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14. 某新款饮水机开始加热时，水温每分钟上升$25°\mathrm{C}$，加热到$100°\mathrm{C}$时，停止加热，水温开始下降，此时水温$y\ °\mathrm{C}$是通电时间$x\ \mathrm{min}$的反比例函数。若在水温为$20°\mathrm{C}$时开始加热，水温$y$与通电时间$x$之间的函数关系如图所示。
（1）将水从$20°\mathrm{C}$加热到$100°\mathrm{C}$需要$\mathrm{min}$；
（2）在水温下降的过程中，求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式；
（3）加热一次，水温不低于$40°\mathrm{C}$的时间有多长？
（1）将水从$20°\mathrm{C}$加热到$100°\mathrm{C}$需要$\mathrm{min}$；
（2）在水温下降的过程中，求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式；
（3）加热一次，水温不低于$40°\mathrm{C}$的时间有多长？
答案
解：
(1) 由题意得，所需时间为$(100-20)÷25=3.2$，故答案为$\boldsymbol{3.2}$。
(2) 设水温下降过程中，水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3.2,100)$代入表达式，得：
$100=\frac{k}{3.2}$，解得$k=320$。
因此水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式为：
$y=\frac{320}{x}\quad(x≥3.2)$
(3) 加热阶段（$0≤ x≤3.2$）的函数表达式为$y=25x+20$。
令$y=40$，代入得$25x+20=40$，解得$x=0.8$。
在降温阶段，令$y=40$，代入$y=\frac{320}{x}$得$\frac{320}{x}=40$，解得$x=8$。
因此水温不低于$40°\mathrm{C}$的总时长为$8-0.8=7.2\ (\mathrm{min})$。
答：加热一次，水温不低于$40°\mathrm{C}$的时间为$7.2\ \mathrm{min}$。
(1) 由题意得，所需时间为$(100-20)÷25=3.2$，故答案为$\boldsymbol{3.2}$。
(2) 设水温下降过程中，水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3.2,100)$代入表达式，得：
$100=\frac{k}{3.2}$，解得$k=320$。
因此水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式为：
$y=\frac{320}{x}\quad(x≥3.2)$
(3) 加热阶段（$0≤ x≤3.2$）的函数表达式为$y=25x+20$。
令$y=40$，代入得$25x+20=40$，解得$x=0.8$。
在降温阶段，令$y=40$，代入$y=\frac{320}{x}$得$\frac{320}{x}=40$，解得$x=8$。
因此水温不低于$40°\mathrm{C}$的总时长为$8-0.8=7.2\ (\mathrm{min})$。
答：加热一次，水温不低于$40°\mathrm{C}$的时间为$7.2\ \mathrm{min}$。
解析
【分析】
（1）已知初始水温为20℃，升温速度为每分钟25℃，先计算从20℃到100℃需要升高的总温度，再除以升温速度即可得到加热时长。
（2）水温下降阶段为反比例函数，首先找到停止加热时的坐标点$(3.2,100)$，将其代入反比例函数的一般式求出参数$k$，再明确自变量的取值范围即可得到函数表达式。
（3）水温不低于40℃包含升温、降温两个阶段：先分别求出两个阶段中水温为40℃对应的通电时间，两个时间的差值就是符合要求的总时长。
【解析】
(1) 从20℃加热到100℃需要升高的温度为$100-20=80℃$，已知每分钟升温25℃，因此所需时间为$80÷25=3.2\ \mathrm{min}$。
(2) 设水温下降阶段的函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，停止加热时对应坐标为$(3.2,100)$，将该点代入表达式：
$100=\frac{k}{3.2}$，解得$k=3.2×100=320$。
降温阶段从$x=3.2$开始，因此自变量取值范围为$x≥3.2$，即降温阶段函数表达式为$y=\frac{320}{x}\ (x≥3.2)$。
(3) 加热阶段（$0≤ x≤3.2$）的函数表达式为$y=25x+20$：
① 加热阶段令$y=40$，代入得$25x+20=40$，解得$x=0.8$，即加热0.8min时水温达到40℃。
② 降温阶段令$y=40$，代入$y=\frac{320}{x}$得$\frac{320}{x}=40$，解得$x=8$，即通电8min时水温降到40℃。
