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5. 对于如图所示的5个平面图形，小明同学回答说：“① 是圆柱的展开图；② 是圆锥的展开图；③ 是三棱柱的展开图；④ 是正方体的展开图；⑤ 是球的展开图.”请你帮他检查一下他答对的题有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
5. A
解析
【分析】
解题时需先回忆圆柱、圆锥、三棱柱、正方体、球这几类常见立体图形的平面展开图特征，按照顺序对5个说法逐一判断，统计正确的数量后匹配选项即可。判断时要注意易错点：圆柱两个底面的位置、圆锥底面需和扇形弧边相接、球不存在平面展开图、正方体展开图需排除“田字格”“凹字型”等无效结构。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正误：
1. ①：圆柱的展开图由侧面长方形和上下两个大小相等的圆形底面组成，两个底面应分别位于长方形一组对边的外侧，图中两个圆都在长方形的同侧，无法围成圆柱，故①说法错误。
2. ②：圆锥的展开图由侧面扇形和1个圆形底面组成，底面圆应与扇形的弧边相接，图中圆与扇形的半径边相接，无法围成圆锥，故②说法错误。
3. ③：三棱柱的展开图由侧面3个长方形（正方形是特殊的长方形）和2个全等的三角形底面组成，两个三角形分别位于侧面长方形组的两侧，该图形符合三棱柱展开图特征，故③说法正确。
4. ④：该图形属于正方体展开图的“一四一”型，共6个正方形，无“田字格”“凹字型”等无效结构，可围成正方体，故④说法正确。
5. ⑤：球是曲面几何体，不存在平面展开图，故⑤说法错误。
综上，正确的说法共有2个。
【答案】
A
【知识点】
立体图形展开图、常见几何体展开图识别、正方体展开图判断
【点评】
本题重点考查对各类常见立体图形展开图的掌握，学习时可以结合实物折叠的操作理解各类展开图的特征，避免混淆相似图形的展开图特点。
【难度系数】
0.7
解题时需先回忆圆柱、圆锥、三棱柱、正方体、球这几类常见立体图形的平面展开图特征，按照顺序对5个说法逐一判断，统计正确的数量后匹配选项即可。判断时要注意易错点：圆柱两个底面的位置、圆锥底面需和扇形弧边相接、球不存在平面展开图、正方体展开图需排除“田字格”“凹字型”等无效结构。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正误：
1. ①：圆柱的展开图由侧面长方形和上下两个大小相等的圆形底面组成，两个底面应分别位于长方形一组对边的外侧，图中两个圆都在长方形的同侧，无法围成圆柱，故①说法错误。
2. ②：圆锥的展开图由侧面扇形和1个圆形底面组成，底面圆应与扇形的弧边相接，图中圆与扇形的半径边相接，无法围成圆锥，故②说法错误。
3. ③：三棱柱的展开图由侧面3个长方形（正方形是特殊的长方形）和2个全等的三角形底面组成，两个三角形分别位于侧面长方形组的两侧，该图形符合三棱柱展开图特征，故③说法正确。
4. ④：该图形属于正方体展开图的“一四一”型，共6个正方形，无“田字格”“凹字型”等无效结构，可围成正方体，故④说法正确。
5. ⑤：球是曲面几何体，不存在平面展开图，故⑤说法错误。
综上，正确的说法共有2个。
【答案】
A
【知识点】
立体图形展开图、常见几何体展开图识别、正方体展开图判断
【点评】
本题重点考查对各类常见立体图形展开图的掌握，学习时可以结合实物折叠的操作理解各类展开图的特征，避免混淆相似图形的展开图特点。
【难度系数】
0.7
6. 如图是一个立体图形的表面展开图，则该立体图形的名称为
四棱锥
。答案
6. 四棱锥
解析
【分析】
解题时首先观察展开图的面的形状和数量：该展开图包含1个四边形、4个三角形。接下来回忆棱锥展开图的特点：棱锥的所有侧面都是三角形，底面是多边形，底面是几边形就对应几棱锥，侧面三角形的数量和底面多边形的边数相等，由此结合面的特征即可判断对应的立体图形。
【解析】
首先观察该表面展开图的构成：共有5个面，其中1个面是四边形，剩余4个面都是三角形。
根据棱锥的展开图规律：n棱锥的表面展开图由1个n边形（底面）和n个三角形（侧面）组成，此处侧面三角形数量为4，底面为四边形，因此对应立体图形是四棱锥。
【答案】
四棱锥
【知识点】
立体图形展开图识别、棱锥的结构特征
