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1. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，则关于$x$的一元二次方程$(a + b)x^2 + 2cx + (a + b) = 0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有且只有一个实数根
D.没有实数根
D
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有且只有一个实数根
D.没有实数根
答案
根据题意,得$a + b≠0$,$\Delta = (2c)^2 - 4(a + b)^2 = 4(c + a + b)(c - a - b)$.$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore a + b + c＞0$,$c - a - b＜0$(三角形的三边关系),$\therefore \Delta = 4(c + a + b)(c - a - b)＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根.
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号，本题结合三角形三边长的条件，需要用三角形三边关系判断判别式的正负。首先确认二次项系数不为0（三角形边长均为正数，故$a+b＞0$，符合一元二次方程的要求），再计算判别式并因式分解，最后结合三边关系判断因式的正负，就能得到判别式的符号，确定根的情况。
【解析】
解：$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，即二次项系数$a+b\ne 0$。
计算方程的根的判别式：
$\Delta = (2c)^2 - 4(a+b)(a+b) = 4c^2-4(a+b)^2 = 4[c^2-(a+b)^2] = 4(c+a+b)(c-a-b)$
根据三角形三边关系：
三角形三边和为正，故$a+b+c＞0$；两边之和大于第三边，故$a+b＞c$，即$c-a-b＜0$。
因此$\Delta = 4×(\mathrm{正数})×(\mathrm{负数})＜0$，该一元二次方程没有实数根。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式；三角形三边关系；因式分解
【点评】
本题属于代数几何结合的基础综合题，同时考查一元二次方程根的判别式应用和三角形三边关系的使用，解题关键是正确计算判别式并结合三边关系判断其符号，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况的核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号，本题结合三角形三边长的条件，需要用三角形三边关系判断判别式的正负。首先确认二次项系数不为0（三角形边长均为正数，故$a+b＞0$，符合一元二次方程的要求），再计算判别式并因式分解，最后结合三边关系判断因式的正负，就能得到判别式的符号，确定根的情况。
【解析】
解：$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，即二次项系数$a+b\ne 0$。
计算方程的根的判别式：
$\Delta = (2c)^2 - 4(a+b)(a+b) = 4c^2-4(a+b)^2 = 4[c^2-(a+b)^2] = 4(c+a+b)(c-a-b)$
根据三角形三边关系：
三角形三边和为正，故$a+b+c＞0$；两边之和大于第三边，故$a+b＞c$，即$c-a-b＜0$。
因此$\Delta = 4×(\mathrm{正数})×(\mathrm{负数})＜0$，该一元二次方程没有实数根。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式；三角形三边关系；因式分解
【点评】
本题属于代数几何结合的基础综合题，同时考查一元二次方程根的判别式应用和三角形三边关系的使用，解题关键是正确计算判别式并结合三边关系判断其符号，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$的长是关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$的两个根,则（
A.$k ≥ -1$且$k ≠ 0$
B.$-1 ≤ k ＜ 0$
C.$k ≤ -1$
D.$-1 ＜ k ＜ 0$
B
）A.$k ≥ -1$且$k ≠ 0$
B.$-1 ≤ k ＜ 0$
C.$k ≤ -1$
D.$-1 ＜ k ＜ 0$
答案
设方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$的两个根分别为$x_1,x_2$,则$x_1 ＞ 0$,$x_2 ＞ 0$. 根据根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = -\frac{2}{k} ＞ 0$,$x_1 x_2 = -\frac{1}{k} ＞ 0$,解得$k ＜ 0$.$\because$ 方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$有实数根,$\therefore \Delta = 4 + 4k≥0$,解得$k≥ -1$,$\therefore -1≤ k ＜ 0$.
