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1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况：$\Delta=$
$b^2-4ac$
.当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根
；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根
；当$\Delta＜0$时，无实数根
.答案
1. $\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，无实数根。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，解题时首先回忆根的判别式的定义：我们把用一元二次方程二次项系数a、一次项系数b、常数项c表示的，用来判断根的情况的式子叫做判别式，记作Δ；再对应记忆Δ取不同取值范围时，分别对应的根的三种情况即可完成作答。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关概念：
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$；
2. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
3. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
4. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【答案】
$b^2-4ac$；有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；无实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础概念识记类题目，是一元二次方程模块的核心基础知识点，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程、解决根的相关应用问题的前提，需准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，解题时首先回忆根的判别式的定义：我们把用一元二次方程二次项系数a、一次项系数b、常数项c表示的，用来判断根的情况的式子叫做判别式，记作Δ；再对应记忆Δ取不同取值范围时，分别对应的根的三种情况即可完成作答。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关概念：
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$；
2. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
3. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
4. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【答案】
$b^2-4ac$；有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；无实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础概念识记类题目，是一元二次方程模块的核心基础知识点，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程、解决根的相关应用问题的前提，需准确记忆。
【难度系数】
0.9
2. 不解方程，判别下列方程根的情况.
（1）$x^2+2x-1=0$，因为$\Delta=$，所以原方程；
（2）$16x^2+9=-24x$，因为$\Delta=$，所以原方程；
（3）$5(x^2+1)-6x=0$，因为$\Delta=$，所以原方程.
（1）$x^2+2x-1=0$，因为$\Delta=$，所以原方程；
（2）$16x^2+9=-24x$，因为$\Delta=$，所以原方程；
（3）$5(x^2+1)-6x=0$，因为$\Delta=$，所以原方程.
答案
2. (1) $\Delta=8＞0$，原方程有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=0$，原方程有两个相等的实数根；(3) $\Delta=-64＜0$，原方程无实数根。
解析
【分析】
判别一元二次方程根的情况需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的一般形式；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带符号；③代入公式计算$\Delta$的结果；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
（1）方程$x^2+2x-1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$，
代入判别式得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
（2）先将方程$16x^2+9=-24x$移项整理为一般形式：$16x^2+24x+9=0$，其中$a=16$，$b=24$，$c=9$，
代入判别式得：$\Delta = 24^2 - 4×16×9 = 576 - 576 = 0$，因此原方程有两个相等的实数根。
（3）先将方程$5(x^2+1)-6x=0$去括号、移项整理为一般形式：$5x^2-6x+5=0$，其中$a=5$，$b=-6$，$c=5$，
代入判别式得：$\Delta = (-6)^2 - 4×5×5 = 36 - 100 = -64 ＜ 0$，因此原方程无实数根。
【答案】
(1) $\Delta=8＞0$，有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=0$，有两个相等的实数根；(3) $\Delta=-64＜0$，无实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题时要注意先将方程化为一般形式再确定系数，计算过程中要留意系数的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
判别一元二次方程根的情况需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的一般形式；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带符号；③代入公式计算$\Delta$的结果；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
（1）方程$x^2+2x-1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$，
代入判别式得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
（2）先将方程$16x^2+9=-24x$移项整理为一般形式：$16x^2+24x+9=0$，其中$a=16$，$b=24$，$c=9$，
代入判别式得：$\Delta = 24^2 - 4×16×9 = 576 - 576 = 0$，因此原方程有两个相等的实数根。
（3）先将方程$5(x^2+1)-6x=0$去括号、移项整理为一般形式：$5x^2-6x+5=0$，其中$a=5$，$b=-6$，$c=5$，
代入判别式得：$\Delta = (-6)^2 - 4×5×5 = 36 - 100 = -64 ＜ 0$，因此原方程无实数根。
【答案】
(1) $\Delta=8＞0$，有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=0$，有两个相等的实数根；(3) $\Delta=-64＜0$，无实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题时要注意先将方程化为一般形式再确定系数，计算过程中要留意系数的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