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题核心是熟记不同立体图形展开图的面的构成特点，只需结合棱锥的结构特征匹配即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察展开图的面的形状和数量：该展开图包含1个四边形、4个三角形。接下来回忆棱锥展开图的特点：棱锥的所有侧面都是三角形，底面是多边形，底面是几边形就对应几棱锥，侧面三角形的数量和底面多边形的边数相等，由此结合面的特征即可判断对应的立体图形。
【解析】
首先观察该表面展开图的构成：共有5个面，其中1个面是四边形，剩余4个面都是三角形。
根据棱锥的展开图规律：n棱锥的表面展开图由1个n边形（底面）和n个三角形（侧面）组成，此处侧面三角形数量为4，底面为四边形，因此对应立体图形是四棱锥。
【答案】
四棱锥
【知识点】
立体图形展开图识别、棱锥的结构特征
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题核心是熟记不同立体图形展开图的面的构成特点，只需结合棱锥的结构特征匹配即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等，将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动$90°$算一次. 滚动2024次后，正方体贴在桌面一面的数字是
12
.答案
7. 12
解析
【分析】
首先确定正方体六个面的连续整数：已知可见数字有7、8、9、10、12，若六个数包含6，则7和10为对面，与图中二者相邻的特征矛盾，因此六个数为7、8、9、10、11、12。再根据相对面和相等的规则，得到每组对面的数字关系。接着观察滚动规律，发现每滚动4次为一个完整循环，最后通过计算2024除以4的余数，对应循环位置得到贴桌面的数字。
【解析】
1. 确定六个连续整数及对面关系：
已知正方体六个面是连续整数，可见数字为7、8、9、10、12，排除包含6的可能（若含6，7和10为对面，与图中相邻矛盾），因此六个数为7、8、9、10、11、12。
由相对面和相等可得：7的对面是12，8的对面是11，9的对面是10，每组对面和为19。
2. 找滚动周期：
观察滚动过程可知，每滚动4次正方体回到初始状态，贴桌面的数字以4次为一个周期循环，依次为：初始（0次）贴桌面12，第1次贴桌面10，第2次贴桌面7，第3次贴桌面11，第4次回到12。
3. 计算2024次对应的结果：
$2024÷4=506$，余数为0，说明滚动2024次后与初始状态贴桌面的数字相同。
【答案】
12
【知识点】
正方体面的特征，周期规律，整数除法
【点评】
本题需要结合正方体相邻面不相对的特征确定数字，再归纳滚动的周期规律求解，既考验空间想象能力，也考察规律归纳和除法应用能力。
【难度系数】
0.6
首先确定正方体六个面的连续整数：已知可见数字有7、8、9、10、12，若六个数包含6，则7和10为对面，与图中二者相邻的特征矛盾，因此六个数为7、8、9、10、11、12。再根据相对面和相等的规则，得到每组对面的数字关系。接着观察滚动规律，发现每滚动4次为一个完整循环，最后通过计算2024除以4的余数，对应循环位置得到贴桌面的数字。
【解析】
1. 确定六个连续整数及对面关系：
已知正方体六个面是连续整数，可见数字为7、8、9、10、12，排除包含6的可能（若含6，7和10为对面，与图中相邻矛盾），因此六个数为7、8、9、10、11、12。
由相对面和相等可得：7的对面是12，8的对面是11，9的对面是10，每组对面和为19。
2. 找滚动周期：
观察滚动过程可知，每滚动4次正方体回到初始状态，贴桌面的数字以4次为一个周期循环，依次为：初始（0次）贴桌面12，第1次贴桌面10，第2次贴桌面7，第3次贴桌面11，第4次回到12。
3. 计算2024次对应的结果：
$2024÷4=506$，余数为0，说明滚动2024次后与初始状态贴桌面的数字相同。
【答案】
12
【知识点】
正方体面的特征，周期规律，整数除法
【点评】
本题需要结合正方体相邻面不相对的特征确定数字，再归纳滚动的周期规律求解，既考验空间想象能力，也考察规律归纳和除法应用能力。
【难度系数】
0.6
8. 图1所示的三棱柱，高为7 cm，底面是一个边长为5 cm的等边三角形.
