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11. [2024潍坊中考]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m,n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
∵m - 2n = 3,
∴Δ=(-m)² - 4(-n² + mn + 1) = m² + 4n² - 4mn - 4 = (m - 2n)² - 4 = 3² - 4 = 5 ＞ 0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】要判断一元二次方程的根的情况，核心是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。首先先确定方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式写出$\Delta$的表达式，再结合已知条件$m-2n=3$，将$\Delta$通过完全平方公式变形为含$(m-2n)$的形式，代入数值计算即可判断$\Delta$的符号，进而得到根的情况。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$，
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn + 1)\\&=m^2 + 4n^2 - 4mn - 4\\&=(m-2n)^2 - 4\end{aligned}$
已知$m-2n=3$，代入上式得：
$\Delta=3^2 - 4=5＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，完全平方公式，代数式化简
【点评】本题侧重考查基础公式的应用能力，解题关键是正确化简判别式，结合已知条件配方后代入计算判断符号，解题逻辑清晰。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$，
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn + 1)\\&=m^2 + 4n^2 - 4mn - 4\\&=(m-2n)^2 - 4\end{aligned}$
已知$m-2n=3$，代入上式得：
$\Delta=3^2 - 4=5＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，完全平方公式，代数式化简
【点评】本题侧重考查基础公式的应用能力，解题关键是正确化简判别式，结合已知条件配方后代入计算判断符号，解题逻辑清晰。
【难度系数】0.8
12. 教材复习题变式 若关于$x$的方程$(k^2 -1)x^2 + (k+1)x + \frac{1}{4}=0$无实数根，则$k$的取值范围是
k ＜ -1
.答案
①当k² - 1 = 0且k + 1 ≠ 0时,k = 1,方程(k² - 1)x² + (k + 1)x + 1/4 = 0可化为2x + 1/4 = 0,是一元一次方程,有实数根,不符合题意. ②当k² - 1 ≠ 0时,k ≠ ±1,方程(k² - 1)x² + (k + 1)x + 1/4 = 0是一元二次方程.
∵该方程无实数根,
∴Δ=(k + 1)² - 4(k² - 1)×1/4 ＜ 0,解得k ＜ -1.综上,当方程(k² - 1)x² + (k + 1)x + 1/4 = 0无实数根时,k ＜ -1.
∵该方程无实数根,
∴Δ=(k + 1)² - 4(k² - 1)×1/4 ＜ 0,解得k ＜ -1.综上,当方程(k² - 1)x² + (k + 1)x + 1/4 = 0无实数根时,k ＜ -1.
解析
【分析】
解决本题需先明确方程未指定是一元二次方程，因此要分情况讨论：①先考虑二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，判断是否有实根，排除不符合无实根要求的k值；②再考虑二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，无实根的条件是根的判别式Δ＜0，解不等式得到对应k的取值范围，最后综合两种情况的结论即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k^2 - 1 = 0$且$k + 1 ≠ 0$时，解得$k = 1$，此时方程可化为$2x + \frac{1}{4} = 0$，是一元一次方程，有实数根，不符合“无实数根”的题意，舍去。
② 当$k^2 - 1 ≠ 0$时，即$k ≠ \pm1$，此时方程是一元二次方程。
∵ 该方程无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＜ 0$，即$\Delta = (k + 1)^2 - 4(k^2 - 1) × \frac{1}{4} ＜ 0$，
化简得：$(k + 1)^2 - (k^2 - 1) ＜ 0$，
展开计算：$k^2 + 2k + 1 - k^2 + 1 ＜ 0$，即$2k + 2 ＜ 0$，
