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11. 点A,B在数轴上的位置如图所示,点A表示的数是$x_1$,点B表示的数是$x_2$,$AB=2$,且$x_1$,$x_2$是方程$x^2 -4x +k=0$的两个实数根,则$k$的值为
(
A.2
B.3
C.4
D.5
(
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
$\because$ 点A表示的数是$x_1$,点B表示的数是$x_2$,$AB=2$,$\therefore x_2 -x_1=2$①.$\because x_1,x_2$是方程$x^2 -4x +k=0$的两个实数根,$\therefore x_1 +x_2=4$②,$x_1x_2=k$.由①+②,得$2x_2=6$,解得$x_2=3$,$\therefore x_1=1$,$\therefore k=1×3=3$.
解析
【分析】
解题时首先结合数轴性质分析：点B在点A右侧，因此点B对应的数比点A大，由AB=2可得两根之差$x_2-x_1=2$；再回忆一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2-4x+k=0$，两根之和$x_1+x_2=4$，两根之积$x_1x_2=k$；接下来联立两根之差和两根之和的等式，解出$x_1、x_2$的值，最后代入两根之积的表达式即可求出k的值。
【解析】
解：由数轴可知点B在点A右侧，因此$x_2 ＞ x_1$
$\because AB=2$
$\therefore x_2 - x_1 = 2$ ①
$\because x_1,x_2$是方程$x^2 -4x +k=0$的两个实数根
$\therefore$根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 4$ ②，$x_1x_2 = k$
将①+②得：$2x_2 = 6$，解得$x_2=3$
把$x_2=3$代入②得：$x_1=4-3=1$
$\therefore k = x_1x_2 = 1×3=3$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
数轴上两点的距离；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础综合题，将数轴的性质和一元二次方程根与系数的关系结合考查，解题的关键是先根据两点距离得到两根的差，再结合韦达定理求出两根的值，只要掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合数轴性质分析：点B在点A右侧，因此点B对应的数比点A大，由AB=2可得两根之差$x_2-x_1=2$；再回忆一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2-4x+k=0$，两根之和$x_1+x_2=4$，两根之积$x_1x_2=k$；接下来联立两根之差和两根之和的等式，解出$x_1、x_2$的值，最后代入两根之积的表达式即可求出k的值。
【解析】
解：由数轴可知点B在点A右侧，因此$x_2 ＞ x_1$
$\because AB=2$
$\therefore x_2 - x_1 = 2$ ①
$\because x_1,x_2$是方程$x^2 -4x +k=0$的两个实数根
$\therefore$根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 4$ ②，$x_1x_2 = k$
将①+②得：$2x_2 = 6$，解得$x_2=3$
把$x_2=3$代入②得：$x_1=4-3=1$
$\therefore k = x_1x_2 = 1×3=3$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
数轴上两点的距离；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础综合题，将数轴的性质和一元二次方程根与系数的关系结合考查，解题的关键是先根据两点距离得到两根的差，再结合韦达定理求出两根的值，只要掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. [2025东营中考]若$x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
）A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
$\because x_1$,$x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根,$\therefore x_1^2 -25x_1 -1=0$,$x_1 +x_2=25$,$\therefore x_1^2 -25x_1=1$,$\therefore x_1^2 -24x_1 +x_2 =x_1^2 -25x_1 +x_1 +x_2=(x_1^2 -25x_1)+(x_1 +x_2)$(将所求代数式化为含已知条件的形式)$=1+25=26$.
