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8. 在平面直角坐标系中，若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限，且在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，则点C的坐标是。
答案
解：
∵ 四边形AOBC是正方形，点C在第一象限，边OA、OB在坐标轴上，
∴ 点C的横、纵坐标相等，设$C(a,a)$，其中$a＞0$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
将$x=a$，$y=a$代入$y=\frac{1}{x}$，得：
$a=\frac{1}{a}$，
即$a^2=1$，
又∵ $a＞0$，
∴ $a=1$，
∴ 点C的坐标是$(1,1)$。
∵ 四边形AOBC是正方形，点C在第一象限，边OA、OB在坐标轴上，
∴ 点C的横、纵坐标相等，设$C(a,a)$，其中$a＞0$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
将$x=a$，$y=a$代入$y=\frac{1}{x}$，得：
$a=\frac{1}{a}$，
即$a^2=1$，
又∵ $a＞0$，
∴ $a=1$，
∴ 点C的坐标是$(1,1)$。
解析
【分析】
本题是正方形性质与反比例函数的结合题，解题思路如下：首先根据正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上、顶点C在第一象限的特征，由正方形边长相等可推出点C的横、纵坐标相等；接着设出点C的坐标，利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将坐标代入表达式求解参数，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 四边形AOBC是正方形，点C在第一象限，边OA、OB在坐标轴上，
∴ 点C的横、纵坐标相等，设$C(a,a)$，其中$a＞0$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
将$x=a$，$y=a$代入$y=\frac{1}{x}$，得：
$a=\frac{1}{a}$，
即$a^2=1$，
又
∵ $a＞0$，
∴ $a=1$，
∴ 点C的坐标是$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合正方形性质得出点C横纵坐标相等的关系，再代入反比例函数解析式求解，主要考查学生对基础知识点的综合运用能力，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
本题是正方形性质与反比例函数的结合题，解题思路如下：首先根据正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上、顶点C在第一象限的特征，由正方形边长相等可推出点C的横、纵坐标相等；接着设出点C的坐标，利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将坐标代入表达式求解参数，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 四边形AOBC是正方形，点C在第一象限，边OA、OB在坐标轴上，
∴ 点C的横、纵坐标相等，设$C(a,a)$，其中$a＞0$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
将$x=a$，$y=a$代入$y=\frac{1}{x}$，得：
$a=\frac{1}{a}$，
即$a^2=1$，
又
∵ $a＞0$，
∴ $a=1$，
∴ 点C的坐标是$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合正方形性质得出点C横纵坐标相等的关系，再代入反比例函数解析式求解，主要考查学生对基础知识点的综合运用能力，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
9. 在平面直角坐标系中，将点A(2，3)向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象上，则k的值是。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
解决这道题可分两步思考：第一步，先依据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点B的坐标，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度；第二步，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点B的坐标代入反比例函数表达式，解关于k的一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
点A(2,3)向下平移5个单位长度，横坐标保持不变，纵坐标减5，因此点B的纵坐标为$3-5=-2$，横坐标为2，即$B(2,-2)$。
2. 代入反比例函数解析式求k：
因为点B在反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象上，所以将$x=2,y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k-1}{2}$
等式两边同时乘2得：$-4=k-1$
移项解得：$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
点的平移规律，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平移的性质和反比例函数的基本性质，解题关键是正确求出平移后的点坐标，再代入解析式计算，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解决这道题可分两步思考：第一步，先依据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点B的坐标，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度；第二步，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点B的坐标代入反比例函数表达式，解关于k的一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
