三、解答题(共50分)
10. (10分)如图，点A,C,D,B在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，DE=CF，AC=BD.
(1) 求证：$△ ADE ≌ △ BCF$.
(2) 猜想CE,DF的数量关系和位置关系，并说明理由.

10. (1) $\because AC=BD$,$\therefore AC+CD=BD+CD. \therefore AD=BC$. 又$\because AE=BF,DE=CF$,$\therefore △ ADE≌△ BCF(\mathrm{SSS})$ (2) $CE=DF$,$CE// DF$. 理由:$\because △ ADE≌△ BCF$,$\therefore ∠ ADE=∠ BCF$. 又$\because DE=CF,CD=DC$,$\therefore △ CDE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$. $\therefore CE=DF,∠ DCE=∠ CDF. \therefore CE// DF$. 综上,$CE=DF,CE// DF$

【分析】
(1) 要证明△ADE≌△BCF，已知两组对应边AE=BF、DE=CF，只需推导得第三组对应边AD=BC即可。根据已知AC=BD，给两边同时加公共线段CD，即可得到AD=BC，满足SSS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 可先猜想CE和DF数量相等、位置平行。要验证该结论，可证明△CDE和△DCF全等：由(1)的全等结论可得∠ADE=∠BCF，再结合已知DE=CF、公共边CD=DC，用SAS即可证得两三角形全等，从而得到CE=DF，同时可得∠DCE=∠CDF，根据内错角相等两直线平行，即可推出CE//DF。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC=BD，
∴ AC+CD=BD+CD，即AD=BC。
在△ADE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AE=BF\\ DE=CF\\ AD=BC\end{array} $
∴ △ADE≌△BCF（SSS）。
(2) 猜想：$CE=DF$，$CE// DF$，理由如下：
∵ △ADE≌△BCF，
∴ ∠ADE=∠BCF。
在△CDE和△DCF中：
$\{\begin{array}{l}DE=CF\\ ∠CDE=∠DCF\\ CD=DC\end{array} $
∴ △CDE≌△DCF（SAS）。
∴ CE=DF，∠DCE=∠CDF，
∴ CE//DF（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 已证△ADE≌△BCF；
(2) $CE=DF$，$CE// DF$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，解题核心是利用线段和差得到全等所需的边条件，再通过前一问的全等结论推导后续问题需要的角条件，两次运用全等三角形的判定和性质即可得到结论，解题时要注意前后问题的关联性。
【难度系数】
0.7

11. (12分)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,垂足分别为D,E,F,求∠EFC的度数.

11. $45°$

【分析】
解题时可按以下思路推导：①先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到AE=BE，结合BE⊥AC可判断△ABE是等腰直角三角形，求出顶角∠BAC的度数；②已知AB=AC，△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和即可算出底角∠C的度数；③结合AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一可知F是BC的中点；④在Rt△BEC中，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得EF=FC，即△EFC是等腰三角形，已知底角∠C的度数，即可算出顶角∠EFC的度数。
【解析】
解：
1.
∵DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，得$AE=BE$。
2.
∵$BE⊥AC$，
∴$△ ABE$是等腰直角三角形，
∴$∠ BAC=45°$。
3.
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C$，根据三角形内角和：
$∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
4.
∵$AB=AC$，$AF⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，得F是BC的中点。
5. 在$Rt△ BEC$中，F是斜边BC的中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得$EF=CF$。
6.
∴$△ EFC$是等腰三角形，$∠ FEC=∠ C=67.5°$，根据三角形内角和：
$∠ EFC=180°-∠ FEC-∠ C=180°-67.5°×2=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过等腰三角形三线合一得到BC中点F，再结合直角三角形斜边中线的性质推导得到等腰△EFC，进而计算角度。
【难度系数】
0.6

12. (14分)如图,在△ABC中,∠ABE=2∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD,垂足为E.
(1)若∠C=30°,求证:AB=2BE.
(2)若∠C≠30°,求证$:BE=\frac{1}{2}(AC−AB).$

12. (1) 提示:$∠ BAE=30°$ (2) 延长$BE$交$AC$于点$F$,得$AB=AF$,$BF=CF$,$BF=AC-AB$,$BE=\frac{BF}{2}$

