1. 关于函数$y=-2x+1$，下列结论中，正确的是（）

A.图象必经过点$(-2,1)$
B.图象经过第一、二、三象限
C.图象与一次函数$y=-2x+3$的图象平行
D.$y$随$x$的增大而增大

C

【分析】
这道题考查一次函数的相关性质，解题时需逐个分析选项，结合一次函数的点坐标验证规则、图象与系数的关系、两直线平行的判定条件、增减性规律逐一判断对错。具体判断思路：①验证点是否在函数图象上，将点的横坐标代入函数式，计算所得纵坐标和点的纵坐标一致则点在图象上，反之不在；②判断图象经过的象限，根据x的系数k和常数项b的符号判断：k＜0时图象过二、四象限，b＞0时图象交y轴正半轴；③两个一次函数图象平行的条件是k值相等、b值不相等；④增减性由k的符号决定，k＜0时y随x的增大而减小。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将x=-2代入y=-2x+1，得y=-2×(-2)+1=5≠1，因此图象不经过点(-2,1)，A错误；
B. 函数y=-2x+1中k=-2＜0，b=1＞0，因此图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，B错误；
C. 一次函数图象平行的判定规则为k值相等、b值不等，y=-2x+1和y=-2x+3的k值均为-2，b值分别为1和3、不相等，因此两图象平行，C正确；
D. 函数中k=-2＜0，因此y随x的增大而减小，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数关系，两直线平行判定
【点评】
本题是一次函数基础考查题，核心是对一次函数基本性质的记忆和应用，熟练掌握k、b对应的图象特征和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 若一次函数$y=kx+b(k,b$是常数，$k≠0)$的图象过点$A(3,2)$，则关于$x$的方程$kx+2k+b=2$的解为。

$x=1$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点A(3,2)代入一次函数y=kx+b，得到k与b的关系式；第二步，将得到的k、b关系式代入待求解的方程，结合k≠0的条件化简方程，即可求出x的解。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(3,2)$
∴ 将$x=3$，$y=2$代入函数解析式得：$3k + b = 2$，即$b = 2 - 3k$
将$b = 2 - 3k$代入方程$kx + 2k + b = 2$，得：
$kx + 2k + 2 - 3k = 2$
化简得：$kx - k = 0$，提取公因式得$k(x - 1) = 0$
又
∵ $k≠0$
∴ $x - 1 = 0$，解得$x = 1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题核心考查一次函数与一元一次方程的关联，解题的关键是熟练掌握函数图象上的点和函数解析式的对应关系，整体代入消参后即可轻松求解，是对基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8

3. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是一次函数$y=x$图象上的动点，$A(1,0)$，$B(2,0)$是$x$轴上的两点，则$PA+PB$的最小值为。

$\sqrt{5}$

【分析】
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：①要找到直线$y=x$上的动点$P$使$PA+PB$最小，需利用轴对称性质，将两条折线段的和转化为两点之间的线段距离求解；②直线$y=x$上的点横纵坐标相等，因此点关于$y=x$对称时，对称点的横纵坐标互换，可快速得到对称点坐标；③最后用勾股定理计算两点距离，即可得到最小值。
【解析】
解：作点$A$关于直线$y=x$的对称点$A'$，由关于$y=x$对称的点坐标特征，得$A(1,0)$的对称点$A'$的坐标为$(0,1)$。
根据轴对称的性质可知：$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为线段$A'B$的长度。
已知$B(2,0)$，由勾股定理计算$A'B$的长度：
$A'B=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
因此$PA+PB$的最小值为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
将军饮马问题；一次函数的性质；勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质应用的典型题型，核心是通过轴对称将折线路径转化为直线段，结合一次函数对称点的坐标特征和勾股定理即可求解，解题关键是掌握对称点的坐标变换规律。
【难度系数】
0.7

4. 如图,已知函数 $ y=x+1 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,一次函数 $ y=kx+b $ 的图象经过点 $ B(0,-1) $,与 $ x $ 轴以及 $ y=x+1 $ 的图象分别交于点 $ C,D $,且点 $ D $ 的坐标为 $ (1,n) $.
(1) 求一次函数 $ y=kx+b $ 的表达式.
(2) 求四边形 $ AOCD $ 的面积.
(3) 在平面内直线 $ CD $ 的右侧是否存在点 $ P $,使得以点 $ P,C,D $ 为顶点的三角形是以 $ CD $ 为腰的等腰直角三角形? 若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 一次函数$y=kx+b$的表达式为$y=3x-1$
(2) 四边形$AOCD$的面积是$\dfrac{5}{6}$
(3) 点$P$的坐标为$(3,\dfrac{4}{3})$或$(\dfrac{7}{3},-\dfrac{2}{3})$

【分析】
(1) 求一次函数$y=kx+b$的解析式需要两个已知点坐标，已知函数过$B(0,-1)$，另一个交点$D$在$y=x+1$上且横坐标为1，先代入$y=x+1$求出$D$的坐标，再将$B、D$两点代入解析式解二元一次方程组即可。
(2) 四边形$AOCD$是不规则图形，采用割补法计算面积：先求出$A、C$两点坐标，用$△ ABD$的面积减去$△ OBC$的面积，即可得到四边形的面积。
(3) 以$CD$为腰的等腰直角三角形需分两种情况讨论：①直角顶点为$D$，满足$CD⊥ DP$且$CD=DP$；②直角顶点为$C$，满足$CD⊥ CP$且$CD=CP$，结合点$P$在直线$CD$右侧的条件，即可求出对应点$P$的坐标。
【解析】
(1) 求点$D$的坐标：
$\because$ 点$D(1,n)$在$y=x+1$的图象上，将$x=1$代入得$n=1+1=2$，$\therefore D(1,2)$。
将$B(0,-1)$、$D(1,2)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}b=-1\\k+b=2\end{cases}$
把$b=-1$代入$k+b=2$，解得$k=3$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=3x-1$。
(2) 求相关点坐标：
对于$y=x+1$，令$x=0$得$y=1$，$\therefore A(0,1)$，$OA=1$；
对于$y=3x-1$，令$y=0$得$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，$\therefore C(\frac{1}{3},0)$，$OC=\frac{1}{3}$。
用割补法计算面积：
$AB$的长度为$1-(-1)=2$，$△ ABD$中$AB$边上的高为点$D$的横坐标$1$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB×1=\frac{1}{2}×2×1=1$；
$△ OBC$中，$OB=1$，$OC=\frac{1}{3}$，
$\therefore S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
$\therefore S_{四边形AOCD}=S_{△ ABD}-S_{△ OBC}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
(3) 分类讨论等腰直角三角形的直角顶点：
① 当直角顶点为$D$时，$CD⊥ DP$且$CD=DP$，结合点$P$在$CD$右侧，得$P(3,\frac{4}{3})$；
② 当直角顶点为$C$时，$CD⊥ CP$且$CD=CP$，结合点$P$在$CD$右侧，得$P(\frac{7}{3},-\frac{2}{3})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x-1}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{6}}$
(3) 存在，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(3,\dfrac{4}{3})}$或$\boldsymbol{(\dfrac{7}{3},-\dfrac{2}{3})}$
【知识点】
一次函数解析式求解，不规则图形面积计算，等腰直角三角形存在性
【点评】
本题综合考查一次函数的性质、面积计算和动点存在性问题，解题核心是先确定各点坐标，利用割补法简化不规则面积的计算，第三问需注意分类讨论直角顶点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6