解析
【分析】
所求代数式包含$x_1$的二次项和两个根的一次项，解题可按以下思路思考：①利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$与$x_1$的关系，实现二次项降次；②将所求代数式拆分为含有“$x_1^2-25x_1$”和“$x_1+x_2$”的形式，前者可通过根的定义得到固定数值，后者可通过根与系数的关系求出；③最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，
$\therefore$根据一元二次方程根的定义可得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2 -25x_1=1$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 +x_2=25$，
对所求代数式变形得：
$x_1^2 -24x_1 +x_2 =x_1^2 -25x_1 +x_1 +x_2$，
将$x_1^2 -25x_1=1$、$x_1 +x_2=25$整体代入得：
原式$=1+25=26$。
【答案】C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义；2.根与系数的关系；3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的综合应用题，解题核心是通过根的定义对高次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，无需解出方程的具体根，简化了计算过程，属于该模块的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
所求代数式包含$x_1$的二次项和两个根的一次项，解题可按以下思路思考：①利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$与$x_1$的关系，实现二次项降次；②将所求代数式拆分为含有“$x_1^2-25x_1$”和“$x_1+x_2$”的形式，前者可通过根的定义得到固定数值，后者可通过根与系数的关系求出；③最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，
$\therefore$根据一元二次方程根的定义可得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2 -25x_1=1$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 +x_2=25$，
对所求代数式变形得：
$x_1^2 -24x_1 +x_2 =x_1^2 -25x_1 +x_1 +x_2$，
将$x_1^2 -25x_1=1$、$x_1 +x_2=25$整体代入得：
原式$=1+25=26$。
【答案】C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义；2.根与系数的关系；3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的综合应用题，解题核心是通过根的定义对高次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，无需解出方程的具体根，简化了计算过程，属于该模块的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
13. [2024 绥化中考] 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根分别是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根分别是-2和-5. 则原来的方程是 (
A.$x^2 +6x +5 =0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$
B
)A.$x^2 +6x +5 =0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$
答案
设原来的方程为$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$,由题意知,$-\frac{b}{a}=6+1=7$,$\frac{c}{a}=-2×(-5)=10$,$\therefore b=-7a$,$c=10a$,$\therefore$ 原来的方程为$ax^2 -7ax +10a=0$,整理得$x^2 -7x +10=0$.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先明确：小影仅写错常数项，说明她求解时所用方程的二次项、一次项系数是正确的，因此她得到的两个根的和符合原方程的两根之和；小冬仅写错一次项系数，说明他求解时所用方程的二次项、常数项是正确的，因此他得到的两个根的积符合原方程的两根之积。再结合根与系数的关系求出原方程各项系数的关系，整理即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，
1. 小影写错常数项，一次项系数正确，根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此原方程两根之和为$6+1=7$，即$-\frac{b}{a}=7$，可得$b=-7a$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项正确，根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此原方程两根之积为$(-2)×(-5)=10$，即$\frac{c}{a}=10$，可得$c=10a$；
将$b=-7a$、$c=10a$代入原方程，得$ax^2 -7ax +10a=0$，
因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，整理得$x^2 -7x +10=0$。
【答案】B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题核心是准确判断写错不同项时，对应的两根和、两根积哪个是正确的，再结合定理即可快速求出原方程，是基础类常考题。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先明确：小影仅写错常数项，说明她求解时所用方程的二次项、一次项系数是正确的，因此她得到的两个根的和符合原方程的两根之和；小冬仅写错一次项系数，说明他求解时所用方程的二次项、常数项是正确的，因此他得到的两个根的积符合原方程的两根之积。再结合根与系数的关系求出原方程各项系数的关系，整理即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，
1. 小影写错常数项，一次项系数正确，根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此原方程两根之和为$6+1=7$，即$-\frac{b}{a}=7$，可得$b=-7a$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项正确，根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此原方程两根之积为$(-2)×(-5)=10$，即$\frac{c}{a}=10$，可得$c=10a$；
将$b=-7a$、$c=10a$代入原方程，得$ax^2 -7ax +10a=0$，
因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，整理得$x^2 -7x +10=0$。
【答案】B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题核心是准确判断写错不同项时，对应的两根和、两根积哪个是正确的，再结合定理即可快速求出原方程，是基础类常考题。
【难度系数】
0.7
14. 教材复习题变式 已知实数$m,n(m≠n)$满足$2m^2 -3m -1=0,2n^2 -3n -1=0$,则$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值为