【分析】
(1) 先根据已知的∠C与∠ABE的数量关系求出∠ABE的度数，再由BE⊥AD得到直角△ABE，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAE为30°，最后根据直角三角形中30°锐角所对直角边是斜边一半的性质，即可推导出AB=2BE。
(2) 当图形中同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，常用辅助线是延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。本题延长BE交AC于F，先通过角平分线、公共边、垂直的条件证明△ABE和△AFE全等，得到AB=AF、BE=EF，再结合∠ABE=2∠C和三角形外角的性质，推导出∠FBC=∠C，得到BF=FC，最后通过线段的和差替换即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ABE=2∠C，∠C=30°，
∴∠ABE=2×30°=60°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABE=90°-60°=30°，
∴$BE=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BE$。
(2) 证明：
延长BE交AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠FAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF\end{array} $
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴$AB=AF$，$BE=EF=\frac{1}{2}BF$，$∠ABE=∠AFE$，
∵∠AFE是△FBC的外角，
∴$∠AFE=∠C+∠FBC$，
又
∵∠ABE=2∠C，
∴$2∠C=∠C+∠FBC$，
∴∠FBC=∠C，
∴$BF=FC$，
∵$FC=AC-AF=AC-AB$，
∴$BF=AC-AB$，
又
∵$BE=\frac{1}{2}BF$，
∴$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=2BE$；
(2) 证明成立，$BE=\frac{1}{2}(AC−AB)$。
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型几何证明题，第一问难度较低，直接利用角度关系结合直角三角形性质即可求解；第二问的核心是掌握“角平分线+垂线”的常用辅助线构造方法，通过全等、等腰三角形的性质转化线段关系即可完成证明，对模型的熟悉度要求较高。
【难度系数】
0.6

13. (14分)(1) 如图①，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但需保留作图痕迹).
(2) 已知内角大小的两个三角形如图②、图③所示. 能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的大小.

13. (1) 提示:作$AB$的垂直平分线,交$AB$于点$D$,连接$CD$,$△ ACD$和$△ BCD$都是等腰三角形 (2) 图②能画一条直线将它分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是$132°$和$84°$. 图③不能分割成两个等腰三角形

【分析】
(1) 针对图①，已知△ABC是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，只要找到斜边AB的中点，连接中点与点C，就能得到两个等腰三角形，用尺规作AB的垂直平分线即可快速找到AB的中点。
(2) 针对图②和图③，解题思路是：先利用三角形内角和算出第三个角的度数，再尝试将其中一个内角拆分为两个角，使拆分出的一个角等于原三角形的另一个内角，得到第一个等腰三角形，再验证剩余的三角形是否也有两个内角相等，判断是否为等腰三角形即可。
【解析】
(1) 用尺规作AB的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线交AB于点D，连接CD，直线CD即为所求，此时AD=CD=BD，△ACD和△BCD均为等腰三角形。
(2) 先处理图②：
首先计算∠B的度数：$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-24°-84°=72°$。
过点B作直线BD交AC于点D，使$∠ ABD=24°$：
在△ABD中，$∠ A=∠ ABD=24°$，故AD=BD，△ABD是等腰三角形，顶角$∠ ADB=180°-24°×2=132°$；
此时$∠ CBD=∠ B-∠ ABD=72°-24°=48°$，$∠ CDB=180°-∠ ADB=180°-132°=48°$，故$∠ CBD=∠ CDB$，BC=CD，△BCD是等腰三角形，顶角$∠ C=84°$，符合要求。
再处理图③：
计算∠A的度数：$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-52°-104°=24°$。
对三个内角分别尝试拆分：
① 拆分$∠ C=104°$：若拆出24°与∠A相等，剩余角为80°，剩余三角形三个内角为80°、52°、48°，无相等内角，无法构成等腰三角形；若拆出52°与∠B相等，剩余角为52°，剩余三角形三个内角为24°、52°、104°，无相等内角，无法构成等腰三角形。
② 拆分$∠ B=52°$或$∠ A=24°$，均无法让拆分得到的两个三角形同时有两个相等的内角，因此图③不能分割为两个等腰三角形。
【答案】
(1) 作AB的垂直平分线交AB于点D，连接CD，直线CD即为所求（保留作图痕迹）；
(2) 图②能画一条直线分割成两个等腰三角形，两个等腰三角形的顶角分别为$132°$和$84°$；图③不能分割成两个等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；尺规作垂直平分线
【点评】
本题综合考查等腰三角形判定和三角形内角和的应用，需要用到分类讨论思想尝试不同的角拆分方案，第一小问可借助直角三角形的性质快速解题，第二小问需要逐一验证拆分的可能性，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6