[2025深圳华附集团期中]【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图1,在等边三角形ABC中,AB=3,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】
小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】
如图2,过点C,M分别作MN,BC的平行线,并交于点P,作射线AP.在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:
(1)求证:AM=MP.
(2)∠CAP的大小为度,线段MN长度的最小值为.
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图3.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图4,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2 m,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米?

(1)证明: $\because MN // PC, MP // BC$,
$\therefore$ 四边形 $MNCP$ 是平行四边形,
$\therefore NC = MP, MN = PC$.
$\because AM = NC, \therefore AM = MP$.
(2)解: $30 \quad \frac{3}{2}$
在等边三角形 $ABC$ 中, $∠ ACB = 60°. \because MP // CN, \therefore ∠ PMC = ∠ ACB = 60°. \because AM = MP, \therefore ∠ CAP = ∠ MPA = 30°$. 当 $CP ⊥ AP$ 时, $CP$ 最小, 此时 $MN$ 最小. 在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中, $AC = 3, ∠ CAP = 30°, \therefore CP = \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}, \therefore$ 线段 $MN$ 长度的最小值为 $\frac{3}{2}$.
【方法应用】
解:如图,过点 $D,M$ 分别作 $MN,ED$ 的平行线,并交于点 $H$, 作射线 $AH$, 连接 $AD$,
$\therefore$ 四边形 $MNDH$ 是平行四边形,
$\therefore ND = MH, MN = DH, MH // ED$.
$\because AM = ND, \therefore AM = MH$.
$\because$ 四边形 $BCDE$ 是矩形, $\therefore BC // ED, ∠ BCD = 90°$,
$\therefore BC // MH, \therefore ∠ ACB = ∠ CMH = 30°$.
$\because AM = MH, \therefore ∠ MAH = 15°$.
$\because AC = CD = 2 \mathrm{ m}, ∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD = 120°$,
$\therefore ∠ DAC = 30°, \therefore ∠ DAH = 45°$,
$\therefore$ 当 $DH ⊥ AH$ 时, $DH$ 最小, 此时 $MN$ 最小.
过点 $C$ 作 $CR ⊥ AD$ 于点 $R$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACR$ 中, $AC = 2 \mathrm{ m}, ∠ CAR = 30°$,
$\therefore AR = AC · \cos ∠ CAR = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore AD = 2AR = 2\sqrt{3} \mathrm{ m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADH$ 中, $AD = 2\sqrt{3}, ∠ DAH = 45°, ∠ AHD = 90°$,
$\therefore DH = \frac{\sqrt{2}}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 钢丝绳 $MN$ 长度的最小值为 $\sqrt{6} \mathrm{ m}$.

【分析】
本题属于双动点线段最值问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据两组对边分别平行判定四边形MNCP是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到NC=MP，结合已知AM=CN即可完成证明。
2. 第(2)问：先由MP//BC得∠PMC=∠ACB=60°，结合AM=MP得到等腰三角形，利用三角形外角性质求出∠CAP的度数；再由平行四边形性质得MN=PC，将MN的最小值转化为PC的最小值，根据垂线段最短，当CP⊥AP时PC最小，结合含30°角的直角三角形性质计算即可。
3. 方法应用：类比前面的构造方法，作平行四边形MNDH，将MN转化为DH，结合已知条件推导出∠DAH=45°，确定H的运动路径为射线AH，当DH⊥AH时DH最小，先解直角三角形求出AD的长度，再利用等腰直角三角形的性质求出DH的最小值即MN的最小值。
【解析】
(1) 证明：
∵ $MN // PC$，$MP // BC$，
∴ 四边形$MNCP$是平行四边形，
∴ $NC = MP$，$MN = PC$。
又
∵ $AM = NC$，
∴ $AM = MP$。
(2) 解：
在等边$△ ABC$中，$∠ ACB=60°$，
∵ $MP // CN$，
∴ $∠ PMC=∠ ACB=60°$。
∵ $AM=MP$，
∴ $∠ CAP=∠ MPA$，
又
∵ $∠ PMC=∠ CAP+∠ MPA=2∠ CAP=60°$，
∴ $∠ CAP=30°$。
∵ $MN=PC$，要使$MN$最小，需使$PC$最小，根据垂线段最短，当$CP ⊥ AP$时，$PC$最小。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，$AC=3$，$∠ CAP=30°$，
∴ $CP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$，即线段$MN$长度的最小值为$\frac{3}{2}$。
【方法应用】
解：如图，过点$D$、$M$分别作$MN$、$ED$的平行线，并交于点$H$，作射线$AH$，连接$AD$，
∴ 四边形$MNDH$是平行四边形，
∴ $ND=MH$，$MN=DH$，$MH // ED$。
∵ $AM=ND$，
∴ $AM=MH$。
∵ 四边形$BCDE$是矩形，
∴ $BC // ED$，$∠ BCD=90°$，
∴ $BC // MH$，
∴ $∠ ACB=∠ CMH=30°$。
∵ $AM=MH$，
∴ $∠ MAH=∠ MHA$，
又
∵ $∠ CMH=∠ MAH+∠ MHA=2∠ MAH=30°$，
∴ $∠ MAH=15°$。
∵ $AC=CD=2\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=30°+90°=120°$，
∴ $△ ACD$为等腰三角形，$∠ DAC=∠ ADC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴ $∠ DAH=∠ DAC+∠ MAH=30°+15°=45°$，
∴ 点$H$的运动路径为射线$AH$，根据垂线段最短，当$DH ⊥ AH$时，$DH$最小，即$MN$最小。
过点$C$作$CR ⊥ AD$于点$R$，在$\mathrm{Rt}△ ACR$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ CAR=30°$，
∴ $AR=AC · \cos∠ CAR=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
∵ $CR ⊥ AD$，$△ ACD$为等腰三角形，
∴ $AD=2AR=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$AD=2\sqrt{3}$，$∠ DAH=45°$，$∠ AHD=90°$，
∴ $DH=AD · \sin∠ DAH=2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}(\mathrm{m})$，
即钢丝绳$MN$长度的最小值为$\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
方法应用：钢丝绳$MN$长度的最小值为$\boldsymbol{\sqrt{6}\ \mathrm{m}}$。

【知识点】
平行四边形的判定与性质，特殊三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题以双动点最值为核心，通过构造平行四边形将双动点问题转化为单动点问题，利用定角确定动点运动路径，再结合垂线段最短求解最值，体现了转化思想与类比迁移方法的应用，有助于提升几何建模能力。
【难度系数】
0.5