解得$k ＜ -1$，结合前提$k ≠ \pm1$，该范围成立。
综上，方程无实数根时$k$的取值范围是$k ＜ -1$。
【答案】
$k ＜ -1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；分类讨论思想；解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易直接默认方程为一元二次方程，忽略二次项系数为0的特殊情况，解题时要先根据二次项系数是否为0判断方程类型，分情况讨论后再整合最终结论。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确方程未指定是一元二次方程，因此要分情况讨论：①先考虑二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，判断是否有实根，排除不符合无实根要求的k值；②再考虑二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，无实根的条件是根的判别式Δ＜0，解不等式得到对应k的取值范围，最后综合两种情况的结论即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k^2 - 1 = 0$且$k + 1 ≠ 0$时，解得$k = 1$，此时方程可化为$2x + \frac{1}{4} = 0$，是一元一次方程，有实数根，不符合“无实数根”的题意，舍去。
② 当$k^2 - 1 ≠ 0$时，即$k ≠ \pm1$，此时方程是一元二次方程。
∵ 该方程无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＜ 0$，即$\Delta = (k + 1)^2 - 4(k^2 - 1) × \frac{1}{4} ＜ 0$，
化简得：$(k + 1)^2 - (k^2 - 1) ＜ 0$，
展开计算：$k^2 + 2k + 1 - k^2 + 1 ＜ 0$，即$2k + 2 ＜ 0$，
解得$k ＜ -1$，结合前提$k ≠ \pm1$，该范围成立。
综上，方程无实数根时$k$的取值范围是$k ＜ -1$。
【答案】
$k ＜ -1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；分类讨论思想；解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易直接默认方程为一元二次方程，忽略二次项系数为0的特殊情况，解题时要先根据二次项系数是否为0判断方程类型，分情况讨论后再整合最终结论。
【难度系数】
0.6
13. [2025盐城盐都区期中]定义:已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$,若根的判别式$\Delta$是一个两数和(差)的平方数(或式),则称该方程为“完美方程”.
(1)下列方程是“完美方程”的是________.
(填序号)
①$x^2 -4x -3 =0$;②$x^2 + mx + m -2 =0$;③$x^2 + (b +1)x + b =0$.
(2)求证:关于$x$的一元二次方程$x^2 -2(m -1)x + m^2 -2m =0$是“完美方程”.
(1)下列方程是“完美方程”的是________.
(填序号)
①$x^2 -4x -3 =0$;②$x^2 + mx + m -2 =0$;③$x^2 + (b +1)x + b =0$.
(2)求证:关于$x$的一元二次方程$x^2 -2(m -1)x + m^2 -2m =0$是“完美方程”.
答案
(1)解:③
①x² - 4x - 3 = 0,
∵Δ=(-4)² - 4×1×(-3) = 28,28不是两数和(差)的平方数,
∴①不是“完美方程”.②x² + mx + m - 2 = 0,
∵Δ=m² - 4(m - 2) = m² - 4m + 8 = (m - 2)² + 4,不是两数和(差)的平方式,
∴②不是“完美方程”.③x² + (b + 1)x + b = 0,
∵Δ=(b + 1)² - 4b = b² + 2b + 1 - 4b = b² - 2b + 1 = (b - 1)²,是两数和(差)的平方式,
∴③是“完美方程”.
(2)证明:x² - 2(m - 1)x + m² - 2m = 0,
∵Δ=[-2(m - 1)]² - 4(m² - 2m) = 4m² - 8m + 4 - 4m² + 8m = 4,4是完全平方数,
∴该方程是“完美方程”.
①x² - 4x - 3 = 0,
∵Δ=(-4)² - 4×1×(-3) = 28,28不是两数和(差)的平方数,
∴①不是“完美方程”.②x² + mx + m - 2 = 0,
∵Δ=m² - 4(m - 2) = m² - 4m + 8 = (m - 2)² + 4,不是两数和(差)的平方式,
∴②不是“完美方程”.③x² + (b + 1)x + b = 0,
∵Δ=(b + 1)² - 4b = b² + 2b + 1 - 4b = b² - 2b + 1 = (b - 1)²,是两数和(差)的平方式,
∴③是“完美方程”.