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心信息：一是平行四边形的对角线是线段，长度一定为正数，因此题干中的一元二次方程有两个正实根；二是题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0。推导可分三步进行：第一步，利用根与系数的关系，结合两根均为正的特征，得到两根之和、两根之积都大于0，列不等式求出k的初步范围；第二步，根据一元二次方程有实根的要求，即判别式≥0，求出k的另一取值范围；第三步，综合所有不等式的解集，得到k的最终取值范围，注意k=-1时两根相等，对应对角线相等的平行四边形（矩形），仍符合要求。
【解析】
设方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$的两个根分别为$x_1,x_2$，其中$x_1,x_2$是平行四边形对角线AC、BD的长，因此$x_1＞0$，$x_2＞0$，且该方程为一元二次方程，故$k≠0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{k} ＞ 0$，
两根之积：$x_1 x_2 = -\frac{1}{k} ＞ 0$，
联立两个不等式解得$k ＜ 0$，已经满足$k≠0$的条件。
又因为方程有两个实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ≥ 0$，
解得$k ≥ -1$。
综合可得$k$的取值范围是$-1 ≤ k ＜ 0$。
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】本题是代数与几何结合的基础综合题，解题的关键是结合几何图形的性质挖掘出方程两根均为正的隐含条件，再结合一元二次方程的相关性质列不等式求解，容易出错的点是忽略对角线为正的条件，或者解不等式时符号处理错误。
【难度系数】0.6
解题时首先明确两个核心信息：一是平行四边形的对角线是线段，长度一定为正数，因此题干中的一元二次方程有两个正实根；二是题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0。推导可分三步进行：第一步，利用根与系数的关系，结合两根均为正的特征，得到两根之和、两根之积都大于0，列不等式求出k的初步范围；第二步，根据一元二次方程有实根的要求，即判别式≥0，求出k的另一取值范围；第三步，综合所有不等式的解集，得到k的最终取值范围，注意k=-1时两根相等，对应对角线相等的平行四边形（矩形），仍符合要求。
【解析】
设方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$的两个根分别为$x_1,x_2$，其中$x_1,x_2$是平行四边形对角线AC、BD的长，因此$x_1＞0$，$x_2＞0$，且该方程为一元二次方程，故$k≠0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{k} ＞ 0$，
两根之积：$x_1 x_2 = -\frac{1}{k} ＞ 0$，
联立两个不等式解得$k ＜ 0$，已经满足$k≠0$的条件。
又因为方程有两个实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ≥ 0$，
解得$k ≥ -1$。
综合可得$k$的取值范围是$-1 ≤ k ＜ 0$。
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】本题是代数与几何结合的基础综合题，解题的关键是结合几何图形的性质挖掘出方程两根均为正的隐含条件，再结合一元二次方程的相关性质列不等式求解，容易出错的点是忽略对角线为正的条件，或者解不等式时符号处理错误。
【难度系数】0.6
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x +k -1=0$的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为
$\sqrt{13}$
.答案
设$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +k -1=0$的两个根,根据根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = 5$.$\because$ 该方程的两个根是直角三角形的两条直角边长,$\therefore S_{\mathrm{直角三角形}} = \frac{1}{2}x_1 x_2 = 3$,$\therefore x_1 x_2 = 6$,$\therefore$ 由勾股定理可得,该直角三角形的斜边长为$\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们明确：求直角三角形的斜边长，需要得到两条直角边的平方和。已知两条直角边是一元二次方程的两个根，我们可以先通过根与系数的关系得到两根之和，再结合直角三角形面积公式求出两根之积，最后利用完全平方公式将两条直角边的平方和转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入数值即可求出斜边，无需单独求解方程的根，能简化计算。
【解析】
设$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +k -1=0$的两个根，根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 5$。
$\because$ 该方程的两个根是直角三角形的两条直角边长，
$\therefore S_{\mathrm{直角三角形}} = \frac{1}{2}x_1 x_2 = 3$，解得$x_1 x_2 = 6$。
由勾股定理可得，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2} = \sqrt{5^2 - 2×6} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
根与系数的关系；直角三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是灵活运用完全平方公式变形，将斜边的表达式转化为可通过根与系数关系直接代入计算的形式，减少不必要的计算量。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们明确：求直角三角形的斜边长，需要得到两条直角边的平方和。已知两条直角边是一元二次方程的两个根，我们可以先通过根与系数的关系得到两根之和，再结合直角三角形面积公式求出两根之积，最后利用完全平方公式将两条直角边的平方和转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入数值即可求出斜边，无需单独求解方程的根，能简化计算。
【解析】
设$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +k -1=0$的两个根，根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 5$。
$\because$ 该方程的两个根是直角三角形的两条直角边长，
$\therefore S_{\mathrm{直角三角形}} = \frac{1}{2}x_1 x_2 = 3$，解得$x_1 x_2 = 6$。
由勾股定理可得，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2} = \sqrt{5^2 - 2×6} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
