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2. 煤炭是我国的主要矿产资源之一，每天有大量的煤炭运往全国各地.某煤矿现有100 t煤炭要运往甲、乙两厂.已知甲、乙两厂的有关信息如下表(表中“运费”一栏表示每吨煤炭运送1 km所需的费用)：
现在要把100 t煤全部运出：
（1）试写出总运费y元关于运往甲厂的煤炭质量x t的函数关系式；
（2）如果你是该矿的负责人，请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低总运费。
现在要把100 t煤全部运出：
（1）试写出总运费y元关于运往甲厂的煤炭质量x t的函数关系式；
（2）如果你是该矿的负责人，请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低总运费。
答案
(1) $y=30x+12000$
(2) 运往甲厂20 t时总运费最低,最低总运费是12 600元
(2) 运往甲厂20 t时总运费最低,最低总运费是12 600元
解析
【分析】
（1）求解函数关系式时，先设运往甲厂煤炭质量为x t，可得运往乙厂的煤炭质量为(100-x)t，结合表格给出的运费、路程分别计算运往两厂的运费，求和即可得到总运费y关于x的解析式，再结合甲、乙两厂的最大需求量确定自变量x的取值范围。（2）求最低运费时，先根据一次函数的比例系数判断函数的增减性，再结合x的取值范围找到使总运费最小的x值，代入解析式计算即可得到最低运费和对应运送方案。
【解析】
（1）设运往甲厂的煤炭质量为x t，则运往乙厂的煤炭质量为$(100-x)\ \mathrm{t}$。
根据两厂的需求量限制：
甲厂所需质量不超过60t，故$x≤ 60$；
乙厂所需质量不超过80t，故$100-x≤ 80$，解得$x≥ 20$；
结合实际意义，可得x的取值范围为$20≤ x≤ 60$。
总运费=运往甲厂的运费+运往乙厂的运费，因此：
$\begin{aligned}y&=1×150· x + 1.2×100·(100-x)\\&=150x + 120(100-x)\\&=30x + 12000\end{aligned}$
（2）在一次函数$y=30x+12000$中，$k=30＞0$，因此y随x的增大而增大，要使总运费y最小，需取x的最小值20。
此时运往乙厂的煤炭质量为$100-20=80\ \mathrm{t}$，符合两厂的需求量要求。
将$x=20$代入函数得：
$y=30×20 + 12000=12600$（元）
即合理方案为运往甲厂20t、运往乙厂80t，此时总运费最低。
【答案】
(1) $y=30x+12000$
(2) 运往甲厂20 t时总运费最低，最低总运费是12600元
【知识点】
一次函数的实际应用，一次函数的性质，列函数关系式
【点评】
本题以煤炭运输的实际场景为载体，考查一次函数的应用，解题的核心是理清运费的计算逻辑，正确列出函数解析式，同时不能忽略自变量的取值范围需要符合实际限制条件，再结合一次函数的增减性即可顺利求出最值。
【难度系数】
0.7
（1）求解函数关系式时，先设运往甲厂煤炭质量为x t，可得运往乙厂的煤炭质量为(100-x)t，结合表格给出的运费、路程分别计算运往两厂的运费，求和即可得到总运费y关于x的解析式，再结合甲、乙两厂的最大需求量确定自变量x的取值范围。（2）求最低运费时，先根据一次函数的比例系数判断函数的增减性，再结合x的取值范围找到使总运费最小的x值，代入解析式计算即可得到最低运费和对应运送方案。
【解析】
（1）设运往甲厂的煤炭质量为x t，则运往乙厂的煤炭质量为$(100-x)\ \mathrm{t}$。
根据两厂的需求量限制：
甲厂所需质量不超过60t，故$x≤ 60$；
乙厂所需质量不超过80t，故$100-x≤ 80$，解得$x≥ 20$；
结合实际意义，可得x的取值范围为$20≤ x≤ 60$。
总运费=运往甲厂的运费+运往乙厂的运费，因此：
$\begin{aligned}y&=1×150· x + 1.2×100·(100-x)\\&=150x + 120(100-x)\\&=30x + 12000\end{aligned}$
（2）在一次函数$y=30x+12000$中，$k=30＞0$，因此y随x的增大而增大，要使总运费y最小，需取x的最小值20。
此时运往乙厂的煤炭质量为$100-20=80\ \mathrm{t}$，符合两厂的需求量要求。
将$x=20$代入函数得：
$y=30×20 + 12000=12600$（元）
即合理方案为运往甲厂20t、运往乙厂80t，此时总运费最低。
【答案】
(1) $y=30x+12000$
(2) 运往甲厂20 t时总运费最低，最低总运费是12600元
【知识点】
一次函数的实际应用，一次函数的性质，列函数关系式
【点评】
本题以煤炭运输的实际场景为载体，考查一次函数的应用，解题的核心是理清运费的计算逻辑，正确列出函数解析式，同时不能忽略自变量的取值范围需要符合实际限制条件，再结合一次函数的增减性即可顺利求出最值。
【难度系数】
0.7
1. 已知一次函数$y=kx+2(k≠0)$的函数值$y$随$x$的增大而增大，则该函数的图象大致是（
）
）答案
A
解析
【分析】
要确定该一次函数的图象，需要结合一次函数的性质，分两步分析：首先根据函数的增减性判断k的符号，确定直线的倾斜方向，排除不符合的选项；再根据常数项b的取值，判断直线与y轴的交点位置，进一步排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. 根据增减性判断$k$的符号：
已知函数值$y$随$x$的增大而增大，可得$k＞0$，此时直线从左下向右上倾斜，因此排除倾斜方向为左上向右下（$k＜0$）的选项B、C。
2. 根据$b$的取值判断与$y$轴的交点：
该函数中$b=2＞0$，因此直线与$y$轴的交点坐标为$(0,2)$，在$y$轴正半轴，因此排除与$y$轴交于负半轴的选项D。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值分别对函数增减性、图象交点位置的影响，牢记性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要确定该一次函数的图象，需要结合一次函数的性质，分两步分析：首先根据函数的增减性判断k的符号，确定直线的倾斜方向，排除不符合的选项；再根据常数项b的取值，判断直线与y轴的交点位置，进一步排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. 根据增减性判断$k$的符号：