点A(2,3)向下平移5个单位长度，横坐标保持不变，纵坐标减5，因此点B的纵坐标为$3-5=-2$，横坐标为2，即$B(2,-2)$。
2. 代入反比例函数解析式求k：
因为点B在反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象上，所以将$x=2,y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k-1}{2}$
等式两边同时乘2得：$-4=k-1$
移项解得：$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
点的平移规律，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平移的性质和反比例函数的基本性质，解题关键是正确求出平移后的点坐标，再代入解析式计算，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
10. 已知点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$x_1 - x_2 = -3$，且$\frac{1}{y_1} = \frac{1}{y_2} - \frac{3}{4}$，则$k$的值是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
点在反比例函数图象上时，坐标满足函数解析式，因此可先将$x_1$、$x_2$转化为含$k$和对应$y$值的表达式，再代入$x_1-x_2=-3$的等式，将式子变形为含有$\frac{1}{y_1}$和$\frac{1}{y_2}$的形式，最后结合题目给出的$\frac{1}{y_1}$与$\frac{1}{y_2}$的数量关系，整体代入即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$，变形得$x_1=\frac{k}{y_1}$，$x_2=\frac{k}{y_2}$
将上述表达式代入$x_1 - x_2 = -3$，可得：
$\frac{k}{y_1} - \frac{k}{y_2} = -3$
提取公因式$k$得：$k(\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}) = -3$
由已知条件$\frac{1}{y_1} = \frac{1}{y_2} - \frac{3}{4}$，移项得：$\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2} = -\frac{3}{4}$
将上式代入$k(\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}) = -3$，得：
$k × (-\frac{3}{4}) = -3$
解得：$k = (-3) ÷ (-\frac{3}{4}) = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数图象性质；代数式变形；整体代入求值
【点评】
本题核心是利用反比例函数图象上点的坐标特征建立等式，结合已知条件整体代入求解，解题关键是灵活变形函数解析式，将未知量转化为已知的等量关系形式，考查学生的代数变形能力和整体代换思想。
【难度系数】
0.7
点在反比例函数图象上时，坐标满足函数解析式，因此可先将$x_1$、$x_2$转化为含$k$和对应$y$值的表达式，再代入$x_1-x_2=-3$的等式，将式子变形为含有$\frac{1}{y_1}$和$\frac{1}{y_2}$的形式，最后结合题目给出的$\frac{1}{y_1}$与$\frac{1}{y_2}$的数量关系，整体代入即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$，变形得$x_1=\frac{k}{y_1}$，$x_2=\frac{k}{y_2}$
将上述表达式代入$x_1 - x_2 = -3$，可得：
$\frac{k}{y_1} - \frac{k}{y_2} = -3$
提取公因式$k$得：$k(\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}) = -3$
由已知条件$\frac{1}{y_1} = \frac{1}{y_2} - \frac{3}{4}$，移项得：$\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2} = -\frac{3}{4}$
将上式代入$k(\frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}) = -3$，得：
$k × (-\frac{3}{4}) = -3$
解得：$k = (-3) ÷ (-\frac{3}{4}) = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数图象性质；代数式变形；整体代入求值
【点评】
本题核心是利用反比例函数图象上点的坐标特征建立等式，结合已知条件整体代入求解，解题关键是灵活变形函数解析式，将未知量转化为已知的等量关系形式，考查学生的代数变形能力和整体代换思想。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，有点$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1+S_2+S_3=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据反比例函数解析式，求出$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$四个点的纵坐标；观察图形可知每个阴影部分都是宽为1的矩形，矩形的高等于相邻两个点的纵坐标之差，既可以分别计算三个阴影的面积再求和，也可以用平移法将三块阴影向左平移拼接成一个完整矩形，直接计算总面积简化运算。
【解析】
步骤1：求各点的纵坐标
将x=1、x=2、x=3、x=4分别代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$P_1$的纵坐标$y_1=\frac{2}{1}=2$，
$P_2$的纵坐标$y_2=\frac{2}{2}=1$，