(2)证明:x² - 2(m - 1)x + m² - 2m = 0,
∵Δ=[-2(m - 1)]² - 4(m² - 2m) = 4m² - 8m + 4 - 4m² + 8m = 4,4是完全平方数,
∴该方程是“完美方程”.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先明确“完美方程”的判定标准：一元二次方程的根的判别式$\Delta$为两数和（差）的平方数（或平方式）。解题思路如下：1. 第(1)问分别计算三个方程的判别式$\Delta$，再判断$\Delta$是否能写成完全平方的形式，符合要求的即为完美方程；2. 第(2)问先计算给定方程的判别式$\Delta$，通过代数化简证明$\Delta$是完全平方数（或平方式）即可。
【解析】
(1) 逐个判断三个方程：
① 对于方程$x^2 -4x -3 =0$，
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-3)=16+12=28$，28不是两数和（差）的平方数，故①不是完美方程；
② 对于方程$x^2 + mx + m -2 =0$，
$\Delta=m^2 - 4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2 + 4$，无法写成两数和（差）的平方式，故②不是完美方程；
③ 对于方程$x^2 + (b +1)x + b =0$，
$\Delta=(b+1)^2 - 4×1× b = b^2+2b+1-4b = b^2-2b+1=(b-1)^2$，是两数差的平方式，故③是完美方程。
(2) 证明：对于方程$x^2 -2(m -1)x + m^2 -2m =0$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2-2m)\\&=4(m^2-2m+1) - 4m^2 +8m\\&=4m^2 -8m +4 -4m^2 +8m\\&=4\end{aligned}$
$4=2^2$，是两数和（差）的平方数，因此该方程是“完美方程”。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 该方程是“完美方程”，证明如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
【点评】
本题以新定义为载体，主要考查对新定义的理解应用能力，以及根的判别式计算、完全平方公式的变形能力，解题时紧扣定义逐步计算即可，是典型的基础型新定义考题。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题核心是先明确“完美方程”的判定标准：一元二次方程的根的判别式$\Delta$为两数和（差）的平方数（或平方式）。解题思路如下：1. 第(1)问分别计算三个方程的判别式$\Delta$，再判断$\Delta$是否能写成完全平方的形式，符合要求的即为完美方程；2. 第(2)问先计算给定方程的判别式$\Delta$，通过代数化简证明$\Delta$是完全平方数（或平方式）即可。
【解析】
(1) 逐个判断三个方程：
① 对于方程$x^2 -4x -3 =0$，
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-3)=16+12=28$，28不是两数和（差）的平方数，故①不是完美方程；
② 对于方程$x^2 + mx + m -2 =0$，
$\Delta=m^2 - 4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2 + 4$，无法写成两数和（差）的平方式，故②不是完美方程；
③ 对于方程$x^2 + (b +1)x + b =0$，
$\Delta=(b+1)^2 - 4×1× b = b^2+2b+1-4b = b^2-2b+1=(b-1)^2$，是两数差的平方式，故③是完美方程。
(2) 证明：对于方程$x^2 -2(m -1)x + m^2 -2m =0$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2-2m)\\&=4(m^2-2m+1) - 4m^2 +8m\\&=4m^2 -8m +4 -4m^2 +8m\\&=4\end{aligned}$
$4=2^2$，是两数和（差）的平方数，因此该方程是“完美方程”。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 该方程是“完美方程”，证明如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
【点评】
本题以新定义为载体，主要考查对新定义的理解应用能力，以及根的判别式计算、完全平方公式的变形能力，解题时紧扣定义逐步计算即可，是典型的基础型新定义考题。
【难度系数】
0.7
14. 已知关于$x$的方程$mx^2 + (3m + 1)x + 3 = 0$.
(1)求证:不论$m$为何实数,此方程总有实数根.
(2)若方程$mx^2 + (3m + 1)x + 3 = 0$有两个不同的整数根,且$m$为正整数,求$m$的值.
(1)求证:不论$m$为何实数,此方程总有实数根.
(2)若方程$mx^2 + (3m + 1)x + 3 = 0$有两个不同的整数根,且$m$为正整数,求$m$的值.
答案
(1)证明:已知关于x的方程mx² + (3m + 1)x + 3 = 0,
若m≠0,则Δ=(3m + 1)² - 4m·3 = 9m² - 6m + 1 = (3m - 1)².
∵(3m - 1)² ≥ 0,
∴Δ≥0,
∴此方程有两个实数根.
若m = 0,则方程变为x + 3 = 0,解得x = -3.
综上,不论m为何实数,此方程总有实数根.
(2)解:根据题意,得m≠0,且Δ=(3m - 1)² ＞ 0,
x = [-(3m + 1) ± (3m - 1)]/(2m),
∴x₁ = -3 ,x₂ = -1/m.
∵方程有两个不同的整数根,且m为正整数,
∴m = 1.
若m≠0,则Δ=(3m + 1)² - 4m·3 = 9m² - 6m + 1 = (3m - 1)².
