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1. 在$△ ABC$和$△ FED$中，如果$∠ A=∠ F$，$∠ B=∠ E$，要使这两个三角形全等，还需要添加的条件是 （
A.$AB=DE$
B.$BC=EF$
C.$AB=FE$
D.$∠ C=∠ D$
C
）A.$AB=DE$
B.$BC=EF$
C.$AB=FE$
D.$∠ C=∠ D$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先根据已知的两组等角确定两个三角形的对应顶点：A对应F，B对应E，C对应D。已知两组角对应相等，要判定三角形全等，需补充一组对应边相等（依据ASA或AAS判定定理），再逐一核对选项中的边是否为对应边，同时注意三个角相等仅能证明相似，无法判定全等，据此即可选出正确答案。
【解析】
已知在△ABC和△FED中，∠A=∠F，∠B=∠E，可得两三角形的对应顶点为A↔F，B↔E，C↔D，且已有两组角对应相等。根据全等三角形判定规则，已知两角相等时，补充一组对应边相等即可判定全等（ASA或AAS），补充角相等无法判定全等：
选项A：AB的对应边为FE，不是DE，AB=DE不属于对应边相等，无法判定全等，错误；
选项B：BC的对应边为ED，不是EF，BC=EF不属于对应边相等，无法判定全等，错误；
选项C：AB和FE分别是∠A与∠B、∠F与∠E的夹边，AB=FE符合“角边角（ASA）”判定定理，可证明两三角形全等，正确；
选项D：补充∠C=∠D仅能得到三个角对应相等，只能证明三角形相似，不能判定全等，错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、对应边与对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的核心是先根据等角找准对应顶点，明确对应边，避免因对应关系混淆选错选项，需注意“角角角”不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的两组等角确定两个三角形的对应顶点：A对应F，B对应E，C对应D。已知两组角对应相等，要判定三角形全等，需补充一组对应边相等（依据ASA或AAS判定定理），再逐一核对选项中的边是否为对应边，同时注意三个角相等仅能证明相似，无法判定全等，据此即可选出正确答案。
【解析】
已知在△ABC和△FED中，∠A=∠F，∠B=∠E，可得两三角形的对应顶点为A↔F，B↔E，C↔D，且已有两组角对应相等。根据全等三角形判定规则，已知两角相等时，补充一组对应边相等即可判定全等（ASA或AAS），补充角相等无法判定全等：
选项A：AB的对应边为FE，不是DE，AB=DE不属于对应边相等，无法判定全等，错误；
选项B：BC的对应边为ED，不是EF，BC=EF不属于对应边相等，无法判定全等，错误；
选项C：AB和FE分别是∠A与∠B、∠F与∠E的夹边，AB=FE符合“角边角（ASA）”判定定理，可证明两三角形全等，正确；
选项D：补充∠C=∠D仅能得到三个角对应相等，只能证明三角形相似，不能判定全等，错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、对应边与对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的核心是先根据等角找准对应顶点，明确对应边，避免因对应关系混淆选错选项，需注意“角角角”不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
2. 如果等腰三角形的一个外角为$135°$,那么底角为 （
A.$45°$
B.$72°$
C.$67.5°$
D.$45°$或$67.5°$
D
）A.$45°$
B.$72°$
C.$67.5°$
D.$45°$或$67.5°$
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形的外角与相邻内角互补。由于题目未说明135°的外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分两种情况讨论，分别计算底角的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若135°是等腰三角形顶角的外角：
相邻的顶角度数为 $ 180° - 135° = 45° $
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为 $ (180° - 45°) ÷ 2 = 67.5° $
2. 若135°是等腰三角形底角的外角：
相邻的底角度数为 $ 180° - 135° = 45° $，此时另一底角也为45°，顶角为90°，符合三角形内角和定理。
综上，底角为45°或67.5°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，漏算其中一种情况，解题时要注意未明确外角对应顶角还是底角时，两种情况都要考虑，且需验证结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形的外角与相邻内角互补。由于题目未说明135°的外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分两种情况讨论，分别计算底角的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若135°是等腰三角形顶角的外角：
相邻的顶角度数为 $ 180° - 135° = 45° $
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为 $ (180° - 45°) ÷ 2 = 67.5° $
2. 若135°是等腰三角形底角的外角：
相邻的底角度数为 $ 180° - 135° = 45° $，此时另一底角也为45°，顶角为90°，符合三角形内角和定理。
综上，底角为45°或67.5°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，漏算其中一种情况，解题时要注意未明确外角对应顶角还是底角时，两种情况都要考虑，且需验证结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点D在AB的垂直平分线上，AC=5，BC=4，则△BDC的周长是 （
A.6
B.7
C.8
D.9
（第3题）（第4题）
D
）A.6
B.7
C.8
D.9
（第3题）（第4题）
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到点D在AB的垂直平分线上，首先想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来求△BDC的周长，△BDC的周长为BD+DC+BC，我们可以将BD替换为相等的AD，此时AD+DC恰好是线段AC的长度，因此可以把△BDC的周长转化为AC与BC的长度之和，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD = BD
△BDC的周长 = BD + CD + BC
将BD=AD代入上式，得：
周长 = AD + CD + BC = AC + BC
已知AC=5，BC=4，代入得：