$-\frac{13}{2}$
.答案
$\because$ 实数$m,n$满足等式$2m^2 -3m -1=0$,$2n^2 -3n -1=0$,$\therefore m,n$是方程$2x^2 -3x -1=0$的两个实数根,$\therefore m +n=\frac{3}{2}$,$mn=-\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m +n)^2 -2mn}{mn}=\frac{\frac{9}{4}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，m和n满足的二次方程结构完全相同，且m≠n，因此可判断m、n是一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根。接下来将所求的代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分变形，转化为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出$m+n$和$mn$的值，整体代入变形后的代数式即可计算出结果。
【解析】
∵ 实数$m,n(m≠n)$满足$2m^2 -3m -1=0,2n^2 -3n -1=0$，
∴ $m,n$是一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m +n)^2 -2mn}{mn}$，
将$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题的核心是通过观察已知等式的结构特征，快速识别出m、n为同一方程的两根，再结合整体代入思想将所求代数式变形后代入计算，有效考察了学生的观察分析能力和代数变形能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，m和n满足的二次方程结构完全相同，且m≠n，因此可判断m、n是一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根。接下来将所求的代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分变形，转化为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出$m+n$和$mn$的值，整体代入变形后的代数式即可计算出结果。
【解析】
∵ 实数$m,n(m≠n)$满足$2m^2 -3m -1=0,2n^2 -3n -1=0$，
∴ $m,n$是一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m +n)^2 -2mn}{mn}$，
将$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题的核心是通过观察已知等式的结构特征，快速识别出m、n为同一方程的两根，再结合整体代入思想将所求代数式变形后代入计算，有效考察了学生的观察分析能力和代数变形能力。
【难度系数】
0.6
15. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程$x^2 -10x + m =0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为
$\sqrt{14}$
。答案
设方程$x^2 -10x +m=0$的两个根分别为$a,b$,$\therefore a +b=10$.$\because a,b$分别是一个菱形的两条对角线的长,且菱形的面积为11,$\therefore \frac{1}{2}ab=11$(菱形的面积 = 两条对角线乘积的一半),$\therefore ab=22$.$\because$ 菱形的对角线垂直且互相平分,$\therefore$ 该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 +b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a +b)^2 -2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2 -2×22}=\sqrt{14}$.
解析
【分析】
解决本题的思路可分三步梳理：首先，已知菱形两条对角线是一元二次方程的两个实数根，可设两根为a、b，借助一元二次方程根与系数的关系直接得到两根之和；其次，结合菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，代入已知面积求出两根之积；最后，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理表示出菱形的边长，再通过完全平方公式将边长的表达式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 -10x +m=0$的两个根分别为$a,b$，根据一元二次方程根与系数的关系得：
$a +b=10$
$\because a,b$分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为11，根据菱形面积公式：菱形面积=两条对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$
$\because$ 菱形的对角线互相垂直且平分，由勾股定理可得菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 +b^2}$
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}\sqrt{(a +b)^2 -2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2 -2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的韦达定理和菱形的相关性质结合考查，解题核心是利用完全平方公式完成代数式的变形，是较为典型的跨知识点考法。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路可分三步梳理：首先，已知菱形两条对角线是一元二次方程的两个实数根，可设两根为a、b，借助一元二次方程根与系数的关系直接得到两根之和；其次，结合菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，代入已知面积求出两根之积；最后，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理表示出菱形的边长，再通过完全平方公式将边长的表达式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 -10x +m=0$的两个根分别为$a,b$，根据一元二次方程根与系数的关系得：
$a +b=10$
$\because a,b$分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为11，根据菱形面积公式：菱形面积=两条对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$
$\because$ 菱形的对角线互相垂直且平分，由勾股定理可得菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 +b^2}$
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}\sqrt{(a +b)^2 -2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2 -2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的韦达定理和菱形的相关性质结合考查，解题核心是利用完全平方公式完成代数式的变形，是较为典型的跨知识点考法。
【难度系数】
0.6
16. 新考法 下面是小宇同学的数学笔记,请仔细阅读并完成相应任务.