∵(3m - 1)² ≥ 0,
∴Δ≥0,
∴此方程有两个实数根.
若m = 0,则方程变为x + 3 = 0,解得x = -3.
综上,不论m为何实数,此方程总有实数根.
(2)解:根据题意,得m≠0,且Δ=(3m - 1)² ＞ 0,
x = [-(3m + 1) ± (3m - 1)]/(2m),
∴x₁ = -3 ,x₂ = -1/m.
∵方程有两个不同的整数根,且m为正整数,
∴m = 1.
解析
【分析】
(1) 要证明不论m为何实数方程总有实数根，因方程最高次项系数含参数m，需先分类讨论方程类型：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ，判断Δ是否恒大于等于0即可完成证明。
(2) 方程有两个不同的整数根，说明方程为一元二次方程，因此m≠0且Δ＞0，先用求根公式求出方程的两个根，再结合根为不同整数、m为正整数的条件，即可确定m的取值。
【解析】
(1) 证明：已知关于x的方程$mx^2 + (3m + 1)x + 3 = 0$，
若$m≠0$，则方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta=(3m + 1)^2 - 4m·3 = 9m^2 - 6m + 1 = (3m - 1)^2$。
∵$(3m - 1)^2 ≥ 0$，
∴$\Delta≥0$，此时方程有两个实数根。
若$m = 0$，则方程变为一元一次方程$x + 3 = 0$，解得$x = -3$，有实数根。
综上，不论m为何实数，此方程总有实数根。
(2) 解：
∵方程有两个不同的整数根，
∴方程为一元二次方程，即$m≠0$，且$\Delta=(3m - 1)^2 ＞ 0$，
由求根公式得$x = \frac{-(3m + 1) ± (3m - 1)}{2m}$，
计算得$x_1 = -3$，$x_2 = -\frac{1}{m}$。
∵方程有两个不同的整数根，且$m$为正整数，
∴$-\frac{1}{m}$为整数且不等于-3，正整数m只能取1。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $m=1$
【知识点】
分类讨论思想；根的判别式；整数根求解
【点评】
本题是根的判别式章节的常考题型，易错点为第一问忽略m=0的情况，直接按一元二次方程求解，解题时需掌握含参方程的分类讨论方法，第二问结合整数根的限定条件求解，能有效考察对根的判别式、求根公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明不论m为何实数方程总有实数根，因方程最高次项系数含参数m，需先分类讨论方程类型：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ，判断Δ是否恒大于等于0即可完成证明。
(2) 方程有两个不同的整数根，说明方程为一元二次方程，因此m≠0且Δ＞0，先用求根公式求出方程的两个根，再结合根为不同整数、m为正整数的条件，即可确定m的取值。
【解析】
(1) 证明：已知关于x的方程$mx^2 + (3m + 1)x + 3 = 0$，
若$m≠0$，则方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta=(3m + 1)^2 - 4m·3 = 9m^2 - 6m + 1 = (3m - 1)^2$。
∵$(3m - 1)^2 ≥ 0$，
∴$\Delta≥0$，此时方程有两个实数根。
若$m = 0$，则方程变为一元一次方程$x + 3 = 0$，解得$x = -3$，有实数根。
综上，不论m为何实数，此方程总有实数根。
(2) 解：
∵方程有两个不同的整数根，
∴方程为一元二次方程，即$m≠0$，且$\Delta=(3m - 1)^2 ＞ 0$，
由求根公式得$x = \frac{-(3m + 1) ± (3m - 1)}{2m}$，
计算得$x_1 = -3$，$x_2 = -\frac{1}{m}$。
∵方程有两个不同的整数根，且$m$为正整数，
∴$-\frac{1}{m}$为整数且不等于-3，正整数m只能取1。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $m=1$
【知识点】
分类讨论思想；根的判别式；整数根求解
【点评】
本题是根的判别式章节的常考题型，易错点为第一问忽略m=0的情况，直接按一元二次方程求解，解题时需掌握含参方程的分类讨论方法，第二问结合整数根的限定条件求解，能有效考察对根的判别式、求根公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
15. [2026重庆复旦中学教育集团期中]若关于$x$的一元二次方程$(a-4)x^2 +4x -1=0$有实数根，且关于$y$的分式方程$\frac{3y -1}{y -3} - \frac{a -8}{3 - y}=1$有非负整数解，求满足条件的所有整数$a$的积。
答案
解:
∵方程(a - 4)x² + 4x - 1 = 0是关于x的一元二次方程,
∴a - 4 ≠ 0,
∴a ≠ 4.