根与系数的关系；直角三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是灵活运用完全平方公式变形，将斜边的表达式转化为可通过根与系数关系直接代入计算的形式，减少不必要的计算量。
【难度系数】
0.7
4. [2026天水清水五中期末]已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$,其中$a,b,c$为$△ ABC$的三边长.
(1)若$x = -1$是该方程的根,则$△ ABC$是
(2)若该方程有两个相等的实数根,则$△ ABC$是
(3)若$△ ABC$是等边三角形,求该一元二次方程的根.
(1)若$x = -1$是该方程的根,则$△ ABC$是
等腰
三角形;(2)若该方程有两个相等的实数根,则$△ ABC$是
直角
三角形;(3)若$△ ABC$是等边三角形,求该一元二次方程的根.
答案
(1)等腰
把$x = -1$代入方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$,得$a + c - 2b + a - c = 0$,则$a = b$,故$△ ABC$为等腰三角形.
(2)直角
根据题意,得$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$,$\therefore b^2 + c^2 = a^2$,$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(3)$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore a = b = c$,
$\therefore$ 方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$可化为$x^2 + x = 0$,
解得$x_1 = 0$,$x_2 = -1$.
把$x = -1$代入方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$,得$a + c - 2b + a - c = 0$,则$a = b$,故$△ ABC$为等腰三角形.
(2)直角
根据题意,得$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$,$\therefore b^2 + c^2 = a^2$,$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(3)$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore a = b = c$,
$\therefore$ 方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$可化为$x^2 + x = 0$,
解得$x_1 = 0$,$x_2 = -1$.
解析
【分析】
(1) 已知$x=-1$是方程的根，按照一元二次方程根的定义，将$x=-1$代入方程化简，得到边长的关系即可判断三角形形状；
(2) 方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，令$\Delta=0$，代入系数化简得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 等边三角形三边相等，即$a=b=c$，将该关系代入原方程，化简为普通一元二次方程后求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，得：
$a + c - 2b + a - c = 0$
整理得$2a=2b$，即$a=b$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$
展开化简得：$4b^2-4a^2+4c^2=0$，两边同时除以4得$b^2 + c^2 = a^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$为直角三角形。
(3) $\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore a = b = c$，
代入原方程得$2ax^2+2ax=0$，$\because a$是三角形边长，$a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2 + x = 0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) 等腰；(2) 直角；(3) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，特殊三角形判定
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合考查，属于基础综合题，解题核心是找准方程参数和三角形边长的关联，灵活运用对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
(1) 已知$x=-1$是方程的根，按照一元二次方程根的定义，将$x=-1$代入方程化简，得到边长的关系即可判断三角形形状；
(2) 方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，令$\Delta=0$，代入系数化简得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 等边三角形三边相等，即$a=b=c$，将该关系代入原方程，化简为普通一元二次方程后求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，得：
$a + c - 2b + a - c = 0$
整理得$2a=2b$，即$a=b$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$
展开化简得：$4b^2-4a^2+4c^2=0$，两边同时除以4得$b^2 + c^2 = a^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$为直角三角形。
(3) $\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore a = b = c$，
代入原方程得$2ax^2+2ax=0$，$\because a$是三角形边长，$a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2 + x = 0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) 等腰；(2) 直角；(3) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，特殊三角形判定
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合考查，属于基础综合题，解题核心是找准方程参数和三角形边长的关联，灵活运用对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
5. [2026揭阳期末] 已知$□ ABCD$的两边AB, AD的长是关于x的一元二次方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)若$(AB - 3)(AD - 3) = m^2$,求m的值.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)若$(AB - 3)(AD - 3) = m^2$,求m的值.