（1）这个三棱柱有
（2）图2中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开
（1）这个三棱柱有
9
条棱，有5
个面；（2）图2中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开
5
条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为31
cm.答案
8. (1) 9 5 (2) 如图所示:(答案不唯一)
(3) 5 31解析
【分析】
（1）解决第一问可结合棱柱的基本特征推导：n棱柱的棱数为3n，面数为n+2，本题是三棱柱，n=3，代入即可得到结果。
（2）第二问补全展开图，首先明确三棱柱的表面展开图由2个全等的等边三角形（底面）和3个完全相同的长方形（侧面）组成，观察已有图形缺1个长方形和1个等边三角形，补充在对应位置即可，补充方式不唯一。
（3）第三问求剪开棱数：先明确三棱柱总棱数为9，立体图形展开为平面图形时，多个面连成一个整体需要的未剪开棱数为“总面数-1”，用总棱数减去未剪开棱数就能得到剪开的棱数；求剪开棱长和最大值时，由于侧棱7cm比底面边长5cm更长，优先剪开较长的侧棱，再搭配较短的底面棱，即可得到最大和。
【解析】
（1）三棱柱上下底面各有3条棱，侧面有3条棱，总棱数：3+3+3=9条；三棱柱有2个底面，3个侧面，总面数：2+3=5个。
（2）补全后的展开图如下（答案不唯一）：
（3）① 三棱柱总共有9条棱，将其展开为平面图形时，5个面连为一个整体需要有5-1=4条棱是未剪开的，因此需要剪开的棱数为：9-4=5条。
② 要让剪开的棱长的和最大，应尽可能多剪开长度更长的棱：侧棱长7cm＞底面边长5cm，最多可将3条侧棱全部剪开，剩余需要剪开的5-3=2条棱选择底面的边，因此最大和为：3×7 + 2×5 =21+10=31cm。
【答案】
(1) 9；5
(2)
(3) 5；31
【知识点】
棱柱的基本特征；立体图形的展开与折叠；最值计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质展开考查，既需要掌握棱柱的基础构成特点，也需要具备一定的空间想象能力分析展开图的结构，最后一问的最值计算需要结合棱长的大小灵活选择剪开的棱，能有效考查空间几何的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问可结合棱柱的基本特征推导：n棱柱的棱数为3n，面数为n+2，本题是三棱柱，n=3，代入即可得到结果。
（2）第二问补全展开图，首先明确三棱柱的表面展开图由2个全等的等边三角形（底面）和3个完全相同的长方形（侧面）组成，观察已有图形缺1个长方形和1个等边三角形，补充在对应位置即可，补充方式不唯一。
（3）第三问求剪开棱数：先明确三棱柱总棱数为9，立体图形展开为平面图形时，多个面连成一个整体需要的未剪开棱数为“总面数-1”，用总棱数减去未剪开棱数就能得到剪开的棱数；求剪开棱长和最大值时，由于侧棱7cm比底面边长5cm更长，优先剪开较长的侧棱，再搭配较短的底面棱，即可得到最大和。
【解析】
（1）三棱柱上下底面各有3条棱，侧面有3条棱，总棱数：3+3+3=9条；三棱柱有2个底面，3个侧面，总面数：2+3=5个。
（2）补全后的展开图如下（答案不唯一）：
（3）① 三棱柱总共有9条棱，将其展开为平面图形时，5个面连为一个整体需要有5-1=4条棱是未剪开的，因此需要剪开的棱数为：9-4=5条。
② 要让剪开的棱长的和最大，应尽可能多剪开长度更长的棱：侧棱长7cm＞底面边长5cm，最多可将3条侧棱全部剪开，剩余需要剪开的5-3=2条棱选择底面的边，因此最大和为：3×7 + 2×5 =21+10=31cm。
【答案】
(1) 9；5
(2)
(3) 5；31
【知识点】
棱柱的基本特征；立体图形的展开与折叠；最值计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质展开考查，既需要掌握棱柱的基础构成特点，也需要具备一定的空间想象能力分析展开图的结构，最后一问的最值计算需要结合棱长的大小灵活选择剪开的棱，能有效考查空间几何的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 图1中大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2中的几何体.
（1）如果设图1中大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为$S'$，那么$S'$与$S$的大小关系是 （
A. $S'＞S$ B. $S'=S$ C. $S'＜S$ D. 不确定
（2）小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为$c$，图2中几何体各棱的长度之和为$c'$，$c'$比$c$正好多出大正方体3条棱的长度.”设大正方体的棱长为1，截去的小正方体的棱长为$x$.$x$为何值时，小明的说法才正确？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图.这句话正确吗？若正确，请说明理由；若错误，请在图中用虚线修正.