周长 = 5 + 4 = 9
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的和，从而快速求解，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，看到点D在AB的垂直平分线上，首先想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来求△BDC的周长，△BDC的周长为BD+DC+BC，我们可以将BD替换为相等的AD，此时AD+DC恰好是线段AC的长度，因此可以把△BDC的周长转化为AC与BC的长度之和，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD = BD
△BDC的周长 = BD + CD + BC
将BD=AD代入上式，得：
周长 = AD + CD + BC = AC + BC
已知AC=5，BC=4，代入得：
周长 = 5 + 4 = 9
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的和，从而快速求解，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$BE=CF$.有下列说法:① $AD$平分$∠ EDF$;② $△ EBD≌△ FCD$;③ $BD=CD$;④ $AD⊥ BC$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. D
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的角平分线同时是底边的中线和高，由此可先判断③④是否正确；再结合已知条件$BE=CF$，利用全等三角形的判定定理判断$△ EBD$和$△ FCD$是否全等，得到②的正误；最后结合全等的结论和角平分线的判定，判断$AD$是否平分$∠ EDF$，即可得到所有正确结论的数量。
【解析】
1. 判断③④：已知$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AD⊥ BC$，$BD=CD$，故③④正确。
2. 判断②：因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$，又已知$BE=CF$，且已证$BD=CD$，根据SAS（边角边）全等判定定理，可得$△ EBD≌△ FCD$，故②正确。
3. 判断①：由$△ EBD≌△ FCD$得$DE=DF$，又因为$AB=AC$，$BE=CF$，所以$AB-BE=AC-CF$，即$AE=AF$。在$△ AED$和$△ AFD$中，$AE=AF$，$∠ EAD=∠ FAD$（$AD$是角平分线），$AD=AD$，根据SAS判定定理可得$△ AED≌△ AFD$，因此$∠ ADE=∠ ADF$，即$AD$平分$∠ EDF$，故①正确。
综上，①②③④4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查等腰三角形三线合一的应用和全等三角形的证明，解题时需从已知条件出发，逐步推导对应边、角的相等关系，即可顺利判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.8
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的角平分线同时是底边的中线和高，由此可先判断③④是否正确；再结合已知条件$BE=CF$，利用全等三角形的判定定理判断$△ EBD$和$△ FCD$是否全等，得到②的正误；最后结合全等的结论和角平分线的判定，判断$AD$是否平分$∠ EDF$，即可得到所有正确结论的数量。
【解析】
1. 判断③④：已知$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AD⊥ BC$，$BD=CD$，故③④正确。
2. 判断②：因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$，又已知$BE=CF$，且已证$BD=CD$，根据SAS（边角边）全等判定定理，可得$△ EBD≌△ FCD$，故②正确。
3. 判断①：由$△ EBD≌△ FCD$得$DE=DF$，又因为$AB=AC$，$BE=CF$，所以$AB-BE=AC-CF$，即$AE=AF$。在$△ AED$和$△ AFD$中，$AE=AF$，$∠ EAD=∠ FAD$（$AD$是角平分线），$AD=AD$，根据SAS判定定理可得$△ AED≌△ AFD$，因此$∠ ADE=∠ ADF$，即$AD$平分$∠ EDF$，故①正确。
综上，①②③④4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查等腰三角形三线合一的应用和全等三角形的证明，解题时需从已知条件出发，逐步推导对应边、角的相等关系，即可顺利判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，$∠ B=100°$，$∠ BAC=30°$，则$∠ AED=$
50
°。答案
5. 50
解析
【分析】
要求∠AED的度数，首先根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，可知∠AED和△ABC中的∠ACB是对应角，二者相等。因此我们只需要先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，即可得到∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ B - ∠ BAC$
代入$∠ B=100°$，$∠ BAC=30°$，计算得：
$∠ ACB = 180° - 100° - 30° = 50°$
$\because △ ABC ≌ △ ADE$，$∠ AED$与$∠ ACB$是对应角
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB = 50°$
【答案】
50
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，核心是对基础概念和性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要求∠AED的度数，首先根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，可知∠AED和△ABC中的∠ACB是对应角，二者相等。因此我们只需要先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，即可得到∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ B - ∠ BAC$
代入$∠ B=100°$，$∠ BAC=30°$，计算得：
$∠ ACB = 180° - 100° - 30° = 50°$
$\because △ ABC ≌ △ ADE$，$∠ AED$与$∠ ACB$是对应角
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB = 50°$
【答案】
50