已知函数值$y$随$x$的增大而增大，可得$k＞0$，此时直线从左下向右上倾斜，因此排除倾斜方向为左上向右下（$k＜0$）的选项B、C。
2. 根据$b$的取值判断与$y$轴的交点：
该函数中$b=2＞0$，因此直线与$y$轴的交点坐标为$(0,2)$，在$y$轴正半轴，因此排除与$y$轴交于负半轴的选项D。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值分别对函数增减性、图象交点位置的影响，牢记性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$A(-2,m),B(3,n)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，则$m$与$n$的大小关系是（
A.$m＞n$
B.$m=n$
C.$m＜n$
D.无法确定
C
）A.$m＞n$
B.$m=n$
C.$m＜n$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断m和n的大小，有两种常用解题思路：思路一，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可将两个点的横坐标分别代入一次函数解析式，算出m和n的具体数值后直接比较大小；思路二，利用一次函数的增减性，先根据k值的正负判断y随x的变化规律，再对比两个点横坐标的大小，即可直接推出纵坐标的大小关系，无需计算具体数值，解题更快捷。
【解析】
方法1（代入计算法）：
∵点$A(-2,m)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
∴将$x=-2$代入解析式得：$m=2×(-2)+1=-3$；
∵点$B(3,n)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
∴将$x=3$代入解析式得：$n=2×3+1=7$；
∵$-3＜7$，
∴$m＜n$。
方法2（增减性判断法）：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A、B$都在该函数图象上，且横坐标$-2＜3$，
∴对应的纵坐标$m＜n$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，利用增减性判断可以省略计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要判断m和n的大小，有两种常用解题思路：思路一，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可将两个点的横坐标分别代入一次函数解析式，算出m和n的具体数值后直接比较大小；思路二，利用一次函数的增减性，先根据k值的正负判断y随x的变化规律，再对比两个点横坐标的大小，即可直接推出纵坐标的大小关系，无需计算具体数值，解题更快捷。
【解析】
方法1（代入计算法）：
∵点$A(-2,m)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
∴将$x=-2$代入解析式得：$m=2×(-2)+1=-3$；
∵点$B(3,n)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
∴将$x=3$代入解析式得：$n=2×3+1=7$；
∵$-3＜7$，
∴$m＜n$。
方法2（增减性判断法）：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A、B$都在该函数图象上，且横坐标$-2＜3$，
∴对应的纵坐标$m＜n$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，利用增减性判断可以省略计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
3. 一辆轿车从A地驶向B地，设出发$x$ h后，这辆轿车距离B地$y$ km，已知$y$关于$x$的函数表达式为$y=200-80x$，则轿车从A地到达B地所用时间是
2.5
h.答案
2.5
解析
【分析】
首先明确函数中两个变量的实际意义：x是轿车出发的时间，y是轿车距离B地的路程。当轿车到达B地时，距离B地的路程为0，也就是y=0，此时只需将y=0代入给出的一次函数表达式，解出对应的x值，就是轿车从A地到B地所用的时间。
【解析】
当轿车到达B地时，距离B地的距离$ y=0 $，将$ y=0 $代入函数表达式$ y=200-80x $中，可得：
$ 0=200-80x $
移项得：$ 80x=200 $
解得：$ x=200÷80=2.5 $
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题的核心是准确理解变量的实际含义，找到到达终点对应的函数值，再通过解方程得到结果，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确函数中两个变量的实际意义：x是轿车出发的时间，y是轿车距离B地的路程。当轿车到达B地时，距离B地的路程为0，也就是y=0，此时只需将y=0代入给出的一次函数表达式，解出对应的x值，就是轿车从A地到B地所用的时间。
【解析】
当轿车到达B地时，距离B地的距离$ y=0 $，将$ y=0 $代入函数表达式$ y=200-80x $中，可得：
$ 0=200-80x $
移项得：$ 80x=200 $
解得：$ x=200÷80=2.5 $
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题的核心是准确理解变量的实际含义，找到到达终点对应的函数值，再通过解方程得到结果，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
4. 小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5 km，小华骑共享单车，玲玲步行.当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s km与所经过的时间t min之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）玲玲的速度为
（2）小华和玲玲在出发a min时，两人到学校的距离相等，求a的值.
