16. 已知一块矩形草坪的两边长分别是2 m与3 m，现在要把这个草坪的面积扩大到原来的2倍，设原矩形的一边加长a m，另一边长加长b m，可得a与b之间的函数表达式$b=\frac{12}{a+3}-2$. 某班数学兴趣小组对此函数进一步推广，得到更一般的函数$y=\frac{12}{x+3}-2$，现对这个函数的图象(如图)和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数$y=\frac{12}{x+3}-2$的自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是.
（2）数学兴趣小组进一步研究函数$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象和性质，请根据函数$y=\frac{12}{x+3}-2$的图象，画出函数$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象.
（3）结合函数$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象解答下列问题：
① 求出方程$\left|\frac{12}{x+3}-2\right|=0$的根；
② 如果方程$\left|\frac{12}{x+3}-2\right|=a$有2个实数根，请直接写出a的取值范围.

解：
（1）由分母不为0得$x+3≠0$，即$x≠-3$；
因为$\frac{12}{x+3}≠0$，所以$y=\frac{12}{x+3}-2≠-2$。
故自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠-3}$，函数值$y$的取值范围是$\boldsymbol{y≠-2}$。
（2）将函数$y=\frac{12}{x+3}-2$的图象中位于$x$轴下方的部分沿$x$轴翻折至$x$轴上方，保留$x$轴上方的原有图象，即可得到函数$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象。
（3）① 解方程$\left|\frac{12}{x+3}-2\right|=0$：
即$\frac{12}{x+3}-2=0$，
两边同乘$x+3$得$12-2(x+3)=0$，
化简得$6-2x=0$，
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x+3=6≠0$，故$x=3$是原方程的根。
② $a$的取值范围是$\boldsymbol{a＞0且a≠2}$。

【分析】
（1）对于分式型函数，自变量取值首先满足分母不为0，据此可求x的范围；由于分式的分子不为0，因此分式部分不可能为0，进而可推导函数值y的取值范围。
（2）绝对值的作用是将负数变为正数，对应图象变换规律为：保留原函数x轴上方的图象，将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，即可得到所求函数图象。
（3）①绝对值等于0时，仅当绝对值内部的表达式等于0，据此转化为分式方程求解，注意分式方程需要验根；②将方程根的个数问题转化为直线y=a与函数图象的交点个数问题，结合图象特征即可得到a的取值范围。
【解析】
（1）要使函数$y=\frac{12}{x+3}-2$有意义，需满足分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$；
因为$\frac{12}{x+3}$的分子为12≠0，因此$\frac{12}{x+3}≠0$，故$y=\frac{12}{x+3}-2≠-2$。
（2）将函数$y=\frac{12}{x+3}-2$的图象中位于x轴下方的部分沿x轴翻折至x轴上方，保留x轴上方的原有图象，即可得到函数$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象。
（3）① 解方程$\left|\frac{12}{x+3}-2\right|=0$：
由绝对值的性质可得$\frac{12}{x+3}-2=0$，
两边同乘$x+3$得$12-2(x+3)=0$，
化简得$6-2x=0$，解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x+3=6≠0$，故$x=3$是原方程的根。
② 结合$y=\left|\frac{12}{x+3}-2\right|$的图象可知：当$a＞0$且$a≠2$时，直线$y=a$与函数图象有2个交点，即方程有2个实数根。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x≠-3}$；$\boldsymbol{y≠-2}$
（2）见解析中的图象变换方法，画图略
（3）① $\boldsymbol{x=3}$；② $\boldsymbol{a＞0且a≠2}$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 绝对值函数图象变换
3. 函数与方程的关系
【点评】
本题以反比例函数的平移为载体，综合考察了函数的定义域、值域求解，图象变换规律，以及利用数形结合思想分析方程根的个数问题，需要熟练掌握分式的性质和绝对值的几何意义，提升数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65