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，核心是对基础概念和性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.9
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，沿过点$B$的直线$BE$折叠，使点$C$恰好落在边$AB$的中点$D$处，则$∠ A=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
6. 30
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手：折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，可得出BC=BD，∠EDB=∠C=90°，∠CBE=∠DBE。再结合D是AB中点，可得BD=$\frac{1}{2}$AB，进而推出BC=$\frac{1}{2}$AB；在直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，BC是∠A的对边，即可求出∠A的度数。也可根据ED垂直平分AB得到EA=EB，推出∠A=∠EBA，结合三个角相加等于90°求解。
【解析】
解：根据折叠的性质可得△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠C=90°，BC=BD，∠CBE=∠DBE，
∵D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边BC是斜边AB的一半，
∴BC所对的锐角∠A=30°。
（也可通过角度推导：
∵ED⊥AB，D为AB中点，
∴BE=AE，
∴∠A=∠DBE，
∴∠A=∠DBE=∠CBE，
∵∠A+∠DBE+∠CBE=90°，
∴3∠A=90°，∠A=30°）
【答案】
30
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将折叠性质与直角三角形、线段垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是抓住折叠前后边、角的等量关系，结合已知条件推导边或角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手：折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等，可得出BC=BD，∠EDB=∠C=90°，∠CBE=∠DBE。再结合D是AB中点，可得BD=$\frac{1}{2}$AB，进而推出BC=$\frac{1}{2}$AB；在直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，BC是∠A的对边，即可求出∠A的度数。也可根据ED垂直平分AB得到EA=EB，推出∠A=∠EBA，结合三个角相加等于90°求解。
【解析】
解：根据折叠的性质可得△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠C=90°，BC=BD，∠CBE=∠DBE，
∵D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边BC是斜边AB的一半，
∴BC所对的锐角∠A=30°。
（也可通过角度推导：
∵ED⊥AB，D为AB中点，
∴BE=AE，
∴∠A=∠DBE，
∴∠A=∠DBE=∠CBE，
∵∠A+∠DBE+∠CBE=90°，
∴3∠A=90°，∠A=30°）
【答案】
30
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将折叠性质与直角三角形、线段垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是抓住折叠前后边、角的等量关系，结合已知条件推导边或角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ DBC=18°$，且$BD⊥ AC$，则$∠ A=$
36
$°$。答案
7. 36
解析
【分析】
首先根据题干已知条件，BD垂直AC可得△BDC是直角三角形，结合已知∠DBC的度数，可先求出∠C的度数；再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可得∠ABC=∠C，最后利用三角形内角和为180°即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC=18°，
∴∠C=90°-∠DBC=90°-18°=72°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C=72°，
根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°。
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形的相关性质以及三角形内角和定理，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先根据题干已知条件，BD垂直AC可得△BDC是直角三角形，结合已知∠DBC的度数，可先求出∠C的度数；再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可得∠ABC=∠C，最后利用三角形内角和为180°即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC=18°，
∴∠C=90°-∠DBC=90°-18°=72°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C=72°，
根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°。
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形的相关性质以及三角形内角和定理，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
8. 有下列命题:① 有一边相等的两个等边三角形全等;② 腰长相等且都有一个角是$50°$的两个等腰三角形全等;③ 各有两边长分别是5,4的两个等腰三角形全等;④ 判定三角形全等的条件中,至少要有一对边对应相等.其中,正确的命题是
①④
(填序号).答案
8. ①④
解析
【分析】
本题考查全等三角形的判定及特殊三角形的性质，解题思路为：首先回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），再结合等边、等腰三角形的性质，逐个分析4个命题是否成立，分析等腰三角形相关命题时要注意分类讨论未明确的角（顶角/底角）、边（腰/底边）的情况。
【解析】
我们逐个判断命题的正确性：
1. 分析命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，则它们的三边长全部对应相等，根据SSS判定定理，可证明两个三角形全等，故①正确。
2. 分析命题②：腰长相等且有一个角是$50°$的等腰三角形，未说明$50°$是顶角还是底角：若一个三角形的顶角为$50°$，其底角为$(180°-50°)÷2=65°$；若另一个三角形的底角为$50°$，其顶角为$180°-50°×2=80°$，两个三角形的角不对应相等，因此不全等，故②错误。
