淆。
【难度系数】
0.8
3.对于一个正多边形，有下列说法：①正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴；②正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心；③正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角；④正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补.其中正确的结论是
①③④
（填序号）.答案
3.①③④
解析
【分析】
本题考查正多边形的相关性质判断，解题时需逐个验证4个结论：首先回忆正多边形的对称性特点，区分奇数边、偶数边正多边形的对称差异；再分别推导正多边形的外角、中心角、内角的度数表达式，通过比对表达式判断③④是否成立即可。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 分析说法①：正多边形都是轴对称图形，正$n$边形共有$n$条对称轴，每条边的垂直平分线都经过正多边形的中心，沿这条线折叠，正多边形的两部分能完全重合，因此每条边的垂直平分线都是它的对称轴，①正确。
2. 分析说法②：只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）旋转$180°$后无法与自身重合，不是中心对称图形，因此②错误。
3. 分析说法③：正多边形的外角和为$360°$，因此每个外角的度数为$\frac{360°}{n}$；正多边形的中心角是指相邻两条半径的夹角，度数也为$\frac{360°}{n}$，二者相等，③正确。
4. 分析说法④：正多边形每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}=180°-\frac{360°}{n}$，结合中心角为$\frac{360°}{n}$，可得内角+中心角=$180°$，二者互补，④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
正多边形的性质；轴对称与中心对称图形；多边形的内角与外角
【点评】
本题属于正多边形的基础性质考查题，易错点在于忽略奇数边正多边形不具备中心对称性，只要牢记正多边形对称性特点和相关角度的计算公式，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
本题考查正多边形的相关性质判断，解题时需逐个验证4个结论：首先回忆正多边形的对称性特点，区分奇数边、偶数边正多边形的对称差异；再分别推导正多边形的外角、中心角、内角的度数表达式，通过比对表达式判断③④是否成立即可。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 分析说法①：正多边形都是轴对称图形，正$n$边形共有$n$条对称轴，每条边的垂直平分线都经过正多边形的中心，沿这条线折叠，正多边形的两部分能完全重合，因此每条边的垂直平分线都是它的对称轴，①正确。
2. 分析说法②：只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）旋转$180°$后无法与自身重合，不是中心对称图形，因此②错误。
3. 分析说法③：正多边形的外角和为$360°$，因此每个外角的度数为$\frac{360°}{n}$；正多边形的中心角是指相邻两条半径的夹角，度数也为$\frac{360°}{n}$，二者相等，③正确。
4. 分析说法④：正多边形每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}=180°-\frac{360°}{n}$，结合中心角为$\frac{360°}{n}$，可得内角+中心角=$180°$，二者互补，④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
正多边形的性质；轴对称与中心对称图形；多边形的内角与外角
【点评】
本题属于正多边形的基础性质考查题，易错点在于忽略奇数边正多边形不具备中心对称性，只要牢记正多边形对称性特点和相关角度的计算公式，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,若⊙O的半径是1,则正方形的边长是
$\sqrt{2}$
,边心距是$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
4.$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确正方形内接于圆时，圆心就是正方形的中心，外接圆半径等于中心到正方形顶点的距离。第一步求边长：连接圆心O与相邻的两个顶点A、B，可得到等腰直角△AOB，其两条腰长等于圆的半径1，中心角∠AOB为360°÷4=90°，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是正方形的边长。第二步求边心距：过O作AB的垂线，垂线段的长度就是边心距，可利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，或再次用勾股定理计算得到结果。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OE⊥AB于点E。
∵ 正方形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠AOB = 360°÷4 = 90°，OA = OB = 1（⊙O的半径为1）。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，即正方形的边长为$\sqrt{2}$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，OE⊥AB，
∴ OE是Rt△AOB斜边AB上的中线，
∴ $OE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；正方形性质
【点评】
本题主要考查正多边形和外接圆的相关性质，解题的关键是准确找到正多边形的中心角、半径、边心距对应的几何量，结合特殊三角形的性质进行计算，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确正方形内接于圆时，圆心就是正方形的中心，外接圆半径等于中心到正方形顶点的距离。第一步求边长：连接圆心O与相邻的两个顶点A、B，可得到等腰直角△AOB，其两条腰长等于圆的半径1，中心角∠AOB为360°÷4=90°，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是正方形的边长。第二步求边心距：过O作AB的垂线，垂线段的长度就是边心距，可利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，或再次用勾股定理计算得到结果。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OE⊥AB于点E。
∵ 正方形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠AOB = 360°÷4 = 90°，OA = OB = 1（⊙O的半径为1）。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，即正方形的边长为$\sqrt{2}$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，OE⊥AB，
∴ OE是Rt△AOB斜边AB上的中线，
∴ $OE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；正方形性质
【点评】
本题主要考查正多边形和外接圆的相关性质，解题的关键是准确找到正多边形的中心角、半径、边心距对应的几何量，结合特殊三角形的性质进行计算，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AO，BO，则其内角∠D为
$108°$
，中心角∠AOB为$72°$
。答案
5.$108°$ $72°$
解析
【分析】
解决本题需先回忆正多边形的相关计算公式：1.正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，每个内角大小相等，因此单个内角等于内角和除以边数n；2.正n边形的中心角是每条边所对的圆心角，整个圆周角为$360°$，因此中心角等于$360°$除以边数n。本题中正多边形边数n=5，代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算内角$∠ D$：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
因为正五边形所有内角大小相等，
所以$∠ D=540°÷5=108°$。
2. 计算中心角$∠ AOB$：
正五边形5条边对应的中心角大小相等，且所有中心角之和为$360°$，
所以$∠ AOB=360°÷5=72°$。
【答案】
$108°$；$72°$
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、圆内接正多边形性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形内角和中心角的计算，掌握对应计算公式即可快速求解，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
