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1. [2025湖北中考]一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是（
A.$x_1 + x_2 = -4$
B.$x_1 + x_2 = 3$
C.$x_1x_2 = 4$
D.$x_1x_2 = 3$
D
）A.$x_1 + x_2 = -4$
B.$x_1 + x_2 = 3$
C.$x_1x_2 = 4$
D.$x_1x_2 = 3$
答案
根据根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1}=4$,$x_1x_2 = \frac{3}{1}=3$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$；接着从题干方程中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；最后代入公式计算结果，和选项对比判断正误即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此A、B选项结论错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项结论错误，D选项结论正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查根与系数关系的直接运用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算两根之和时出错，牢记公式、准确识别各项系数即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$；接着从题干方程中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；最后代入公式计算结果，和选项对比判断正误即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此A、B选项结论错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项结论错误，D选项结论正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查根与系数关系的直接运用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算两根之和时出错，牢记公式、准确识别各项系数即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. ▶一题多解 关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 2x + m = 0$有两根，其中一根为$x=1$，则这两根之积为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$1$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$1$
D.$\frac{2}{3}$
答案
通解：设另一个实数根为$x_2$,根据题意得$1 + x_2 = \frac{2}{3}$,$\therefore x_2 = -\frac{1}{3}$,$\therefore$ 这两根之积为$-\frac{1}{3}$.
优解：根据题意得$3 - 2 + m = 0$,解得$m = -1$,$\therefore$ 这两根之积为$-\frac{1}{3}$.
优解：根据题意得$3 - 2 + m = 0$,解得$m = -1$,$\therefore$ 这两根之积为$-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的性质及根与系数的关系，有两种清晰的解题思路：思路一：先利用根与系数的关系中“两根之和等于$-\frac{b}{a}$”求出另一个根，再计算两根之积；思路二：先将已知根$x=1$代入原方程求出参数$m$的值，再利用根与系数的关系中“两根之积等于$\frac{c}{a}$”直接计算结果，两种方法均符合所学知识，可灵活选择。
【解析】
解法1：设方程的另一个根为$x_2$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
本题中$a=3$，$b=-2$，已知一根为1，因此$1 + x_2 = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$，
解得$x_2 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$，
则两根之积为$1 × (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$。
解法2：将$x=1$代入原方程$3x^2 - 2x + m = 0$，得：
$3×1^2 - 2×1 + m = 0$，
计算得$3 - 2 + m = 0$，解得$m = -1$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$c=m=-1$，因此两根之积为$\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$。
【答案】B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，两种解题思路都紧扣一元二次方程的核心性质，既可以通过根的定义求参数，也可以直接用韦达定理简化计算，主要考查学生对基础公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的性质及根与系数的关系，有两种清晰的解题思路：思路一：先利用根与系数的关系中“两根之和等于$-\frac{b}{a}$”求出另一个根，再计算两根之积；思路二：先将已知根$x=1$代入原方程求出参数$m$的值，再利用根与系数的关系中“两根之积等于$\frac{c}{a}$”直接计算结果，两种方法均符合所学知识，可灵活选择。
【解析】
解法1：设方程的另一个根为$x_2$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
本题中$a=3$，$b=-2$，已知一根为1，因此$1 + x_2 = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$，
解得$x_2 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$，
则两根之积为$1 × (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$。
解法2：将$x=1$代入原方程$3x^2 - 2x + m = 0$，得：
$3×1^2 - 2×1 + m = 0$，
计算得$3 - 2 + m = 0$，解得$m = -1$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$c=m=-1$，因此两根之积为$\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$。
【答案】B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，两种解题思路都紧扣一元二次方程的核心性质，既可以通过根的定义求参数，也可以直接用韦达定理简化计算，主要考查学生对基础公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
3. [2025洛阳洛龙区期中]若$α,β$是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根，则$α+β - αβ -3 =$ (
A.2 026
B.0
C.2 025
D.1
A
)A.2 026
B.0
C.2 025
D.1
答案
根据根与系数的关系,得$α + β = 4$,$αβ = -2025$,$\therefore α + β - αβ -3 =4 -(-2025)-3=2026$.