又
∵该方程有实数根,
∴Δ=4² - 4×(a - 4)×(-1) = 16 + 4a - 16 = 4a ≥ 0,解得a ≥ 0.
综上,a ≥ 0且a ≠ 4.
对于分式方程(3y - 1)/(y - 3) - (a - 8)/(3 - y) = 1,
去分母,得(3y - 1) + (a - 8) = y - 3,解得y = (6 - a)/2.
∵分式方程有非负整数解,
∴y = (6 - a)/2 ≥ 0,且y = (6 - a)/2 ≠ 3,
∴a ≤ 6且a ≠ 0,
∴满足条件的整数a = 2或6,
∴满足条件的所有整数a的积为2×6 = 12.
∵方程(a - 4)x² + 4x - 1 = 0是关于x的一元二次方程,
∴a - 4 ≠ 0,
∴a ≠ 4.
又
∵该方程有实数根,
∴Δ=4² - 4×(a - 4)×(-1) = 16 + 4a - 16 = 4a ≥ 0,解得a ≥ 0.
综上,a ≥ 0且a ≠ 4.
对于分式方程(3y - 1)/(y - 3) - (a - 8)/(3 - y) = 1,
去分母,得(3y - 1) + (a - 8) = y - 3,解得y = (6 - a)/2.
∵分式方程有非负整数解,
∴y = (6 - a)/2 ≥ 0,且y = (6 - a)/2 ≠ 3,
∴a ≤ 6且a ≠ 0,
∴满足条件的整数a = 2或6,
∴满足条件的所有整数a的积为2×6 = 12.
解析
【分析】
本题需分两步确定参数a的取值范围，再筛选符合所有条件的整数a计算乘积。第一步先处理一元二次方程的限制：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，其次方程有实数根则根的判别式Δ≥0，据此求出a的第一组取值范围；第二步处理分式方程：先去分母求出方程的解，再根据解为非负整数、且分母不为0（避免增根），求出a的第二组取值范围；最后取两个范围的交集，从中找出整数a，计算所有符合条件的a的乘积即可。
【解析】
首先处理关于x的一元二次方程：
∵ 方程$(a-4)x^2 +4x -1=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$a-4≠0$，解得$a≠4$。
又
∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = 4^2 - 4×(a-4)×(-1) = 16 + 4(a-4) = 4a ≥ 0$，解得$a≥ 0$。
综上可得，$a≥ 0$且$a≠4$。
接下来处理关于y的分式方程：
原方程$\frac{3y -1}{y -3} - \frac{a -8}{3 - y}=1$可变形为$\frac{3y -1}{y -3} + \frac{a -8}{y -3}=1$，
去分母（两边同乘$y-3$，需满足$y≠3$）得：
$3y -1 + a -8 = y -3$，
移项合并同类项得：$2y = 6 - a$，
解得$y = \frac{6 - a}{2}$。
∵ 分式方程有非负整数解，
∴ ① 解为非负：$\frac{6 - a}{2} ≥ 0$，解得$a≤ 6$；
② 解不是增根：$\frac{6 - a}{2} ≠ 3$，解得$a≠0$；
③ 解为整数：$6 - a$是2的倍数，即a为偶数。
结合之前得到的$a≥ 0$且$a≠4$，可得满足所有条件的整数a为2、6，
则所有整数a的积为$2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.分式方程的解
3.不等式组的整数解
【点评】
本题是方程综合类题型，解题时要注意两处易错点：一是一元二次方程需满足二次项系数不为0，二是分式方程要排除增根的情况，需结合多个限制条件取交集筛选参数，考查学生的综合分析能力和计算的细心程度。
【难度系数】
0.6
本题需分两步确定参数a的取值范围，再筛选符合所有条件的整数a计算乘积。第一步先处理一元二次方程的限制：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，其次方程有实数根则根的判别式Δ≥0，据此求出a的第一组取值范围；第二步处理分式方程：先去分母求出方程的解，再根据解为非负整数、且分母不为0（避免增根），求出a的第二组取值范围；最后取两个范围的交集，从中找出整数a，计算所有符合条件的a的乘积即可。
【解析】
首先处理关于x的一元二次方程：
∵ 方程$(a-4)x^2 +4x -1=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$a-4≠0$，解得$a≠4$。
又
∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = 4^2 - 4×(a-4)×(-1) = 16 + 4(a-4) = 4a ≥ 0$，解得$a≥ 0$。
综上可得，$a≥ 0$且$a≠4$。
接下来处理关于y的分式方程：
原方程$\frac{3y -1}{y -3} - \frac{a -8}{3 - y}=1$可变形为$\frac{3y -1}{y -3} + \frac{a -8}{y -3}=1$，
去分母（两边同乘$y-3$，需满足$y≠3$）得：
$3y -1 + a -8 = y -3$，
移项合并同类项得：$2y = 6 - a$，
解得$y = \frac{6 - a}{2}$。
∵ 分式方程有非负整数解，
∴ ① 解为非负：$\frac{6 - a}{2} ≥ 0$，解得$a≤ 6$；