3. 若一元二次方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则a的取值范围为
$a＜\dfrac{9}{8}且a≠0$
。答案
3. $a＜\dfrac{9}{8}且a≠0$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次方程有两个不相等的实数根，需用到根的判别式的性质：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。我们先写出判别式表达式，解不等式，最后合并两个限制条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数$a≠0$
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a×2 = 9 - 8a ＞ 0$
解不等式$9-8a＞0$：
移项得$8a ＜ 9$，解得$a ＜ \frac{9}{8}$
结合$a≠0$的前提条件，最终$a$的取值范围是$a ＜ \frac{9}{8}$且$a≠0$
【答案】
$a＜\dfrac{9}{8}且a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式的性质求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次方程有两个不相等的实数根，需用到根的判别式的性质：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。我们先写出判别式表达式，解不等式，最后合并两个限制条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数$a≠0$
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a×2 = 9 - 8a ＞ 0$
解不等式$9-8a＞0$：
移项得$8a ＜ 9$，解得$a ＜ \frac{9}{8}$
结合$a≠0$的前提条件，最终$a$的取值范围是$a ＜ \frac{9}{8}$且$a≠0$
【答案】
$a＜\dfrac{9}{8}且a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式的性质求解。
【难度系数】
0.7
4. 一元二次方程$x^2 + bx -1=0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
答案
4. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式Δ求解，思考步骤如下：1. 先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中对应的二次项系数a、一次项系数、常数项c，注意常数项的符号；2. 代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果；3. 结合平方的非负性判断Δ的正负，再根据Δ的取值对应根的情况得出结论：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，得：
$\Delta = b^2 - 4×1×(-1) = b^2 + 4$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，
∴ $b^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$。
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式并判断其符号即可得到答案。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式Δ求解，思考步骤如下：1. 先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中对应的二次项系数a、一次项系数、常数项c，注意常数项的符号；2. 代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果；3. 结合平方的非负性判断Δ的正负，再根据Δ的取值对应根的情况得出结论：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，得：
$\Delta = b^2 - 4×1×(-1) = b^2 + 4$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，
∴ $b^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$。
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式并判断其符号即可得到答案。
【难度系数】
0.9
5. 已知方程$x^2 + 2x + \Delta = 0$，若该方程有两个不相等的实数根，则$\Delta$可以是 （
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$2$
A
）A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$2$
答案
5. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：判别式大于0。首先注意区分题目中的常数项$\Delta$和根的判别式，先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项（即题目中的$\Delta$）的取值，代入判别式公式列出关于$\Delta$的不等式，解不等式得到$\Delta$的取值范围，再对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta_{\mathrm{判}}=b^2-4ac$，当$\Delta_{\mathrm{判}}＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
本题中方程为$x^2+2x+\Delta=0$，其中$a=1$，$b=2$，常数项$c=\Delta$，结合题意列不等式：
$\begin{aligned}b^2-4ac&＞0\\2^2 - 4×1×\Delta &＞0\\4-4\Delta&＞0\\-4\Delta&＞-4\\\Delta&＜1\end{aligned}$
对比四个选项，只有$-\dfrac{1}{2}＜1$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意区分题目中的常数项$\Delta$和根的判别式，避免概念混淆出错，只要牢记判别式与根的对应关系，正确求解不等式即可得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：判别式大于0。首先注意区分题目中的常数项$\Delta$和根的判别式，先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项（即题目中的$\Delta$）的取值，代入判别式公式列出关于$\Delta$的不等式，解不等式得到$\Delta$的取值范围，再对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta_{\mathrm{判}}=b^2-4ac$，当$\Delta_{\mathrm{判}}＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
本题中方程为$x^2+2x+\Delta=0$，其中$a=1$，$b=2$，常数项$c=\Delta$，结合题意列不等式：
$\begin{aligned}b^2-4ac&＞0\\2^2 - 4×1×\Delta &＞0\\4-4\Delta&＞0\\-4\Delta&＞-4\\\Delta&＜1\end{aligned}$