答案
(1)$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,
$\therefore$ 当$AB = AD$时,$□ ABCD$为菱形.
$\because AB,AD$的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 1)]^2 - 4×1× m = 0$,
整理得$m^2 - 2m + 1 = 0$,解得$m_1 = m_2 = 1$,
$\therefore$ 当$m = 1$时,四边形$ABCD$为菱形.
(2)$\because AB,AD$的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根,
$\therefore AB + AD = -\frac{-(m + 1)}{1} = m + 1$,$AB· AD = \frac{m}{1} = m$.
$\because (AB - 3)(AD - 3) = m^2$,$\therefore AB· AD - 3(AB + AD) + 9 = m^2$,
$\therefore m - 3(m + 1) + 9 = m^2$,整理得$m^2 + 2m - 6 = 0$,
解得$m_1 = -1 + \sqrt{7}$,$m_2 = -1 - \sqrt{7}$(舍去)($\because AB + AD = m + 1 ＞ 0$,$\therefore m ＞ -1$).
$\therefore$ 当$AB = AD$时,$□ ABCD$为菱形.
$\because AB,AD$的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 1)]^2 - 4×1× m = 0$,
整理得$m^2 - 2m + 1 = 0$,解得$m_1 = m_2 = 1$,
$\therefore$ 当$m = 1$时,四边形$ABCD$为菱形.
(2)$\because AB,AD$的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根,
$\therefore AB + AD = -\frac{-(m + 1)}{1} = m + 1$,$AB· AD = \frac{m}{1} = m$.
$\because (AB - 3)(AD - 3) = m^2$,$\therefore AB· AD - 3(AB + AD) + 9 = m^2$,
$\therefore m - 3(m + 1) + 9 = m^2$,整理得$m^2 + 2m - 6 = 0$,
解得$m_1 = -1 + \sqrt{7}$,$m_2 = -1 - \sqrt{7}$(舍去)($\because AB + AD = m + 1 ＞ 0$,$\therefore m ＞ -1$).
解析
【分析】
(1)若平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的判定，需满足邻边相等即AB=AD，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，因此令根的判别式Δ=0即可求解m的值。
(2)先根据一元二次方程根与系数的关系，得到AB+AD与AB·AD的表达式，再将给定的(AB-3)(AD-3)=m²展开，把AB+AD和AB·AD整体代入得到关于m的方程，解方程后结合AB、AD为正数（故两根之和大于0）的隐含条件舍去不符合题意的解，即可得到m的取值。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 当AB = AD时，ABCD为菱形。
∵ AB,AD的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 1)]^2 - 4×1× m = 0$，
整理得$m^2 - 2m + 1 = 0$，解得$m_1 = m_2 = 1$，
∴ 当$m = 1$时，四边形ABCD为菱形。
(2)
∵ AB,AD的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系得：$AB + AD = m + 1$，$AB· AD = m$。
∵ $(AB - 3)(AD - 3) = m^2$，
∴ 展开得$AB· AD - 3(AB + AD) + 9 = m^2$，
将$AB + AD = m + 1$，$AB· AD = m$代入得：$m - 3(m + 1) + 9 = m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 6 = 0$，
解得$m_1 = -1 + \sqrt{7}$，$m_2 = -1 - \sqrt{7}$，
∵ AB、AD为边长，故$AB + AD = m + 1 ＞ 0$，即$m ＞ -1$，
∴ $m_2 = -1 - \sqrt{7}$不符合题意，舍去。
【答案】
(1)$m=1$；(2)$m=-1+\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的判定；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既考查了菱形的判定性质，也考查了一元二次方程根的相关应用，解题时需注意结合边长为正的实际意义对所求的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1)若平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的判定，需满足邻边相等即AB=AD，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，因此令根的判别式Δ=0即可求解m的值。