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程的两个实数根，要求的代数式是关于两根之和、两根之积的组合形式，因此不需要解方程求出α、β的具体值，优先用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据韦达定理公式分别算出α+β和αβ的值；第三步将数值代入所求代数式计算即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
已知α，β是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根，该方程中$a=1$，$b=-4$，$c=-2025$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = 4$，$αβ = \frac{c}{a} = -2025$
将上述结果代入$α + β - αβ -3$计算：
$α + β - αβ -3 = 4 - (-2025) - 3 = 4 + 2025 - 3 = 2026$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是基础考查题，核心是韦达定理的直接应用，不需要求解方程的根就能快速得到结果，解题关键是准确记忆韦达定理的公式，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程的两个实数根，要求的代数式是关于两根之和、两根之积的组合形式，因此不需要解方程求出α、β的具体值，优先用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据韦达定理公式分别算出α+β和αβ的值；第三步将数值代入所求代数式计算即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
已知α，β是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根，该方程中$a=1$，$b=-4$，$c=-2025$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = 4$，$αβ = \frac{c}{a} = -2025$
将上述结果代入$α + β - αβ -3$计算：
$α + β - αβ -3 = 4 - (-2025) - 3 = 4 + 2025 - 3 = 2026$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是基础考查题，核心是韦达定理的直接应用，不需要求解方程的根就能快速得到结果，解题关键是准确记忆韦达定理的公式，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
4. [2026天津红桥区月考]已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + m -1 =0$的两个根，若$x_1 · x_2 =3$，则$x_1 + x_2$的值为
-4
。答案
根据题意得,$x_1 + x_2 = -m$,$x_1x_2 = m -1 =3$,解得$m=4$,$\therefore x_1 + x_2 = -m = -4$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1$、$x_2$满足的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题目给出的已知条件$x_1·x_2=3$，代入两根之积的公式求出参数$m$的值；第三步，将求出的$m$代入两根之和的公式，即可算出$x_1+x_2$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + m -1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，
$x_1·x_2 = \frac{c}{a} = m - 1$。
已知$x_1·x_2=3$，因此有$m - 1 = 3$，解得$m=4$。
将$m=4$代入$x_1 + x_2 = -m$，得$x_1 + x_2 = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，是根与系数关系的直接应用，解题的关键是准确记忆一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，先通过已知的两根乘积求出参数，再计算两根和即可。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1$、$x_2$满足的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题目给出的已知条件$x_1·x_2=3$，代入两根之积的公式求出参数$m$的值；第三步，将求出的$m$代入两根之和的公式，即可算出$x_1+x_2$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + m -1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，
$x_1·x_2 = \frac{c}{a} = m - 1$。
已知$x_1·x_2=3$，因此有$m - 1 = 3$，解得$m=4$。
将$m=4$代入$x_1 + x_2 = -m$，得$x_1 + x_2 = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，是根与系数关系的直接应用，解题的关键是准确记忆一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，先通过已知的两根乘积求出参数，再计算两根和即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ 2x^2 - 5x + 1 = 0 $ 的两个实数根，求下列各式的值：
(1) $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $。
(1) $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $。
答案
解:根据根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = \frac{5}{2}$,$x_1x_2 = \frac{1}{2}$.
(1)$x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_1 + x_2) = \frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{21}{4}$.
(3)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$.
(1)$x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_1 + x_2) = \frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{21}{4}$.