对比四个选项，只有$-\dfrac{1}{2}＜1$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意区分题目中的常数项$\Delta$和根的判别式，避免概念混淆出错，只要牢记判别式与根的对应关系，正确求解不等式即可得出答案。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于$x$的一元二次方程$(m^2 - 2)x^2 - 4x + 2 = 0$有两个相等的实数根，那么$m$的取值范围是（
A.$m=4$或$-4$
B.$m≤2$且$m≠\sqrt{2}$
C.$m≥-2$且$m≠2$
D.$m=2$或$m=-2$
D
）A.$m=4$或$-4$
B.$m≤2$且$m≠\sqrt{2}$
C.$m≥-2$且$m≠2$
D.$m=2$或$m=-2$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干两个关键条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ=0。我们先根据Δ=0列方程求解m的可能值，再验证所得m是否满足二次项系数不为0的要求，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$(m^2 - 2)x^2 - 4x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数 $m^2 - 2 ≠ 0$ （1）
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a = m^2 - 2$，$b = -4$，$c = 2$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× (m^2 - 2) × 2 = 0$
计算得：$16 - 8(m^2 - 2) = 0$
展开化简：$16 - 8m^2 + 16 = 0$
$32 - 8m^2 = 0$
解得$m^2 = 4$，即$m = 2$或$m = -2$
将$m=\pm2$代入（1）验证：$m^2 -2 = 4-2=2≠0$，符合一元二次方程的要求。
因此m的取值为$m=2$或$m=-2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需注意题干明确给出“一元二次方程”的前提，不要忽略二次项系数不为0的隐含要求，结合判别式的性质列式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干两个关键条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ=0。我们先根据Δ=0列方程求解m的可能值，再验证所得m是否满足二次项系数不为0的要求，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$(m^2 - 2)x^2 - 4x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数 $m^2 - 2 ≠ 0$ （1）
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a = m^2 - 2$，$b = -4$，$c = 2$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× (m^2 - 2) × 2 = 0$
计算得：$16 - 8(m^2 - 2) = 0$
展开化简：$16 - 8m^2 + 16 = 0$
$32 - 8m^2 = 0$
解得$m^2 = 4$，即$m = 2$或$m = -2$
将$m=\pm2$代入（1）验证：$m^2 -2 = 4-2=2≠0$，符合一元二次方程的要求。
因此m的取值为$m=2$或$m=-2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需注意题干明确给出“一元二次方程”的前提，不要忽略二次项系数不为0的隐含要求，结合判别式的性质列式求解即可。
【难度系数】
0.7
7. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx + k - 2 = 0$的实数根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
答案
7. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的实数根情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时第一步先确定方程中a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的取值，第二步代入计算$\Delta$的表达式，第三步通过配方结合非负数的性质判断$\Delta$的符号，最终对应得出根的情况即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + kx + k - 2 = 0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=k-2$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(k-2)$
$= k^2 - 4k + 8$
对判别式配方整理：
$\Delta = (k^2 - 4k + 4) + 4 = (k-2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(k-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(k-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法的应用
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程根的情况判断，解题关键是准确计算判别式，结合非负数的性质确定判别式的符号，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的实数根情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时第一步先确定方程中a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的取值，第二步代入计算$\Delta$的表达式，第三步通过配方结合非负数的性质判断$\Delta$的符号，最终对应得出根的情况即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + kx + k - 2 = 0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=k-2$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(k-2)$
$= k^2 - 4k + 8$
对判别式配方整理：
$\Delta = (k^2 - 4k + 4) + 4 = (k-2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(k-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(k-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法的应用
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程根的情况判断，解题关键是准确计算判别式，结合非负数的性质确定判别式的符号，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
8. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 - \sqrt{k+1}x +1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＜\dfrac{5}{3}$
B.$k＜\dfrac{5}{3}$且$k≠1$
C.$-1≤k＜\dfrac{5}{3}$