(2)先根据一元二次方程根与系数的关系，得到AB+AD与AB·AD的表达式，再将给定的(AB-3)(AD-3)=m²展开，把AB+AD和AB·AD整体代入得到关于m的方程，解方程后结合AB、AD为正数（故两根之和大于0）的隐含条件舍去不符合题意的解，即可得到m的取值。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 当AB = AD时，ABCD为菱形。
∵ AB,AD的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 1)]^2 - 4×1× m = 0$，
整理得$m^2 - 2m + 1 = 0$，解得$m_1 = m_2 = 1$，
∴ 当$m = 1$时，四边形ABCD为菱形。
(2)
∵ AB,AD的长是方程$x^2 - (m + 1)x + m = 0$的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系得：$AB + AD = m + 1$，$AB· AD = m$。
∵ $(AB - 3)(AD - 3) = m^2$，
∴ 展开得$AB· AD - 3(AB + AD) + 9 = m^2$，
将$AB + AD = m + 1$，$AB· AD = m$代入得：$m - 3(m + 1) + 9 = m^2$，
整理得$m^2 + 2m - 6 = 0$，
解得$m_1 = -1 + \sqrt{7}$，$m_2 = -1 - \sqrt{7}$，
∵ AB、AD为边长，故$AB + AD = m + 1 ＞ 0$，即$m ＞ -1$，
∴ $m_2 = -1 - \sqrt{7}$不符合题意，舍去。
【答案】
(1)$m=1$；(2)$m=-1+\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的判定；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既考查了菱形的判定性质，也考查了一元二次方程根的相关应用，解题时需注意结合边长为正的实际意义对所求的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
6. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$的两个实数根.
(1)求证:该方程总有两个实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为$7,x_1,x_2$是该等腰三角形另外两边的长,求$k$的值.
(1)求证:该方程总有两个实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为$7,x_1,x_2$是该等腰三角形另外两边的长,求$k$的值.
答案
(1)证明:已知$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$,
则$\Delta = [-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4) = k^2≥0$,
$\therefore$ 该方程总有两个实数根.
(2)解:①当等腰三角形$ABC$的腰长为7时,
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$的一个根是7.
将$x = 7$代入$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$,
得$49 - 7(k + 4) + 2k + 4 = 0$,解得$k = 5$.
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$变为$x^2 - 9x + 14 = 0$,
解得$x_1 = 2$,$x_2 = 7$,
此时三边长分别为2,7,7,能构成三角形.
②当等腰三角形$ABC$的底边长为7时,
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$有两个相等的实数根,
则$\Delta = k^2 = 0$,解得$k = 0$.
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$变为$x^2 - 4x + 4 = 0$,
解得$x_1 = x_2 = 2$,
此时三边长分别为2,2,7,不能构成三角形.
综上,$k$的值为5.
则$\Delta = [-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4) = k^2≥0$,
$\therefore$ 该方程总有两个实数根.
(2)解:①当等腰三角形$ABC$的腰长为7时,
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$的一个根是7.
将$x = 7$代入$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$,
得$49 - 7(k + 4) + 2k + 4 = 0$,解得$k = 5$.
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$变为$x^2 - 9x + 14 = 0$,
解得$x_1 = 2$,$x_2 = 7$,
此时三边长分别为2,7,7,能构成三角形.