② 解不是增根：$\frac{6 - a}{2} ≠ 3$，解得$a≠0$；
③ 解为整数：$6 - a$是2的倍数，即a为偶数。
结合之前得到的$a≥ 0$且$a≠4$，可得满足所有条件的整数a为2、6，
则所有整数a的积为$2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.分式方程的解
3.不等式组的整数解
【点评】
本题是方程综合类题型，解题时要注意两处易错点：一是一元二次方程需满足二次项系数不为0，二是分式方程要排除增根的情况，需结合多个限制条件取交集筛选参数，考查学生的综合分析能力和计算的细心程度。
【难度系数】
0.6
16. 运算能力 [2024 宿迁中考] 规定:对于任意实数$a,b,c$,有$【a,b】★c = ac + b$,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如$【2,3】★1 = 2×1 + 3 =5$.若关于$x$的方程$【x,x +1】★(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为 (
A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
C.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
D.$m ＜ \dfrac{1}{4}$且$m≠0$
D
)A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
C.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
D.$m ＜ \dfrac{1}{4}$且$m≠0$
答案
根据题意,得x·mx + x + 1 = 0,整理,得mx² + x + 1 = 0.
∵关于x的方程【x,x + 1】★(mx) = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ=1² - 4m×1 ＞ 0,且m≠0,解得m ＜ 1/4且m≠0.
∵关于x的方程【x,x + 1】★(mx) = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ=1² - 4m×1 ＞ 0,且m≠0,解得m ＜ 1/4且m≠0.
解析
【分析】
解题首先要理解新定义的运算规则：【a,b】★c = ac + b，第一步先对应找到本题中a=x、b=x+1、c=mx，代入规则将新运算方程转化为常规整式方程；接下来根据“方程有两个不相等的实数根”，可判断该方程为一元二次方程，因此需要满足两个核心条件：①二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程，一次方程不存在两个根）；②根的判别式Δ＞0（保证有两个不相等的实数根），最后解两个不等式取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算规则，将【x,x+1】★(mx)=0展开：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数$m≠0$；
再根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，此处$a=m$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$1^2 - 4× m× 1 ＞ 0$
解不等式：$1 - 4m ＞ 0$，得$m ＜ \frac{1}{4}$
综合两个条件，得$m$的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，重点考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.6
解题首先要理解新定义的运算规则：【a,b】★c = ac + b，第一步先对应找到本题中a=x、b=x+1、c=mx，代入规则将新运算方程转化为常规整式方程；接下来根据“方程有两个不相等的实数根”，可判断该方程为一元二次方程，因此需要满足两个核心条件：①二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程，一次方程不存在两个根）；②根的判别式Δ＞0（保证有两个不相等的实数根），最后解两个不等式取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算规则，将【x,x+1】★(mx)=0展开：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数$m≠0$；
再根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，此处$a=m$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$1^2 - 4× m× 1 ＞ 0$
解不等式：$1 - 4m ＞ 0$，得$m ＜ \frac{1}{4}$
综合两个条件，得$m$的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，重点考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.6