$P_3$的纵坐标$y_3=\frac{2}{3}$，
$P_4$的纵坐标$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
步骤2：计算阴影总面积
方法一：分别计算各阴影面积
每个阴影矩形的水平边长均为$2-1=3-2=4-3=1$，则：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$，
因此$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
方法二：平移法
将$S_2$、$S_3$向左平移到x=0到x=1的区间内，三块阴影拼接为长为1，高为$y_1-y_4$的矩形，因此总面积$=1×(2-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，矩形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象考查面积计算，既可以分步计算各部分面积，也可以通过平移拼接简化运算，灵活选择方法可以提升解题效率，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据反比例函数解析式，求出$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$四个点的纵坐标；观察图形可知每个阴影部分都是宽为1的矩形，矩形的高等于相邻两个点的纵坐标之差，既可以分别计算三个阴影的面积再求和，也可以用平移法将三块阴影向左平移拼接成一个完整矩形，直接计算总面积简化运算。
【解析】
步骤1：求各点的纵坐标
将x=1、x=2、x=3、x=4分别代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$P_1$的纵坐标$y_1=\frac{2}{1}=2$，
$P_2$的纵坐标$y_2=\frac{2}{2}=1$，
$P_3$的纵坐标$y_3=\frac{2}{3}$，
$P_4$的纵坐标$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
步骤2：计算阴影总面积
方法一：分别计算各阴影面积
每个阴影矩形的水平边长均为$2-1=3-2=4-3=1$，则：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$，
因此$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
方法二：平移法
将$S_2$、$S_3$向左平移到x=0到x=1的区间内，三块阴影拼接为长为1，高为$y_1-y_4$的矩形，因此总面积$=1×(2-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，矩形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象考查面积计算，既可以分步计算各部分面积，也可以通过平移拼接简化运算，灵活选择方法可以提升解题效率，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
12. 已知一次函数 $ y_1 = kx + b (k ＜ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} (x ＜ 0) $ 的图象相交于点 $ A(-3, a) $，$ B(-1, c) $，不等式 $ kx ＜ \frac{m}{x} - b $ 的解集是 。
答案
解：将不等式 $kx ＜ \frac{m}{x} - b$ 移项变形，可得
$kx + b ＜ \frac{m}{x}$
即 $y_1 ＜ y_2$。
已知一次函数 $y_1=kx+b$（$k＜0$）与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＜0)$ 的图象在 $x＜0$ 区域交于点 $A(-3,a)$、$B(-1,c)$，结合函数增减性分析：
$k＜0$，$y_1$ 随 $x$ 增大而减小；
反比例函数在 $x＜0$ 区间内，随 $x$ 增大而增大。
因此当 $-3＜x＜-1$ 时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足 $y_1 ＜ y_2$。
不等式 $kx ＜ \frac{m}{x} - b$ 的解集是 $\boldsymbol{-3 ＜ x ＜ -1}$。
$kx + b ＜ \frac{m}{x}$
即 $y_1 ＜ y_2$。
已知一次函数 $y_1=kx+b$（$k＜0$）与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＜0)$ 的图象在 $x＜0$ 区域交于点 $A(-3,a)$、$B(-1,c)$，结合函数增减性分析：
$k＜0$，$y_1$ 随 $x$ 增大而减小；
反比例函数在 $x＜0$ 区间内，随 $x$ 增大而增大。
因此当 $-3＜x＜-1$ 时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足 $y_1 ＜ y_2$。
不等式 $kx ＜ \frac{m}{x} - b$ 的解集是 $\boldsymbol{-3 ＜ x ＜ -1}$。
解析
【分析】
遇到一次函数与反比例函数结合的不等式求解问题，首先要将不等式变形，转化为两个函数值比较大小的形式。本题先把原不等式移项得到$kx+b ＜ \frac{m}{x}$，即求$y_1 ＜ y_2$时$x$的取值范围。接下来结合已知的两个交点坐标，以及一次函数、反比例函数的增减性，判断在$x＜0$的范围内，一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的$x$区间，就是不等式的解集。
【解析】
将不等式 $kx ＜ \frac{m}{x} - b$ 移项变形，可得
$kx + b ＜ \frac{m}{x}$
即 $y_1 ＜ y_2$。
已知一次函数 $y_1=kx+b$（$k＜0$）与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＜0)$ 的图象在 $x＜0$ 区域交于点 $A(-3,a)$、$B(-1,c)$，结合函数增减性分析：
$k＜0$，一次函数$y_1$ 随 $x$ 增大而减小；
反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$在 $x＜0$ 区间内，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