解决本题需先回忆正多边形的相关计算公式：1.正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，每个内角大小相等，因此单个内角等于内角和除以边数n；2.正n边形的中心角是每条边所对的圆心角，整个圆周角为$360°$，因此中心角等于$360°$除以边数n。本题中正多边形边数n=5，代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算内角$∠ D$：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
因为正五边形所有内角大小相等，
所以$∠ D=540°÷5=108°$。
2. 计算中心角$∠ AOB$：
正五边形5条边对应的中心角大小相等，且所有中心角之和为$360°$，
所以$∠ AOB=360°÷5=72°$。
【答案】
$108°$；$72°$
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、圆内接正多边形性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形内角和中心角的计算，掌握对应计算公式即可快速求解，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
6.如图，已知$\odot O$的半径为6，$OM⊥ CD$，则圆内接正六边形$ABCDEF$的边长为________，边心距$OM$的长为________，此正六边形的面积为________。
答案
6.6 $3\sqrt{3}$ $54\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先回忆正多边形与外接圆的性质：①正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$；②正六边形的边长等于其外接圆的半径。首先求边长：连接OC、OD，正六边形的中心角$∠ COD=60°$，结合OC=OD可证$△ OCD$是等边三角形，即可得边长。再求边心距OM：OM垂直CD，由等腰三角形三线合一得M是CD中点，在直角三角形OMC中用勾股定理即可求出OM。最后求正六边形面积：正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先算单个等边三角形的面积，再乘6即可得到总面积。
【解析】
连接OC、OD，
∵ 六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，
∴ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ OC=OD=$\odot O$的半径=6，
∴ $△ OCD$是等边三角形，
∴ CD=OC=6，即正六边形的边长为6。
∵ OM⊥CD，$△ OCD$是等边三角形，
∴ M为CD的中点，$CM=\frac{1}{2}CD=3$，
在$Rt△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，即边心距OM长为$3\sqrt{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ OCD$的面积之和，
单个$△ OCD$的面积$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× CD× OM=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，
∴ 正六边形的总面积$S=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}$。
【答案】
6；$3\sqrt{3}$；$54\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质；勾股定理；正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题，解题核心是利用正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等等边三角形的特点求解，熟练掌握正多边形的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正多边形与外接圆的性质：①正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$；②正六边形的边长等于其外接圆的半径。首先求边长：连接OC、OD，正六边形的中心角$∠ COD=60°$，结合OC=OD可证$△ OCD$是等边三角形，即可得边长。再求边心距OM：OM垂直CD，由等腰三角形三线合一得M是CD中点，在直角三角形OMC中用勾股定理即可求出OM。最后求正六边形面积：正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先算单个等边三角形的面积，再乘6即可得到总面积。
【解析】
连接OC、OD，
∵ 六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，
∴ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ OC=OD=$\odot O$的半径=6，
∴ $△ OCD$是等边三角形，
∴ CD=OC=6，即正六边形的边长为6。
∵ OM⊥CD，$△ OCD$是等边三角形，
∴ M为CD的中点，$CM=\frac{1}{2}CD=3$，
在$Rt△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，即边心距OM长为$3\sqrt{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ OCD$的面积之和，
单个$△ OCD$的面积$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× CD× OM=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，
∴ 正六边形的总面积$S=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}$。
【答案】
6；$3\sqrt{3}$；$54\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质；勾股定理；正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题，解题核心是利用正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等等边三角形的特点求解，熟练掌握正多边形的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7.若一个正多边形的内角是它的中心角的4倍，求这个正多边形的边数。
答案
7.设这个正多边形的边数是 $n$,依题意得$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$,解得 $n=10$.
解析
【分析】
解题时先回忆正多边形的相关计算公式：正$n$边形的每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。题目给出“内角是中心角的4倍”这一等量关系，我们可以设正多边形的边数为$n$，将内角和中心角用含$n$的式子表示后，根据等量关系列方程，求解即可得到边数$n$的值。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
正$n$边形的每个内角度数为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
正$n$边形的每个中心角度数为：$\frac{360°}{n}$
依题意得：$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$
∵$n$为正多边形边数，$n≠0$，方程两边同时乘$n$得：
$(n-2)×180°=4×360°$
展开计算：$180°n - 360° = 1440°$
移项合并：$180°n = 1800°$
解得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形基本性质的应用，解题关键是熟练掌握正多边形内角、中心角的计算公式，根据题干给出的倍数关系建立方程求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正多边形的相关计算公式：正$n$边形的每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。题目给出“内角是中心角的4倍”这一等量关系，我们可以设正多边形的边数为$n$，将内角和中心角用含$n$的式子表示后，根据等量关系列方程，求解即可得到边数$n$的值。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
正$n$边形的每个内角度数为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
正$n$边形的每个中心角度数为：$\frac{360°}{n}$
依题意得：$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$
∵$n$为正多边形边数，$n≠0$，方程两边同时乘$n$得：
$(n-2)×180°=4×360°$
展开计算：$180°n - 360° = 1440°$
移项合并：$180°n = 1800°$
解得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形基本性质的应用，解题关键是熟练掌握正多边形内角、中心角的计算公式，根据题干给出的倍数关系建立方程求解。
【难度系数】
0.8