D.$-1≤k＜\dfrac{5}{3}$且$k≠1$
D
）A.$k＜\dfrac{5}{3}$
B.$k＜\dfrac{5}{3}$且$k≠1$
C.$-1≤k＜\dfrac{5}{3}$
D.$-1≤k＜\dfrac{5}{3}$且$k≠1$
答案
8. D
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的三个隐含条件逐步推导：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程中含有二次根式$\sqrt{k+1}$，需满足被开方数非负才有意义；最后，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。将三个条件对应的k的范围求出后，取公共部分即为最终k的取值范围。
【解析】
根据题意需同时满足以下三个条件：
1. 一元二次方程二次项系数不为0：
$k-1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$；
2. 二次根式被开方数非负：
$k+1 ≥ 0$，解得 $k ≥ -1$；
3. 有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k-1$，$b=-\sqrt{k+1}$，$c=1$：
$\begin{aligned}\Delta&=(-\sqrt{k+1})^2 - 4×(k-1)×1\\&=k+1 - 4k + 4\\&=-3k + 5 ＞ 0\end{aligned}$
解得 $k ＜ \frac{5}{3}$。
综上，三个条件取交集得k的取值范围是$-1≤ k ＜ \frac{5}{3}$且$k≠1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，仅通过判别式求范围导致出错，遇到此类问题要先梳理所有隐含限制条件，再取各范围的公共部分得到最终结果。
【难度系数】
0.6
要确定k的取值范围，需结合题目给出的三个隐含条件逐步推导：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程中含有二次根式$\sqrt{k+1}$，需满足被开方数非负才有意义；最后，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。将三个条件对应的k的范围求出后，取公共部分即为最终k的取值范围。
【解析】
根据题意需同时满足以下三个条件：
1. 一元二次方程二次项系数不为0：
$k-1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$；
2. 二次根式被开方数非负：
$k+1 ≥ 0$，解得 $k ≥ -1$；
3. 有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k-1$，$b=-\sqrt{k+1}$，$c=1$：
$\begin{aligned}\Delta&=(-\sqrt{k+1})^2 - 4×(k-1)×1\\&=k+1 - 4k + 4\\&=-3k + 5 ＞ 0\end{aligned}$
解得 $k ＜ \frac{5}{3}$。
综上，三个条件取交集得k的取值范围是$-1≤ k ＜ \frac{5}{3}$且$k≠1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，仅通过判别式求范围导致出错，遇到此类问题要先梳理所有隐含限制条件，再取各范围的公共部分得到最终结果。
【难度系数】
0.6
9. 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a$，$b$，$c$为常数，且$a≠0$），有下列说法：① 若$a + b + c = 0$，则方程必有一根为$x = 1$；② 当$c = 0$时，方程至少有一个根为$x = 0$；③ 若$a + c = 0$，则方程一定有两个不相等的实数根；④ 若方程的两个根互为相反数，则$b = 0$。其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. D
解析
【分析】
我们需要逐个验证4个结论的正确性：①利用方程根的定义，代入x=1验证是否满足方程；②将c=0代入方程因式分解求解，判断是否有x=0的根；③将c=-a代入根的判别式，判断判别式的正负确定根的个数；④利用根与系数的关系，两根互为相反数则和为0，推导b的取值。
【解析】
我们逐一分析每个结论：
1. 验证结论①：将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得$a·1^2+b·1+c=a+b+c$，已知$a+b+c=0$，即$x=1$满足方程，因此方程必有一根为$x=1$，①正确。
2. 验证结论②：当$c=0$时，方程变为$ax^2+bx=0$，因式分解得$x(ax+b)=0$，解得$x=0$或$x=-\frac{b}{a}$，因此方程至少有一个根为$x=0$，②正确。
3. 验证结论③：若$a+c=0$，则$c=-a$，代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$得：$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$。因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta=b^2+4a^2＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，③正确。
4. 验证结论④：设方程的两根为$x_1,x_2$，若两根互为相反数，则$x_1+x_2=0$。根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，即$-\frac{b}{a}=0$，因为$a≠0$，因此$b=0$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的基础性质，需要熟练掌握根的判定方法、判别式的用法、根与系数的关系，逐一枚举验证即可得到结论，解题时注意不要遗漏$a≠0$的前提条件。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个验证4个结论的正确性：①利用方程根的定义，代入x=1验证是否满足方程；②将c=0代入方程因式分解求解，判断是否有x=0的根；③将c=-a代入根的判别式，判断判别式的正负确定根的个数；④利用根与系数的关系，两根互为相反数则和为0，推导b的取值。
【解析】
我们逐一分析每个结论：
1. 验证结论①：将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得$a·1^2+b·1+c=a+b+c$，已知$a+b+c=0$，即$x=1$满足方程，因此方程必有一根为$x=1$，①正确。
2. 验证结论②：当$c=0$时，方程变为$ax^2+bx=0$，因式分解得$x(ax+b)=0$，解得$x=0$或$x=-\frac{b}{a}$，因此方程至少有一个根为$x=0$，②正确。
3. 验证结论③：若$a+c=0$，则$c=-a$，代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$得：$\Delta=b^2-4a·(-a)=b^2+4a^2$。因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$b^2≥0$，因此$\Delta=b^2+4a^2＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，③正确。
4. 验证结论④：设方程的两根为$x_1,x_2$，若两根互为相反数，则$x_1+x_2=0$。根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，即$-\frac{b}{a}=0$，因为$a≠0$，因此$b=0$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的基础性质，需要熟练掌握根的判定方法、判别式的用法、根与系数的关系，逐一枚举验证即可得到结论，解题时注意不要遗漏$a≠0$的前提条件。
【难度系数】
0.7