(3)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时不需要求出方程两个根的具体值，首先根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再将三个待求的代数式通过因式分解、完全平方公式变形、通分等方式，转化为只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接解方程求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 5x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$
(1) 对$x_1x_2^2 + x_1^2x_2$提取公因式$x_1x_2$，可得：
$x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
代入$x_1+x_2=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$计算：
原式$=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{25}{4} - 1=\frac{21}{4}$
(3) 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$
【答案】
(1)$\frac{5}{4}$；(2)$\frac{21}{4}$；(3)$5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式恒等变形、完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，核心解题思路是将待求代数式转化为仅含两根之和与两根之积的形式，规避了直接求解方程根的繁琐运算，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时不需要求出方程两个根的具体值，首先根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再将三个待求的代数式通过因式分解、完全平方公式变形、通分等方式，转化为只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接解方程求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 5x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$
(1) 对$x_1x_2^2 + x_1^2x_2$提取公因式$x_1x_2$，可得：
$x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
代入$x_1+x_2=\frac{5}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$计算：
原式$=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{5}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{25}{4} - 1=\frac{21}{4}$
(3) 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$
【答案】
(1)$\frac{5}{4}$；(2)$\frac{21}{4}$；(3)$5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式恒等变形、完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，核心解题思路是将待求代数式转化为仅含两根之和与两根之积的形式，规避了直接求解方程根的繁琐运算，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6. [2025河北中考]若一元二次方程$x(x + 2) - 3 = 0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
将$x(x + 2) - 3 = 0$整理,得$x^2 + 2x - 3 = 0$,$\therefore m = -\frac{2}{1}=-2$,$n=\frac{-3}{1}=-3$,$\therefore$ 点$(-2,-3)$位于平面直角坐标系的第三象限.
解析
【分析】
要解决这道题，可按三个步骤逐步推导：第一步，先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定系数$a、b、c$的取值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系，分别计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x + 2) - 3 = 0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，由于第三象限内的点横、纵坐标均为负数，可知该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先将方程化为一般形式，再准确套用根与系数的关系计算，计算过程中要注意系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按三个步骤逐步推导：第一步，先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定系数$a、b、c$的取值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系，分别计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x + 2) - 3 = 0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，由于第三象限内的点横、纵坐标均为负数，可知该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先将方程化为一般形式，再准确套用根与系数的关系计算，计算过程中要注意系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
7. [2025南京模拟] 关于x的一元二次方程$x^2 -2kx -1 =0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根且两根异号
C.有两个不相等的实数根且两根同号
D.没有实数根
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根且两根异号
C.有两个不相等的实数根且两根同号
D.没有实数根
答案
已知$x^2 -2kx -1 =0$,$\therefore \Delta = (-2k)^2 -4×1×(-1)=4k^2 +4＞0$,$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.设该方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1x_2 = -1＜0$,$\therefore$ 该方程的两个根异号.
解析
【分析】
判断一元二次方程的根的情况可分两步思考：第一步，通过根的判别式$\Delta$判断方程实数根的个数，规则为$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第二步，若存在两个实数根，再通过根与系数的关系计算两根之积，乘积为正则两根同号，乘积为负则两根异号。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2kx -1 =0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=-1$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-2k)^2 -4×1×(-1) =4k^2 +4$
由于无论$k$取何值，$k^2≥0$，因此$4k^2 +4＞0$，即$\Delta＞0$，可得方程有两个不相等的实数根。
2. 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1＜0$，可得方程的两个实数根异号。
综上，该方程有两个不相等的实数根且两根异号，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础考查题，核心是掌握判别式判断根的个数的方法，以及利用根与系数的关系判断根的符号特征，解题逻辑清晰，是该知识点的常见考法。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程的根的情况可分两步思考：第一步，通过根的判别式$\Delta$判断方程实数根的个数，规则为$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第二步，若存在两个实数根，再通过根与系数的关系计算两根之积，乘积为正则两根同号，乘积为负则两根异号。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2kx -1 =0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=-1$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-2k)^2 -4×1×(-1) =4k^2 +4$
由于无论$k$取何值，$k^2≥0$，因此$4k^2 +4＞0$，即$\Delta＞0$，可得方程有两个不相等的实数根。
2. 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1＜0$，可得方程的两个实数根异号。
综上，该方程有两个不相等的实数根且两根异号，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础考查题，核心是掌握判别式判断根的个数的方法，以及利用根与系数的关系判断根的符号特征，解题逻辑清晰，是该知识点的常见考法。
【难度系数】
0.8
8. [2024成都中考]若m,n是一元二次方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的两个实数根，则$m + (n - 2)^2$的值为
7
。答案
$\because m,n$是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根,$\therefore m^2 -5m +2=0$,$m +n=5$,$\therefore m^2 -5m=-2$,$n=5 -m$,$\therefore m + (n - 2)^2 = m + (3 - m)^2 = m^2 -5m +9 = -2 +9=7$.