3. 分析命题③：两边长为5、4的等腰三角形，未说明哪条边是腰：若一个三角形腰长为5、底边长为4，另一个三角形腰长为4、底边长为5，两个三角形的边不对应相等，因此不全等，故③错误。
4. 分析命题④：全等三角形的所有判定定理都要求至少有一组边对应相等，若只有角对应相等，仅能说明三角形形状相同，不能保证大小相等，因此判定全等至少要有一对边对应相等，故④正确。
综上，正确的命题为①④。
【答案】
①④
【知识点】
全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质
【点评】
本题的易错点是分析等腰三角形相关命题时忽略分类讨论，遇到未明确说明是顶角/底角、腰/底边的情况时，要先判断是否存在多种可能，再验证是否满足全等条件。
【难度系数】
0.65
本题考查全等三角形的判定及特殊三角形的性质，解题思路为：首先回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），再结合等边、等腰三角形的性质，逐个分析4个命题是否成立，分析等腰三角形相关命题时要注意分类讨论未明确的角（顶角/底角）、边（腰/底边）的情况。
【解析】
我们逐个判断命题的正确性：
1. 分析命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，则它们的三边长全部对应相等，根据SSS判定定理，可证明两个三角形全等，故①正确。
2. 分析命题②：腰长相等且有一个角是$50°$的等腰三角形，未说明$50°$是顶角还是底角：若一个三角形的顶角为$50°$，其底角为$(180°-50°)÷2=65°$；若另一个三角形的底角为$50°$，其顶角为$180°-50°×2=80°$，两个三角形的角不对应相等，因此不全等，故②错误。
3. 分析命题③：两边长为5、4的等腰三角形，未说明哪条边是腰：若一个三角形腰长为5、底边长为4，另一个三角形腰长为4、底边长为5，两个三角形的边不对应相等，因此不全等，故③错误。
4. 分析命题④：全等三角形的所有判定定理都要求至少有一组边对应相等，若只有角对应相等，仅能说明三角形形状相同，不能保证大小相等，因此判定全等至少要有一对边对应相等，故④正确。
综上，正确的命题为①④。
【答案】
①④
【知识点】
全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质
【点评】
本题的易错点是分析等腰三角形相关命题时忽略分类讨论，遇到未明确说明是顶角/底角、腰/底边的情况时，要先判断是否存在多种可能，再验证是否满足全等条件。
【难度系数】
0.65
9. 在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，若三角形内有一点$P$到三角形三边的距离相等，则$∠ BPC=$
125°
；若三角形内有一点$M$到三个顶点的距离相等，则$∠ BMC=$140°
。答案
9. 125° 140°
解析
【分析】
本题分两部分求解：①对于点P：看到“到三角形三边距离相等”，根据角平分线的判定定理，可判断P是△ABC的内角平分线交点（内心），结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再推导∠PBC+∠PCB的度数，即可算出∠BPC。②对于点M：看到“到三角形三个顶点距离相等”，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断M是△ABC三边垂直平分线的交点（外心），利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和推导角度关系，即可求出∠BMC。
【解析】
1. 求∠BPC的度数：
∵点P到△ABC三边的距离相等
∴BP平分∠ABC，CP平分∠ACB（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∵△ABC中，∠A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-55°=125°
2. 求∠BMC的度数：
∵点M到△ABC三个顶点的距离相等
∴MA=MB=MC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等）
∴∠MBA=∠MAB，∠MCA=∠MAC（等边对等角）
∴∠MBA+∠MCA=∠MAB+∠MAC=∠A=70°
又
∵∠ABC+∠ACB=110°
∴∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠MBA+∠MCA)=110°-70°=40°
在△MBC中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-40°=140°
【答案】
125°；140°
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形内心、外心的判定及性质，解题核心是准确识别两个点的身份，结合等腰三角形性质和内角和定理计算角度，是三角形性质部分的经典基础题型。
【难度系数】
0.7
本题分两部分求解：①对于点P：看到“到三角形三边距离相等”，根据角平分线的判定定理，可判断P是△ABC的内角平分线交点（内心），结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再推导∠PBC+∠PCB的度数，即可算出∠BPC。②对于点M：看到“到三角形三个顶点距离相等”，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断M是△ABC三边垂直平分线的交点（外心），利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和推导角度关系，即可求出∠BMC。
【解析】
1. 求∠BPC的度数：
∵点P到△ABC三边的距离相等
∴BP平分∠ABC，CP平分∠ACB（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∵△ABC中，∠A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-55°=125°
2. 求∠BMC的度数：
∵点M到△ABC三个顶点的距离相等
∴MA=MB=MC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等）
∴∠MBA=∠MAB，∠MCA=∠MAC（等边对等角）
∴∠MBA+∠MCA=∠MAB+∠MAC=∠A=70°
又
∵∠ABC+∠ACB=110°
∴∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠MBA+∠MCA)=110°-70°=40°
在△MBC中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-40°=140°
【答案】
125°；140°
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形内心、外心的判定及性质，解题核心是准确识别两个点的身份，结合等腰三角形性质和内角和定理计算角度，是三角形性质部分的经典基础题型。
【难度系数】
0.7
