7.「2026安徽亳州蒙城期末，★★☆」如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度$AB=8\ \mathrm{m}$，然后用一根长为$4\ \mathrm{m}$的小竹竿$CD$竖直地接触地面和门的内壁，并测得$AC=1\ \mathrm{m}$，则门高$OE$为 ()

A.$9\ \mathrm{m}$
B.$\frac{64}{7}\ \mathrm{m}$
C.$8.7\ \mathrm{m}$
D.$9.3\ \mathrm{m}$

由题意得,抛物线过点$A(-4,0),B(4,0),D(-3,4)$,设抛物线的解析式为$y=a(x+4)(x-4)$,把$D(-3,4)$代入$y=a(x+4)(x-4)$,得$4=a×(-3+4)×(-3-4)$,解得$a=-\frac{4}{7}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{4}{7}(x+4)(x-4)$.令$x=0$,得$y=\frac{64}{7}$,即$E(0,\frac{64}{7})$,$\therefore OE=\frac{64}{7}\ \mathrm{m}$,即门高OE为$\frac{64}{7}\ \mathrm{m}$.故选 B.

8.「2025江苏扬州梅苑双语学校期末，★☆」如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3,2)，点B的坐标是(-1,2)，连接AB，若抛物线$y=ax^2(a≠0)$与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是（）

A.$\frac{2}{9}＜a＜2$
B.$\frac{2}{9}≤a≤2$
C.$\frac{2}{9}＜a≤2$
D.$\frac{2}{9}≤a＜2$

将$A(3,2)$代入$y=ax^2(a≠0)$,得$9a=2$,解得$a=\frac{2}{9}$,将$B(-1,2)$代入$y=ax^2(a≠0)$,得$a=2$,如图,若抛物线$y=ax^2(a≠0)$与线段AB恰有一个交点,则a的取值范围是$\frac{2}{9}≤ a＜2$.故选 D.

9. 核心素养推理能力「★★☆」如图,在等边$△ ABC$中,$AB=2$,点$D$从点$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线$A—C—B$运动,过点$D$作$AB$的垂线,垂足为点$E$.设点$D$的运动时间为$x$秒,$△ ADE$的面积为$y$(当$A,D,E$三点共线时,不妨设$y=0$),则能够反映$y$与$x$之间的函数关系的图象大致是（）

A
B
C
D

根据题意可知,当点D运动到点C处时,$2x=2$,即$x=1$时,$△ ADE$的面积取得最大值,由此可排除D选项;①当点D在AC边上,即$0≤ x≤1$时,如图,由点D的运动可知,$AD=2x$,$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ A=60°$,$\because DE⊥ AB$,$\therefore ∠ AED=90°$,$\therefore ∠ ADE=30°$,$\therefore AE=x$,由勾股定理得$DE=\sqrt{3}x$,$\therefore y=\frac{1}{2}AE· DE=\frac{1}{2}x· \sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$,由此可排除A,B选项;②当点D在BC边上,即$1≤ x≤2$时,如图,由点D的运动可知,$AC+CD=2x$,$\therefore BD=4-2x$,$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ B=60°$,$\because DE⊥ AB$,$\therefore ∠ DEB=90°$,$\therefore ∠ BDE=30°$,$\therefore BE=2-x$,$\therefore AE=AB-BE=x$,$DE=\sqrt{3}(2-x)$,$\therefore y=\frac{1}{2}AE· DE=\frac{1}{2}x×\sqrt{3}(2-x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\sqrt{3}x$.故选 C.

10.「2025陕西中考，★★★」在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3(a≠0)$的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$

由题意可得方程$ax^2-2ax+a-3=0$的两根异号,$\therefore x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3$,$\therefore$二次函数$y=ax^2-2ax+a-3$的图象开口向上,故选项A错误;$\because$函数$y=ax^2-2ax+a-3$图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,$\therefore$当$x＞1$时,y随x增大而增大,故选项B错误;$\because$当$x=1$时,$y=-3$,$\therefore$函数的最小值为-3,故选项C错误;当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$,$\because 0＜a＜3$,$\therefore a-3＜0$,即$y＜0$,故选项D正确.故选 D.