因此当 $-3＜x＜-1$ 时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足 $y_1 ＜ y_2$，同时符合$x＜0$的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{-3 ＜ x ＜ -1}$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数与不等式
【点评】
本题将不等式求解与函数性质结合，解题关键是把不等式转化为函数值大小比较问题，通过函数图象的位置关系结合增减性求解，做题时要注意题目给出的自变量取值范围，避免多解漏解。
【难度系数】
0.6
遇到一次函数与反比例函数结合的不等式求解问题，首先要将不等式变形，转化为两个函数值比较大小的形式。本题先把原不等式移项得到$kx+b ＜ \frac{m}{x}$，即求$y_1 ＜ y_2$时$x$的取值范围。接下来结合已知的两个交点坐标，以及一次函数、反比例函数的增减性，判断在$x＜0$的范围内，一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的$x$区间，就是不等式的解集。
【解析】
将不等式 $kx ＜ \frac{m}{x} - b$ 移项变形，可得
$kx + b ＜ \frac{m}{x}$
即 $y_1 ＜ y_2$。
已知一次函数 $y_1=kx+b$（$k＜0$）与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＜0)$ 的图象在 $x＜0$ 区域交于点 $A(-3,a)$、$B(-1,c)$，结合函数增减性分析：
$k＜0$，一次函数$y_1$ 随 $x$ 增大而减小；
反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$在 $x＜0$ 区间内，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
因此当 $-3＜x＜-1$ 时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足 $y_1 ＜ y_2$，同时符合$x＜0$的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{-3 ＜ x ＜ -1}$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数与不等式
【点评】
本题将不等式求解与函数性质结合，解题关键是把不等式转化为函数值大小比较问题，通过函数图象的位置关系结合增减性求解，做题时要注意题目给出的自变量取值范围，避免多解漏解。
【难度系数】
0.6
13. 已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0, k$ 是常数$)$，当 $1≤ x≤ 3$ 时，函数 $y$ 的最大值和最小值之差为 4，求 $k$ 的值.
答案
解：
∵ $k＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
∴ 当$1≤x≤3$时，
$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{max}=k$，
$x=3$时，$y$取得最小值，$y_{min}=\frac{k}{3}$。
根据题意列方程得：
$k - \frac{k}{3}=4$
解得$k=6$。
∵ $k＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
∴ 当$1≤x≤3$时，
$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{max}=k$，
$x=3$时，$y$取得最小值，$y_{min}=\frac{k}{3}$。
根据题意列方程得：
$k - \frac{k}{3}=4$
解得$k=6$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的增减性与系数k的关系：当k＞0时，反比例函数在x＞0的区间内，y随x的增大而减小。本题中自变量取值范围1≤x≤3均为正数，因此可以根据增减性确定该区间内函数最大值、最小值对应的x值，再结合“最大值和最小值之差为4”的条件列方程，即可求解k的值。
【解析】
∵ $k＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
∴ 当$1≤x≤3$时，
$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{max}=k$，
$x=3$时，$y$取得最小值，$y_{min}=\frac{k}{3}$。
根据题意列方程得：
$k - \frac{k}{3}=4$
解得$k=6$。
【答案】
$k=6$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是结合k的正负判断函数增减性，再根据自变量的取值范围准确定位最值对应的自变量取值，最后根据等量关系列方程求解即可，解题时要注意不要记错k正负对应的增减性规律。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数的增减性与系数k的关系：当k＞0时，反比例函数在x＞0的区间内，y随x的增大而减小。本题中自变量取值范围1≤x≤3均为正数，因此可以根据增减性确定该区间内函数最大值、最小值对应的x值，再结合“最大值和最小值之差为4”的条件列方程，即可求解k的值。
【解析】
∵ $k＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
∴ 当$1≤x≤3$时，
$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{max}=k$，
$x=3$时，$y$取得最小值，$y_{min}=\frac{k}{3}$。
根据题意列方程得：
$k - \frac{k}{3}=4$
解得$k=6$。
【答案】
$k=6$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是结合k的正负判断函数增减性，再根据自变量的取值范围准确定位最值对应的自变量取值，最后根据等量关系列方程求解即可，解题时要注意不要记错k正负对应的增减性规律。
【难度系数】
0.7