一元二次方程的新解法——罗氏解法
美籍华裔数学家罗博深在2019年提出了一种一元二次方程的新解法,该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理),通过寻找根的平均数的方法解答.下面以解方程$2x^2 -3x -7=0$为例进行分析.
解:设方程$2x^2 -3x -7=0$的两个根分别为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}, x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{7}{2}.$
$\because x_1 +x_2 = \frac{3}{2}, \therefore x_1$与$x_2$的平均数为$\frac{3}{4}.$
续表
设$x_1 = \frac{3}{4} + m, x_2 = \frac{3}{4} - m(m＞0),$
则$x_1x_2 = (\frac{3}{4} + m)(\frac{3}{4} - m) = -\frac{7}{2}, ···.$
请完成笔记中的求解过程.
一元二次方程的新解法——罗氏解法
美籍华裔数学家罗博深在2019年提出了一种一元二次方程的新解法,该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理),通过寻找根的平均数的方法解答.下面以解方程$2x^2 -3x -7=0$为例进行分析.
解:设方程$2x^2 -3x -7=0$的两个根分别为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}, x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{7}{2}.$
$\because x_1 +x_2 = \frac{3}{2}, \therefore x_1$与$x_2$的平均数为$\frac{3}{4}.$
续表
设$x_1 = \frac{3}{4} + m, x_2 = \frac{3}{4} - m(m＞0),$
则$x_1x_2 = (\frac{3}{4} + m)(\frac{3}{4} - m) = -\frac{7}{2}, ···.$
请完成笔记中的求解过程.
答案
则$x_1x_2 = (\frac{3}{4} + m)(\frac{3}{4} - m) = -\frac{7}{2}$,
$\therefore (\frac{3}{4})^2 - m^2 = -\frac{7}{2}$,$\therefore m^2 = \frac{9}{16} + \frac{7}{2}$,$\therefore m = \frac{\sqrt{65}}{4}$,
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$,$x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{4}$.
$\therefore (\frac{3}{4})^2 - m^2 = -\frac{7}{2}$,$\therefore m^2 = \frac{9}{16} + \frac{7}{2}$,$\therefore m = \frac{\sqrt{65}}{4}$,
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$,$x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{4}$.
解析
【分析】
本题利用韦达定理结合“平均数设根”的方法求解一元二次方程，解题思路如下：第一步，利用平方差公式展开两根的乘积表达式，得到关于m的方程；第二步，求解关于m的方程，结合m＞0的条件取正根；第三步，将求得的m值代入预设的x₁、x₂表达式，即可得到方程的两个根。
【解析】
接题目给出的步骤：
$x_1x_2 = (\frac{3}{4} + m)(\frac{3}{4} - m) = -\frac{7}{2}$，
根据平方差公式展开得：$(\frac{3}{4})^2 - m^2 = -\frac{7}{2}$，
移项计算得：$m^2 = \frac{9}{16} + \frac{7}{2} = \frac{9}{16} + \frac{56}{16} = \frac{65}{16}$，
$\because m＞0$，$\therefore m = \sqrt{\frac{65}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$，
将m代入$x_1 = \frac{3}{4} + m$，$x_2 = \frac{3}{4} - m$得：
$x_1 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} = \frac{3+\sqrt{65}}{4}$，$x_2 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} = \frac{3-\sqrt{65}}{4}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{65}}{4}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 平方差公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
该解法是对一元二次方程根与系数关系的灵活运用，通过设根为平均数加减参数的形式简化了计算过程，思路新颖巧妙，能帮助我们更深刻地理解一元二次方程根的性质，拓展解方程的思路。
【难度系数】
0.8
本题利用韦达定理结合“平均数设根”的方法求解一元二次方程，解题思路如下：第一步，利用平方差公式展开两根的乘积表达式，得到关于m的方程；第二步，求解关于m的方程，结合m＞0的条件取正根；第三步，将求得的m值代入预设的x₁、x₂表达式，即可得到方程的两个根。
【解析】
接题目给出的步骤：
$x_1x_2 = (\frac{3}{4} + m)(\frac{3}{4} - m) = -\frac{7}{2}$，
根据平方差公式展开得：$(\frac{3}{4})^2 - m^2 = -\frac{7}{2}$，
移项计算得：$m^2 = \frac{9}{16} + \frac{7}{2} = \frac{9}{16} + \frac{56}{16} = \frac{65}{16}$，
$\because m＞0$，$\therefore m = \sqrt{\frac{65}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$，
将m代入$x_1 = \frac{3}{4} + m$，$x_2 = \frac{3}{4} - m$得：
$x_1 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} = \frac{3+\sqrt{65}}{4}$，$x_2 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} = \frac{3-\sqrt{65}}{4}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{65}}{4}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 平方差公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
该解法是对一元二次方程根与系数关系的灵活运用，通过设根为平均数加减参数的形式简化了计算过程，思路新颖巧妙，能帮助我们更深刻地理解一元二次方程根的性质，拓展解方程的思路。
【难度系数】
0.8
17. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 -2x +k -1=0$的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 +2x_2 -1$，求$k$的值.