因此水温不低于40℃的总时长为$8-0.8=7.2\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{320}{x}\ (x≥3.2)}$
(3) $\boldsymbol{7.2\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数求解
【点评】
本题结合生活中的饮水机水温变化场景，考查分段函数的实际应用，解题时需要分阶段分析函数关系，注意各阶段自变量的取值范围，侧重对函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）已知初始水温为20℃，升温速度为每分钟25℃，先计算从20℃到100℃需要升高的总温度，再除以升温速度即可得到加热时长。
（2）水温下降阶段为反比例函数，首先找到停止加热时的坐标点$(3.2,100)$，将其代入反比例函数的一般式求出参数$k$，再明确自变量的取值范围即可得到函数表达式。
（3）水温不低于40℃包含升温、降温两个阶段：先分别求出两个阶段中水温为40℃对应的通电时间，两个时间的差值就是符合要求的总时长。
【解析】
(1) 从20℃加热到100℃需要升高的温度为$100-20=80℃$，已知每分钟升温25℃，因此所需时间为$80÷25=3.2\ \mathrm{min}$。
(2) 设水温下降阶段的函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，停止加热时对应坐标为$(3.2,100)$，将该点代入表达式：
$100=\frac{k}{3.2}$，解得$k=3.2×100=320$。
降温阶段从$x=3.2$开始，因此自变量取值范围为$x≥3.2$，即降温阶段函数表达式为$y=\frac{320}{x}\ (x≥3.2)$。
(3) 加热阶段（$0≤ x≤3.2$）的函数表达式为$y=25x+20$：
① 加热阶段令$y=40$，代入得$25x+20=40$，解得$x=0.8$，即加热0.8min时水温达到40℃。
② 降温阶段令$y=40$，代入$y=\frac{320}{x}$得$\frac{320}{x}=40$，解得$x=8$，即通电8min时水温降到40℃。
因此水温不低于40℃的总时长为$8-0.8=7.2\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{320}{x}\ (x≥3.2)}$
(3) $\boldsymbol{7.2\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数求解
【点评】
本题结合生活中的饮水机水温变化场景，考查分段函数的实际应用，解题时需要分阶段分析函数关系，注意各阶段自变量的取值范围，侧重对函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0，k是常数)$的图象如图所示，矩形ABCD在第一象限内，AB平行于x轴，且AB=2，BC=1，点A的坐标为(2，1)。
（1）直接写出点B，C，D的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位长度，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求m的值和反比例函数的表达式。
（1）直接写出点B，C，D的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位长度，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求m的值和反比例函数的表达式。
答案
解：
(1) $B(4,1)$，$C(4,2)$，$D(2,2)$。
(2) 猜想平移后落在反比例函数图象上的两个点是点A和点C。
矩形向下平移$m$个单位长度后，点A的对应点坐标为$(2, 1-m)$，点C的对应点坐标为$(4, 2-m)$。
∵这两个点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入函数表达式可得：
$\begin{cases}k=2(1-m) \\k=4(2-m)\end{cases}$
联立得$2(1-m)=4(2-m)$，
解得$m=3$。
将$m=3$代入$k=2(1-m)$，得$k=-4$。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
(1) $B(4,1)$，$C(4,2)$，$D(2,2)$。
(2) 猜想平移后落在反比例函数图象上的两个点是点A和点C。
矩形向下平移$m$个单位长度后，点A的对应点坐标为$(2, 1-m)$，点C的对应点坐标为$(4, 2-m)$。
∵这两个点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入函数表达式可得：
$\begin{cases}k=2(1-m) \\k=4(2-m)\end{cases}$
联立得$2(1-m)=4(2-m)$，
解得$m=3$。
将$m=3$代入$k=2(1-m)$，得$k=-4$。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
解析
【分析】