（1）玲玲的速度为
0.125
km/min，小华返回学校的速度为0.5
km/min；（2）小华和玲玲在出发a min时，两人到学校的距离相等，求a的值.
答案
(1) 0.125 0.5
(2) $5-0.5(a-30)=0.125a$,解得$a=32$
(2) $5-0.5(a-30)=0.125a$,解得$a=32$
解析
【分析】
（1）求速度可根据速度=路程÷时间计算：玲玲全程走5km用时40min，直接代入公式可求玲玲的速度；小华从图书馆返回学校的时间段是30min到40min，用时10min，路程为5km，代入公式即可求返回速度。
（2）首先判断两人距离相等的时刻a在30~40min之间，此时间段小华处于返回途中，玲玲仍在前往图书馆的途中：小华离学校的距离=总路程-返回时走的路程，玲玲离学校的距离=玲玲的速度×时间，令两者相等列一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
（1）玲玲走完全程5km用时40min，因此玲玲的速度为：
$v_{\mathrm{玲}}=\frac{5}{40}=0.125\ \mathrm{km/min}$
小华从图书馆返回学校的时间为$40-30=10\ \mathrm{min}$，路程为5km，因此返回速度为：
$v_{\mathrm{华返}}=\frac{5}{10}=0.5\ \mathrm{km/min}$
（2）由图象可知，两人距离相等的时刻$a$在30min到40min之间，此时：
玲玲离学校的距离为$0.125a\ \mathrm{km}$；
小华返回的时长为$(a-30)\ \mathrm{min}$，返回走的路程为$0.5(a-30)\ \mathrm{km}$，因此小华离学校的距离为$[5-0.5(a-30)]\ \mathrm{km}$。
根据两人到学校的距离相等列方程：
$5-0.5(a-30)=0.125a$
展开得：$5-0.5a+15=0.125a$
整理得：$20=0.625a$
解得：$a=32$
【答案】
（1）$\boxed{0.125}$，$\boxed{0.5}$；（2）$\boxed{a=32}$
【知识点】
s-t图象的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查结合函数图象解决实际行程问题，解题的核心是准确解读图象中各线段对应的运动状态，结合路程、速度、时间的关系列式或列方程求解，注重对图象分析能力和基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求速度可根据速度=路程÷时间计算：玲玲全程走5km用时40min，直接代入公式可求玲玲的速度；小华从图书馆返回学校的时间段是30min到40min，用时10min，路程为5km，代入公式即可求返回速度。
（2）首先判断两人距离相等的时刻a在30~40min之间，此时间段小华处于返回途中，玲玲仍在前往图书馆的途中：小华离学校的距离=总路程-返回时走的路程，玲玲离学校的距离=玲玲的速度×时间，令两者相等列一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
（1）玲玲走完全程5km用时40min，因此玲玲的速度为：
$v_{\mathrm{玲}}=\frac{5}{40}=0.125\ \mathrm{km/min}$
小华从图书馆返回学校的时间为$40-30=10\ \mathrm{min}$，路程为5km，因此返回速度为：
$v_{\mathrm{华返}}=\frac{5}{10}=0.5\ \mathrm{km/min}$
（2）由图象可知，两人距离相等的时刻$a$在30min到40min之间，此时：
玲玲离学校的距离为$0.125a\ \mathrm{km}$；
小华返回的时长为$(a-30)\ \mathrm{min}$，返回走的路程为$0.5(a-30)\ \mathrm{km}$，因此小华离学校的距离为$[5-0.5(a-30)]\ \mathrm{km}$。
根据两人到学校的距离相等列方程：
$5-0.5(a-30)=0.125a$
展开得：$5-0.5a+15=0.125a$
整理得：$20=0.625a$
解得：$a=32$
【答案】
（1）$\boxed{0.125}$，$\boxed{0.5}$；（2）$\boxed{a=32}$
【知识点】
s-t图象的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查结合函数图象解决实际行程问题，解题的核心是准确解读图象中各线段对应的运动状态，结合路程、速度、时间的关系列式或列方程求解，注重对图象分析能力和基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