解析
【分析】
首先看到m、n是一元二次方程的两个实数根，可联想到两个核心考点：一是一元二次方程根的定义（根代入原式等式成立），二是根与系数的关系（韦达定理）。所求代数式含m、n两个变量，我们可以先通过韦达定理得到两根之和，将n用含m的式子表示后代入所求代数式化简，化简后可出现符合根的定义的式子，再整体代入求值即可，无需单独求解m、n的具体值，能大幅简化运算。
【解析】
∵ m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$m +n=5$，
根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入方程得：$m^2 -5m +2=0$，即$m^2 -5m=-2$，
由$m+n=5$可得$n=5 -m$，
将$n=5 -m$代入$m + (n - 2)^2$得：
$\begin{aligned}m + (n - 2)^2 &= m + (5 - m - 2)^2 \\&= m + (3 - m)^2 \\&= m + 9 - 6m + m^2 \\&= m^2 -5m +9\end{aligned}$
将$m^2 -5m=-2$整体代入得：原式$=-2 +9=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程性质的基础综合题，核心解题思路是运用整体代入思想，结合根的定义和韦达定理简化运算，避免了求解方程根的复杂计算，是这类代数式求值题型的常用解题方法。
【难度系数】
0.7
首先看到m、n是一元二次方程的两个实数根，可联想到两个核心考点：一是一元二次方程根的定义（根代入原式等式成立），二是根与系数的关系（韦达定理）。所求代数式含m、n两个变量，我们可以先通过韦达定理得到两根之和，将n用含m的式子表示后代入所求代数式化简，化简后可出现符合根的定义的式子，再整体代入求值即可，无需单独求解m、n的具体值，能大幅简化运算。
【解析】
∵ m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$m +n=5$，
根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入方程得：$m^2 -5m +2=0$，即$m^2 -5m=-2$，
由$m+n=5$可得$n=5 -m$，
将$n=5 -m$代入$m + (n - 2)^2$得：
$\begin{aligned}m + (n - 2)^2 &= m + (5 - m - 2)^2 \\&= m + (3 - m)^2 \\&= m + 9 - 6m + m^2 \\&= m^2 -5m +9\end{aligned}$
将$m^2 -5m=-2$整体代入得：原式$=-2 +9=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程性质的基础综合题，核心解题思路是运用整体代入思想，结合根的定义和韦达定理简化运算，避免了求解方程根的复杂计算，是这类代数式求值题型的常用解题方法。
【难度系数】
0.7
9. ▶教材复习题变式 已知方程$x^2 + mx -1 =0$的一个根是$\sqrt{2}$，求该方程的另一个根和$m$的值.
答案
解:设方程$x^2 + mx -1 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2 = -m$,$x_1x_2 = -1$.
设$x_1 =\sqrt{2}$,则$x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore \sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$,解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,
故该方程的另一个根为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$,$m$的值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根和未知系数m，可优先用一元二次方程根与系数的关系简化计算：首先对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先根据本题方程写出两根之和、两根之积的表达式，再利用已知根，先通过两根之积求出另一根，最后代入两根之和的关系式即可求出m的值；也可以先将已知根代入原方程求出m，再解方程得到另一根，前者计算更简便。
【解析】
设方程$x^2 + mx -1 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -1$。
设已知根$x_1 =\sqrt{2}$，代入两根之积的关系式得：
$\sqrt{2}· x_2 = -1$，解得$x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
再将$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$代入两根之和的关系式：
$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$，
化简左边得$\frac{\sqrt{2}}{2}=-m$，解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
该方程的另一个根为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m$的值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题方法灵活，既可直接代入已知根求解，也可利用韦达定理快速计算，使用韦达定理能有效降低计算量，解题时需注意二次根式化简的规范性，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根和未知系数m，可优先用一元二次方程根与系数的关系简化计算：首先对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先根据本题方程写出两根之和、两根之积的表达式，再利用已知根，先通过两根之积求出另一根，最后代入两根之和的关系式即可求出m的值；也可以先将已知根代入原方程求出m，再解方程得到另一根，前者计算更简便。
【解析】
设方程$x^2 + mx -1 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -1$。
设已知根$x_1 =\sqrt{2}$，代入两根之积的关系式得：
$\sqrt{2}· x_2 = -1$，解得$x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
再将$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$代入两根之和的关系式：
$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$，
化简左边得$\frac{\sqrt{2}}{2}=-m$，解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
该方程的另一个根为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m$的值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题方法灵活，既可直接代入已知根求解，也可利用韦达定理快速计算，使用韦达定理能有效降低计算量，解题时需注意二次根式化简的规范性，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
10. 若关于$x$的方程$x^2 - 2(m + 1)x + m + 4 = 0$的两个根的倒数和为1,则$m$的值.