（1）求解点B、C、D的坐标：已知点A坐标，结合矩形的边的特点，AB平行x轴则A、B纵坐标相等，AB长度为2可求B的横坐标；BC垂直AB，长度为1可求C的坐标，D点坐标可结合A、C的坐标直接得到。
（2）求解m和反比例函数表达式：首先明确平移规律：向下平移m个单位，各点横坐标不变，纵坐标减m。反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于定值k，可先排除不可能的点对：若两点横坐标相同或纵坐标相同，横纵坐标乘积一定不相等，仅A和C两点横、纵坐标均不同，有可能乘积相等，因此确定这两个点为A、C，再代入k=xy列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵AB平行于x轴，点A的坐标为(2,1)，AB=2，
∴点B的纵坐标与A相同为1，横坐标为$2+2=4$，即$B(4,1)$。
∵四边形ABCD是矩形，BC⊥AB，BC=1，
∴点C的横坐标与B相同为4，纵坐标为$1+1=2$，即$C(4,2)$。
点D的横坐标与A相同为2，纵坐标与C相同为2，即$D(2,2)$。
(2) 猜想平移后落在反比例函数图象上的两个点是点A和点C。
矩形向下平移$m$个单位长度后，点A的对应点坐标为$(2, 1-m)$，点C的对应点坐标为$(4, 2-m)$。
∵两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，即$k=xy$，
∴可列方程组：$\begin{cases}k=2(1-m) \\k=4(2-m)\end{cases}$
联立得：$2(1-m)=4(2-m)$
展开得：$2-2m=8-4m$
移项合并同类项得：$2m=6$
解得：$m=3$。
将$m=3$代入$k=2(1-m)$，得$k=2×(1-3)=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) $B(4,1)$，$C(4,2)$，$D(2,2)$；
(2) 落在反比例函数图象上的两个点是A和C，$m=3$，反比例函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【知识点】
矩形的坐标特征；平移的坐标变化；反比例函数的性质
【点评】
本题属于坐标系与函数的基础综合题，将矩形性质、平移规律和反比例函数的特点结合考查，解题的关键是利用反比例函数$k=xy$为定值的特点筛选出符合条件的点，再通过方程求解参数，兼顾了对学生推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求解点B、C、D的坐标：已知点A坐标，结合矩形的边的特点，AB平行x轴则A、B纵坐标相等，AB长度为2可求B的横坐标；BC垂直AB，长度为1可求C的坐标，D点坐标可结合A、C的坐标直接得到。
（2）求解m和反比例函数表达式：首先明确平移规律：向下平移m个单位，各点横坐标不变，纵坐标减m。反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于定值k，可先排除不可能的点对：若两点横坐标相同或纵坐标相同，横纵坐标乘积一定不相等，仅A和C两点横、纵坐标均不同，有可能乘积相等，因此确定这两个点为A、C，再代入k=xy列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵AB平行于x轴，点A的坐标为(2,1)，AB=2，
∴点B的纵坐标与A相同为1，横坐标为$2+2=4$，即$B(4,1)$。
∵四边形ABCD是矩形，BC⊥AB，BC=1，
∴点C的横坐标与B相同为4，纵坐标为$1+1=2$，即$C(4,2)$。
点D的横坐标与A相同为2，纵坐标与C相同为2，即$D(2,2)$。
(2) 猜想平移后落在反比例函数图象上的两个点是点A和点C。
矩形向下平移$m$个单位长度后，点A的对应点坐标为$(2, 1-m)$，点C的对应点坐标为$(4, 2-m)$。
∵两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，即$k=xy$，
∴可列方程组：$\begin{cases}k=2(1-m) \\k=4(2-m)\end{cases}$
联立得：$2(1-m)=4(2-m)$
展开得：$2-2m=8-4m$
移项合并同类项得：$2m=6$
解得：$m=3$。
将$m=3$代入$k=2(1-m)$，得$k=2×(1-3)=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) $B(4,1)$，$C(4,2)$，$D(2,2)$；
(2) 落在反比例函数图象上的两个点是A和C，$m=3$，反比例函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【知识点】
矩形的坐标特征；平移的坐标变化；反比例函数的性质
【点评】
本题属于坐标系与函数的基础综合题，将矩形性质、平移规律和反比例函数的特点结合考查，解题的关键是利用反比例函数$k=xy$为定值的特点筛选出符合条件的点，再通过方程求解参数，兼顾了对学生推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