②当等腰三角形$ABC$的底边长为7时,
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$有两个相等的实数根,
则$\Delta = k^2 = 0$,解得$k = 0$.
方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$变为$x^2 - 4x + 4 = 0$,
解得$x_1 = x_2 = 2$,
此时三边长分别为2,2,7,不能构成三角形.
综上,$k$的值为5.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式$\Delta ≥ 0$即可。我们先根据方程的系数写出$\Delta$的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2)等腰三角形已知一边长为7，另外两边是方程的两根，需分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出$k$值后解出两根，再检验三边是否满足三角形三边关系；②若7为底边长，则方程的两根相等（即两腰长度相等），此时$\Delta=0$，求出$k$值后解出两根，同样检验三边是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最终得到正确的$k$值。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(k + 4)]^2 - 4×1×(2k + 4) = k^2 + 8k + 16 - 8k - 16 = k^2$，
∵无论$k$取何值，$k^2 ≥ 0$恒成立，
∴该方程总有两个实数根。
(2)解：分两种情况讨论：
①当等腰三角形$ABC$的腰长为7时，可知$x=7$是方程的一个根，
将$x=7$代入方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$，
得$49 - 7(k + 4) + 2k + 4 = 0$，
化简得$-5k + 25 = 0$，解得$k=5$。
将$k=5$代入原方程得$x^2 - 9x + 14 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-7)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=7$，
此时三角形三边长为2、7、7，满足$2+7＞7$，可以构成三角形。
②当等腰三角形$ABC$的底边长为7时，可知方程的两根为两腰长度，即两根相等，
∴$\Delta = k^2 = 0$，解得$k=0$。
将$k=0$代入原方程得$x^2 - 4x + 4 = 0$，
因式分解得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$，
此时三角形三边长为2、2、7，
∵$2+2=4＜7$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况。
综上，$k$的值为5。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boldsymbol{k=5}$
【知识点】
根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了一元二次方程与等腰三角形的相关知识，解题时要注意运用分类讨论思想，不要漏解，同时求出边长后务必验证是否满足三角形三边关系，避免得到错误答案。
【难度系数】
0.6
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式$\Delta ≥ 0$即可。我们先根据方程的系数写出$\Delta$的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2)等腰三角形已知一边长为7，另外两边是方程的两根，需分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出$k$值后解出两根，再检验三边是否满足三角形三边关系；②若7为底边长，则方程的两根相等（即两腰长度相等），此时$\Delta=0$，求出$k$值后解出两根，同样检验三边是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最终得到正确的$k$值。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(k + 4)]^2 - 4×1×(2k + 4) = k^2 + 8k + 16 - 8k - 16 = k^2$，
∵无论$k$取何值，$k^2 ≥ 0$恒成立，
∴该方程总有两个实数根。
(2)解：分两种情况讨论：
①当等腰三角形$ABC$的腰长为7时，可知$x=7$是方程的一个根，
将$x=7$代入方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$，
得$49 - 7(k + 4) + 2k + 4 = 0$，
化简得$-5k + 25 = 0$，解得$k=5$。
将$k=5$代入原方程得$x^2 - 9x + 14 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-7)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=7$，
此时三角形三边长为2、7、7，满足$2+7＞7$，可以构成三角形。
②当等腰三角形$ABC$的底边长为7时，可知方程的两根为两腰长度，即两根相等，
∴$\Delta = k^2 = 0$，解得$k=0$。
将$k=0$代入原方程得$x^2 - 4x + 4 = 0$，
因式分解得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$，
此时三角形三边长为2、2、7，
∵$2+2=4＜7$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况。
综上，$k$的值为5。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boldsymbol{k=5}$
【知识点】
根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了一元二次方程与等腰三角形的相关知识，解题时要注意运用分类讨论思想，不要漏解，同时求出边长后务必验证是否满足三角形三边关系，避免得到错误答案。
【难度系数】
0.6