（1）如果设图1中大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为$S'$，那么$S'$与$S$的大小关系是 （
B
）A. $S'＞S$ B. $S'=S$ C. $S'＜S$ D. 不确定
（2）小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为$c$，图2中几何体各棱的长度之和为$c'$，$c'$比$c$正好多出大正方体3条棱的长度.”设大正方体的棱长为1，截去的小正方体的棱长为$x$.$x$为何值时，小明的说法才正确？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图.这句话正确吗？若正确，请说明理由；若错误，请在图中用虚线修正.
答案
9. (1) B (2) 由题意,得$6x=3$,解得$x=\dfrac{1}{2}$,所以$x$为$\dfrac{1}{2}$时,小明的说法才正确. (3) 这句话错误.如图所示:
解析
【分析】
（1）判断表面积变化时，观察截去小正方体后减少的面和新增的面的面积：在大正方体上截去顶点处的小正方体，原大正方体减少3个小正方形面，同时新露出3个相同的小正方形面，因此总表面积不变。
（2）判断棱长和的变化时，先明确截去小正方体后新增的棱的数量：截去小正方体后，一共新增了6条长度为x的棱，总新增长度为6x；小明说新增长度等于大正方体3条棱的长度，大正方体棱长为1，3条棱总长为3，据此列方程求解即可。
（3）判断展开图是否正确时，结合挖去小正方体的几何体的面的位置，观察展开图中凹进去的面的位置是否与实际对应，不对应则需要修正。
【解析】
（1）截去小正方体时，原大正方体减少3个边长为x的正方形面，同时新增3个大小相同的正方形面，因此几何体的表面积和原大正方体表面积相等，即$S'=S$，故选B。
（2）解：已知大正方体棱长为1，大正方体3条棱的总长度为$3×1=3$。
截去小正方体后，几何体的总棱长比原大正方体总棱长多了6条长度为x的棱，总新增长度为$6x$。
根据小明的说法，新增长度等于大正方体3条棱的长度，可列方程：
$6x=3$
解得$x=\dfrac{1}{2}$。
（3）这句话错误，挖去小正方体后，原题给出的展开图中凹面的位置不符合实际分布，需按正确位置修正。
【答案】
(1) B
(2) $x=\dfrac{1}{2}$
(3) 这句话错误，修正如图：
【知识点】
正方体表面积计算、棱长和计算、立体图形展开图
【点评】
本题围绕正方体截去小正方体后的变化设置问题，需要结合空间想象分析面、棱的变化，考查了空间想象能力和基础的方程应用能力，解题时注意仔细观察几何体的特征，避免漏算棱和面的数量。
【难度系数】
0.6
（1）判断表面积变化时，观察截去小正方体后减少的面和新增的面的面积：在大正方体上截去顶点处的小正方体，原大正方体减少3个小正方形面，同时新露出3个相同的小正方形面，因此总表面积不变。
（2）判断棱长和的变化时，先明确截去小正方体后新增的棱的数量：截去小正方体后，一共新增了6条长度为x的棱，总新增长度为6x；小明说新增长度等于大正方体3条棱的长度，大正方体棱长为1，3条棱总长为3，据此列方程求解即可。
（3）判断展开图是否正确时，结合挖去小正方体的几何体的面的位置，观察展开图中凹进去的面的位置是否与实际对应，不对应则需要修正。
【解析】
（1）截去小正方体时，原大正方体减少3个边长为x的正方形面，同时新增3个大小相同的正方形面，因此几何体的表面积和原大正方体表面积相等，即$S'=S$，故选B。
（2）解：已知大正方体棱长为1，大正方体3条棱的总长度为$3×1=3$。
截去小正方体后，几何体的总棱长比原大正方体总棱长多了6条长度为x的棱，总新增长度为$6x$。
根据小明的说法，新增长度等于大正方体3条棱的长度，可列方程：
$6x=3$
解得$x=\dfrac{1}{2}$。
（3）这句话错误，挖去小正方体后，原题给出的展开图中凹面的位置不符合实际分布，需按正确位置修正。
【答案】
(1) B
(2) $x=\dfrac{1}{2}$
(3) 这句话错误，修正如图：
【知识点】
正方体表面积计算、棱长和计算、立体图形展开图
【点评】
本题围绕正方体截去小正方体后的变化设置问题，需要结合空间想象分析面、棱的变化，考查了空间想象能力和基础的方程应用能力，解题时注意仔细观察几何体的特征，避免漏算棱和面的数量。
【难度系数】
0.6