答案
解:根据题意,
得$x_1 +x_2=2$,$x_1x_2=k-1$,$x_1^2 -2x_1 +k -1=0$,
$\therefore x_1^2=2x_1 -k +1$.
$\because \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 +2x_2 -1$,
$\therefore \frac{(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}=2(x_1 +x_2)-k$,
$\therefore \frac{2^2 -2(k -1)}{k -1}=4 -k$,解得$k=2$或$k=5$,
经检验,$k=2$或$k=5$是原方程的解.
当$k=2$时,关于$x$的方程为$x^2 -2x +1=0$,$\Delta=0$,符合题意;
当$k=5$时,关于$x$的方程为$x^2 -2x +4=0$,$\Delta＜0$,方程无实数根,不符合题意(解出来的$k$值要满足题意:该方程有两个实数根).
综上,$k=2$.
得$x_1 +x_2=2$,$x_1x_2=k-1$,$x_1^2 -2x_1 +k -1=0$,
$\therefore x_1^2=2x_1 -k +1$.
$\because \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 +2x_2 -1$,
$\therefore \frac{(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}=2(x_1 +x_2)-k$,
$\therefore \frac{2^2 -2(k -1)}{k -1}=4 -k$,解得$k=2$或$k=5$,
经检验,$k=2$或$k=5$是原方程的解.
当$k=2$时,关于$x$的方程为$x^2 -2x +1=0$,$\Delta=0$,符合题意;
当$k=5$时,关于$x$的方程为$x^2 -2x +4=0$,$\Delta＜0$,方程无实数根,不符合题意(解出来的$k$值要满足题意:该方程有两个实数根).
综上,$k=2$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的相关综合题，解题思路如下：1. 先明确已知条件：方程有两个实数根，因此需满足判别式Δ≥0，同时可根据韦达定理得到两根之和、两根之积与参数k的关系；2. 等式左边的分式型代数式可通过通分，变形为用两根和、两根积表示的形式；3. 等式右边含$x_1^2$，可利用方程根的定义，将$x_1$代入原方程把$x_1^2$降次为一次式，再结合两根之和将右边也转化为仅含k的表达式；4. 联立得到关于k的方程并求解，最后要检验所求k值是否满足“方程有两个实根”以及“分母不为0”的隐含条件，舍去增根即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-2x+k-1=0$的两个实数根
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$，
且判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(k-1)≥0$，即$k≤2$，
同时将$x_1$代入方程得：$x_1^2-2x_1+k-1=0$，即$x_1^2=2x_1 -k +1$。
对已知等式$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 +2x_2 -1$变形：
左边通分得：$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
右边将$x_1^2$替换得：$2x_1 -k +1 +2x_2 -1=2(x_1+x_2)-k$，
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$代入得：
$\frac{2^2 -2(k-1)}{k-1}=2×2 -k$（$k≠1$，分母不为0）
整理得：$\frac{6-2k}{k-1}=4 -k$
两边同乘$(k-1)$得：$6-2k=(4 -k)(k-1)$
展开整理得：$k^2-7k+10=0$
解得：$k=2$或$k=5$
