3.某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元.该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调$a(0＜a＜200)$元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，求a为何值时，无论该公司如何进货这100台电脑销售利润不变.

(1) 解:根据题意,$y = 400x + 500(100-x) = -100x + 50000$;
(2)$\because 100-x≤ 2x$,$\therefore x≥ \frac{100}{3}$,$\because y = -100x + 50000$中$k=-100＜0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小,$\because x$为整数,$\therefore x=34$时,$y$取得最大值,最大值为46600,答:该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;
(3)据题意得,$y=(400+a)x + 500(100-x)$,即$y=(a-100)x + 50000$,当$a=100$时,无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变.

【分析】
(1) 求y关于x的函数表达式可依据“总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润”的等量关系推导：已知A型电脑x台，每台利润400元，B型电脑共(100-x)台，每台利润500元，代入等量关系化简即可得到表达式。
(2) 先根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列不等式求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性判断y取最大值时x的取值，代入计算即可得到最大利润和对应进货量。
(3) 先根据A型电脑出厂价下调a元的条件，重新写出总利润y的函数表达式，要使无论如何进货利润都不变，说明y的取值与x无关，即x的系数为0，据此列等式求解a即可。
【解析】
(1) 由题意得，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润为两种电脑利润之和：
$\begin{aligned}y &= 400x + 500(100-x)\\&=-100x + 50000\end{aligned}$
(2) 根据B型电脑进货量限制列不等式：
$100-x ≤ 2x$
解得$x ≥ \frac{100}{3}$
在函数$y=-100x+50000$中，$k=-100＜0$，因此y随x的增大而减小。
又因为x为正整数，所以x取最小整数34时，y取得最大值，此时$100-x=100-34=66$，代入函数得最大利润：
$y=-100×34 + 50000=46600$（元）
(3) A型出厂价下调a元后，A型每台利润变为$(400+a)$元，此时总利润：
$\begin{aligned}y&=(400+a)x + 500(100-x)\\&=(a-100)x + 50000\end{aligned}$
要使总利润和进货方案无关，即y的取值与x无关，因此x的系数为0：
$a-100=0$，解得$a=100$
【答案】
(1) $y=-100x+50000$
(2) 购进A型34台、B型66台时销售总利润最大，最大利润是46600元
(3) $a=100$
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数在销售利润问题中的典型应用，前两问结合不等式求自变量取值范围，再利用一次函数增减性求最值，属于常考基础题型；第三问重点考察对一次函数系数意义的理解，明确“利润与进货方案无关即函数值与自变量无关”是解题关键，整体注重考察学生分析实际数量关系、结合函数性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.7

4.今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件、320件.现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元.现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件.
(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围；
(2)若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费.

(1) 解:依题意,列表得
| | A(380) | B(320) |
| --- | --- | --- |
| 甲(400) | $x$ | $400-x$ |
| 乙(300) | $380-x$ | $x-80$ |
$\therefore W=40x+20× (380-x)+15× (400-x)+30× (x-80)=35x+11200$,又$\begin{cases} x≥ 0, \\ x-80≥ 0, \\ 400-x≥ 0, \\ 380-x≥ 0, \end{cases}$ 解得$80≤ x≤ 380$.
(2) 依题意,得$\begin{cases} 35x+11200≤ 18300, \\ x≥ 200, \end{cases}$ 解得$200≤ x≤ 202\frac{6}{7}$,$\therefore x=200,201$或202.$\because W=35x+11200$,$k=35＞0$,$\therefore W$随$x$的增大而增大,$\therefore x=200$时,运费$W$最低,最低运费为18200元. 此时运输方案如下:
| | A | B |
| --- | --- | --- |
| 甲 | 200 | 200 |
| 乙 | 180 | 120 |

【分析】
(1) 解题时先梳理各条运输路线的水果数量：已知A基地共380件，运给甲x件，则A运给乙(380-x)件；甲共需400件，所以B运给甲(400-x)件；乙共需300件，所以B运给乙的数量为300-(380-x)=x-80件。再将各路线的运费对应乘以运输量求和，即可得到总运费W的表达式；最后根据所有运输量均为非负数，列不等式组求解x的取值范围。
(2) 先根据“总运费不超过18300元、A地运往甲销售点的水果不低于200件”两个限制条件列不等式组，求出x的可行取值范围；再结合一次函数的增减性，判断W随x变化的规律，找到使W最小的x值，代入计算最低运费，再对应写出运输方案即可。
【解析】
(1) 梳理各运输路线的运量，列表如下：
| | A基地（共380件） | B基地（共320件） |
| --- | --- | --- |
| 甲销售点（需400件） | x | 400-x |
| 乙销售点（需300件） | 380-x | x-80 |
总运费为各路线运费之和，因此：
$W=40x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)$
化简得：$W=35x+11200$
运输量不能为负数，因此列不等式组：
$\begin{cases} x≥0 \\ 380-x≥0 \\ 400-x≥0 \\ x-80≥0 \end{cases}$
解得：$80≤ x≤380$
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 35x+11200≤18300 \\ x≥200 \end{cases}$
解第一个不等式得$x≤202\frac{6}{7}$，结合第二个不等式得$200≤ x≤202\frac{6}{7}$，因为x为整数，所以x的取值为200、201、202。
在$W=35x+11200$中，$k=35＞0$，因此W随x的增大而增大，所以当x取最小值200时，总运费W最低，最低运费为$W=35×200+11200=18200$元。
对应的运输方案为：A基地运往甲销售点200件，运往乙销售点180件；B基地运往甲销售点200件，运往乙销售点120件。
【答案】
(1) $W=35x+11200$，x的取值范围是$80≤ x≤380$；
(2) 最低运费为18200元，运输方案为：A基地运200件到甲销售点、180件到乙销售点，B基地运200件到甲销售点、120件到乙销售点。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、最优方案设计
【点评】
本题属于典型的调运类实际应用问题，解题核心是理清各运输主体、收货主体之间的数量关系，准确列出函数解析式和不等式组，再结合一次函数的增减性求解最优方案，解题时需注意自变量的取值必须符合实际意义。
【难度系数】
0.7