答案
解:设$x^2 -2(m +1)x +m +4=0$的两个根分别为$α,β$,$\therefore α +β=2(m +1)$,$αβ = m +4$.
$\because$ 两根的倒数和为1,$\therefore \frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$,$\therefore \frac{α +β}{αβ}=1$,
$\therefore \frac{2(m +1)}{m +4}=1$,解得$m=2$,
经检验,$m=2$是分式方程的解.
当$m=2$时,方程为$x^2 -6x +6=0$,$\Delta=12＞0$(前提条件不可忽略),$\therefore m=2$符合题意.
$\because$ 两根的倒数和为1,$\therefore \frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$,$\therefore \frac{α +β}{αβ}=1$,
$\therefore \frac{2(m +1)}{m +4}=1$,解得$m=2$,
经检验,$m=2$是分式方程的解.
当$m=2$时,方程为$x^2 -6x +6=0$,$\Delta=12＞0$(前提条件不可忽略),$\therefore m=2$符合题意.
解析
【分析】
遇到涉及一元二次方程两根相关代数式求值的问题，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先设出方程的两根，写出两根之和与两根之积的表达式；第二步将题目给出的“倒数和为1”通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于m的方程；第三步求解方程后，必须先后检验分式方程分母是否不为0、原一元二次方程是否有实根（即判别式是否非负），确保m的取值符合所有前提条件。
【解析】
设方程$x^2 - 2(m + 1)x + m + 4 = 0$的两个根分别为$α,β$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α +β=2(m +1)$，$αβ = m +4$
由两根的倒数和为1，可得：
$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$
对左边通分变形得：$\frac{α +β}{αβ}=1$
将$α +β$、$αβ$的表达式代入得：
$\frac{2(m +1)}{m +4}=1$
去分母解得$m=2$
检验：① $m=2$时，分母$m+4=6≠0$，是分式方程的解；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2 -6x +6=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式方程的检验，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和、两根之积的形式，易错点是求出m的值后忽略检验原方程是否有实根、分式分母是否不为0，解题时要注意养成检验的习惯。
【难度系数】
0.6
遇到涉及一元二次方程两根相关代数式求值的问题，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先设出方程的两根，写出两根之和与两根之积的表达式；第二步将题目给出的“倒数和为1”通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于m的方程；第三步求解方程后，必须先后检验分式方程分母是否不为0、原一元二次方程是否有实根（即判别式是否非负），确保m的取值符合所有前提条件。
【解析】
设方程$x^2 - 2(m + 1)x + m + 4 = 0$的两个根分别为$α,β$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α +β=2(m +1)$，$αβ = m +4$
由两根的倒数和为1，可得：
$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$
对左边通分变形得：$\frac{α +β}{αβ}=1$
将$α +β$、$αβ$的表达式代入得：
$\frac{2(m +1)}{m +4}=1$
去分母解得$m=2$
检验：① $m=2$时，分母$m+4=6≠0$，是分式方程的解；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2 -6x +6=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式方程的检验，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和、两根之积的形式，易错点是求出m的值后忽略检验原方程是否有实根、分式分母是否不为0，解题时要注意养成检验的习惯。
【难度系数】
0.6