检验：当$k=2$时，$\Delta=4-4×(2-1)=0$，满足方程有两个实数根，且$x_1x_2=1≠0$，符合题意；
当$k=5$时，$\Delta=4-4×(5-1)=-12＜0$，方程无实数根，舍去。
综上，k的值为2。
【答案】
$k=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的综合应用，解题的关键是利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理将所求代数式转化为含参数的表达式，求解后需注意检验参数是否满足方程有实根的前提，以及分母不为零的隐含条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.5
本题是一元二次方程根的相关综合题，解题思路如下：1. 先明确已知条件：方程有两个实数根，因此需满足判别式Δ≥0，同时可根据韦达定理得到两根之和、两根之积与参数k的关系；2. 等式左边的分式型代数式可通过通分，变形为用两根和、两根积表示的形式；3. 等式右边含$x_1^2$，可利用方程根的定义，将$x_1$代入原方程把$x_1^2$降次为一次式，再结合两根之和将右边也转化为仅含k的表达式；4. 联立得到关于k的方程并求解，最后要检验所求k值是否满足“方程有两个实根”以及“分母不为0”的隐含条件，舍去增根即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-2x+k-1=0$的两个实数根
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$，
且判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(k-1)≥0$，即$k≤2$，
同时将$x_1$代入方程得：$x_1^2-2x_1+k-1=0$，即$x_1^2=2x_1 -k +1$。
对已知等式$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 +2x_2 -1$变形：
左边通分得：$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
右边将$x_1^2$替换得：$2x_1 -k +1 +2x_2 -1=2(x_1+x_2)-k$，
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$代入得：
$\frac{2^2 -2(k-1)}{k-1}=2×2 -k$（$k≠1$，分母不为0）
整理得：$\frac{6-2k}{k-1}=4 -k$
两边同乘$(k-1)$得：$6-2k=(4 -k)(k-1)$
展开整理得：$k^2-7k+10=0$
解得：$k=2$或$k=5$
检验：当$k=2$时，$\Delta=4-4×(2-1)=0$，满足方程有两个实数根，且$x_1x_2=1≠0$，符合题意；
当$k=5$时，$\Delta=4-4×(5-1)=-12＜0$，方程无实数根，舍去。
综上，k的值为2。
【答案】
$k=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的综合应用，解题的关键是利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理将所求代数式转化为含参数的表达式，求解后需注意检验参数是否满足方程有实根的前提，以及分母不为零的隐含条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.5
18. 教材复习题变式|推理能力 已知$xy≠1$，且$x^2 + 20x + 10 = 0$，$10y^2 + 20y + 1 = 0$，则$\frac{x}{y}$的值为
10
。答案
已知$10y^2 +20y +1=0$,方程两边同时除以$y^2$,得$(\frac{1}{y})^2 +20·\frac{1}{y} +10=0$.$\because x^2 +20x +10=0$,$xy≠1$,$\therefore x$,$\frac{1}{y}$可看作是方程$t^2 +20t +10=0$的两根,$\therefore x·\frac{1}{y}=10$,$\therefore \frac{x}{y}=10$.
解析
【分析】
观察给出的两个方程，系数存在对应关联，可先对含y的方程进行变形：因y≠0（否则$10y^2+20y+1=1≠0$，与方程矛盾），将$10y^2+20y+1=0$两边同时除以$y^2$，可得到和$x^2+20x+10=0$形式完全相同的关于$\frac{1}{y}$的二次方程。结合条件$xy≠1$可知$x≠\frac{1}{y}$，因此x和$\frac{1}{y}$可看作方程$t^2+20t+10=0$的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
已知$10y^2 +20y +1=0$，显然$y≠0$，方程两边同时除以$y^2$，得$(\frac{1}{y})^2 +20·\frac{1}{y} +10=0$。
$\because x^2 +20x +10=0$，且$xy≠1$即$x≠\frac{1}{y}$，
$\therefore x$，$\frac{1}{y}$是一元二次方程$t^2 +20t +10=0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{10}{1}=10$，即$x·\frac{1}{y}=10$，
$\therefore \frac{x}{y}=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是通过等价变形构造出同形式的方程，将两个未知数的关系转化为同一方程两根的关系求解，题中给出的$xy≠1$是判断两根不相等的重要前提，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.6
观察给出的两个方程，系数存在对应关联，可先对含y的方程进行变形：因y≠0（否则$10y^2+20y+1=1≠0$，与方程矛盾），将$10y^2+20y+1=0$两边同时除以$y^2$，可得到和$x^2+20x+10=0$形式完全相同的关于$\frac{1}{y}$的二次方程。结合条件$xy≠1$可知$x≠\frac{1}{y}$，因此x和$\frac{1}{y}$可看作方程$t^2+20t+10=0$的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
已知$10y^2 +20y +1=0$，显然$y≠0$，方程两边同时除以$y^2$，得$(\frac{1}{y})^2 +20·\frac{1}{y} +10=0$。
$\because x^2 +20x +10=0$，且$xy≠1$即$x≠\frac{1}{y}$，
$\therefore x$，$\frac{1}{y}$是一元二次方程$t^2 +20t +10=0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{10}{1}=10$，即$x·\frac{1}{y}=10$，
$\therefore \frac{x}{y}=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是通过等价变形构造出同形式的方程，将两个未知数的关系转化为同一方程两根的关系求解，题中给出的$xy≠1$是判断两根不相等的重要前提，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.6
【回顾与思考】解一元二次方程的方法有哪些？
主要用到的思想是什么？配方法的一般过程是怎样的？如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？一元二次方程的根与系数有什么关系？
主要用到的思想是什么？配方法的一般过程是怎样的？如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？一元二次方程的根与系数有什么关系？
答案
解：
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
解析
【分析】
这道题属于一元二次方程模块的基础识记类题目，主要考察对一元二次方程相关核心基础知识点的掌握情况。解题时按照题目设问的顺序逐一回忆对应知识点，准确规范表述即可：首先回忆4种常见的一元二次方程解法；其次明确解一元二次方程的核心是降次转化思想；再按操作顺序梳理配方法的完整步骤；接着明确根的判别式的定义及三种取值对应的根的情况；最后准确写出根与系数的关系公式，注意符号不要出错。
【解析】
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考察的都是一元二次方程的核心基础知识点，是后续求解一元二次方程、解决方程相关应用及综合题型的必备基础，需要准确识记、熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这道题属于一元二次方程模块的基础识记类题目，主要考察对一元二次方程相关核心基础知识点的掌握情况。解题时按照题目设问的顺序逐一回忆对应知识点，准确规范表述即可：首先回忆4种常见的一元二次方程解法；其次明确解一元二次方程的核心是降次转化思想；再按操作顺序梳理配方法的完整步骤；接着明确根的判别式的定义及三种取值对应的根的情况；最后准确写出根与系数的关系公式，注意符号不要出错。
【解析】
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
1. 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2. 主要用到的思想是降次思想，通过变形将一元二次方程转化为一元一次方程求解。
3. 配方法的一般过程：
① 将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 方程两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1；
③ 移项，把常数项移到方程右侧，使方程左边只含二次项和一次项；
④ 配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧写成完全平方式，化为$(x+m)^2=n$的形式；
⑤ 若$n≥0$，对等式两边直接开平方，求出方程的根；若$n＜0$，则原方程无实数根。
4. 利用根的判别式判断根的情况：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，定义根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系：
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$x_1、x_2$，则
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考察的都是一元二次方程的核心基础知识点，是后续求解一元二次方程、解决方程相关应用及综合题型的必备基础，需要准确识记、熟练掌握。
【难度系数】
0.8
