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1. 下列方程可用直接开平方法求解的是（
A.$x^2 = 4$
B.$4x^2 - 4x - 3 = 0$
C.$x^2 - 3x = 0$
D.$x^2 - 2x - 1 = 9$
A
）A.$x^2 = 4$
B.$4x^2 - 4x - 3 = 0$
C.$x^2 - 3x = 0$
D.$x^2 - 2x - 1 = 9$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”的形式，即形如$x^2=p$（$p≥0$）或$(mx+n)^2=p$（$p≥0$，$m≠0$）的一元二次方程可直接开平方求解。我们只需逐一判断每个选项是否符合该结构特征即可。
【解析】
直接开平方法适用于结构为“含未知数的完全平方式=非负常数”的一元二次方程：
选项A：$x^2=4$，符合$x^2=p$（$p=4≥0$）的形式，可直接开平方得$x=\pm2$，适用直接开平方法；
选项B：$4x^2-4x-3=0$是一元二次方程的一般形式，无法直接写成完全平方式等于非负常数的形式，不适用；
选项C：$x^2-3x=0$左边可因式分解为$x(x-3)$，适合用因式分解法求解，不符合直接开平方法的结构要求；
选项D：整理原方程得$x^2-2x-10=0$，左边不是完全平方式，无法直接开平方，不适用。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法的适用条件；一元二次方程解法选择
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法对应方程的结构特征，解题时只需紧扣适用条件逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”的形式，即形如$x^2=p$（$p≥0$）或$(mx+n)^2=p$（$p≥0$，$m≠0$）的一元二次方程可直接开平方求解。我们只需逐一判断每个选项是否符合该结构特征即可。
【解析】
直接开平方法适用于结构为“含未知数的完全平方式=非负常数”的一元二次方程：
选项A：$x^2=4$，符合$x^2=p$（$p=4≥0$）的形式，可直接开平方得$x=\pm2$，适用直接开平方法；
选项B：$4x^2-4x-3=0$是一元二次方程的一般形式，无法直接写成完全平方式等于非负常数的形式，不适用；
选项C：$x^2-3x=0$左边可因式分解为$x(x-3)$，适合用因式分解法求解，不符合直接开平方法的结构要求；
选项D：整理原方程得$x^2-2x-10=0$，左边不是完全平方式，无法直接开平方，不适用。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法的适用条件；一元二次方程解法选择
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法对应方程的结构特征，解题时只需紧扣适用条件逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.（答题模板）解方程：$9x^2 -25=0$.
解:移项,得
方程两边都除以
直接开平方,得
即 $x_1=$
解:移项,得
$9x^2=25$
.方程两边都除以
$9$
,得$x^2=\frac{25}{9}$
.直接开平方,得
$x=\pm\frac{5}{3}$
.即 $x_1=$
$\frac{5}{3}$
,$x_2=$$-\frac{5}{3}$
.答案
2. $9x^2=25$ $9$ $x^2=\frac{25}{9}$ $x=\pm\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$ $-\frac{5}{3}$
解析
【分析】
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题遵循直接开平方法的标准步骤：首先将常数项移到等号右侧，让等号左侧仅保留二次项；再利用等式的性质将二次项系数化为1，得到$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式；最后根据平方根的定义直接开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负根，即可求出方程的两个解。
【解析】
解:移项,得 $\boldsymbol{9x^2=25}$ .
方程两边都除以 $\boldsymbol{9}$ ,得 $\boldsymbol{x^2=\frac{25}{9}}$ .
直接开平方,得 $\boldsymbol{x=\pm\frac{5}{3}}$ .
即 $x_1=\boldsymbol{\frac{5}{3}}$ ,$x_2=\boldsymbol{-\frac{5}{3}}$ .
【答案】
$9x^2=25$；$9$；$x^2=\frac{25}{9}$；$x=\pm\frac{5}{3}$；$\frac{5}{3}$；$-\frac{5}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质、平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的规范解题步骤，解题时需注意正数开平方会得到两个互为相反数的根，避免出现只写正根的错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题遵循直接开平方法的标准步骤：首先将常数项移到等号右侧，让等号左侧仅保留二次项；再利用等式的性质将二次项系数化为1，得到$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式；最后根据平方根的定义直接开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负根，即可求出方程的两个解。
【解析】
解:移项,得 $\boldsymbol{9x^2=25}$ .
方程两边都除以 $\boldsymbol{9}$ ,得 $\boldsymbol{x^2=\frac{25}{9}}$ .
直接开平方,得 $\boldsymbol{x=\pm\frac{5}{3}}$ .
即 $x_1=\boldsymbol{\frac{5}{3}}$ ,$x_2=\boldsymbol{-\frac{5}{3}}$ .
【答案】
$9x^2=25$；$9$；$x^2=\frac{25}{9}$；$x=\pm\frac{5}{3}$；$\frac{5}{3}$；$-\frac{5}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质、平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的规范解题步骤，解题时需注意正数开平方会得到两个互为相反数的根，避免出现只写正根的错误。
【难度系数】
0.9
3. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$2x^2=100$；
(2)$4.3-6x^2=2.8$。
(1)$2x^2=100$；
(2)$4.3-6x^2=2.8$。
答案
3. (1)解:方程两边都除以 2,得 $x^2 = 50$.直接开平方,得 $x=\pm5\sqrt{2}$,即 $x_1=5\sqrt{2},x_2=-5\sqrt{2}$.
(2)解:移项,得 $6x^2=1.5$,方程两边都除以 6,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)解:移项,得 $6x^2=1.5$,方程两边都除以 6,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为$x^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再对等式两边开平方得到方程的根。本题两个方程均只含二次项和常数项，首先通过移项、二次项系数化为1的操作转化为上述标准形式，再开平方即可，注意开平方后所得根是一对互为相反数的数，不要漏写负根。
【解析】
(1) 首先将二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2=50$；
对等式两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt{2}$，即方程的两个根为$x_1=5\sqrt{2}$，$x_2=-5\sqrt{2}$。
(2) 首先移项整理：将常数项移到等式右侧，合并得$6x^2=4.3-2.8=1.5$；
将二次项系数化为1：方程两边同时除以6，得$x^2=\frac{1.5}{6}=\frac{1}{4}$；
对等式两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，即方程的两个根为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=5\sqrt{2},x_2=-5\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查对解题步骤的掌握，解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏写负根，同时要保证二次根式化简、小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为$x^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再对等式两边开平方得到方程的根。本题两个方程均只含二次项和常数项，首先通过移项、二次项系数化为1的操作转化为上述标准形式，再开平方即可，注意开平方后所得根是一对互为相反数的数，不要漏写负根。
【解析】
(1) 首先将二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2=50$；
对等式两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt{2}$，即方程的两个根为$x_1=5\sqrt{2}$，$x_2=-5\sqrt{2}$。
(2) 首先移项整理：将常数项移到等式右侧，合并得$6x^2=4.3-2.8=1.5$；
将二次项系数化为1：方程两边同时除以6，得$x^2=\frac{1.5}{6}=\frac{1}{4}$；
对等式两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，即方程的两个根为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=5\sqrt{2},x_2=-5\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等式的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查对解题步骤的掌握，解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏写负根，同时要保证二次根式化简、小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程$x^2=6x$的解为 （
A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-6$
C.$x_1=0,x_2=6$
D.$x_1=-6,x_2=6$
C
）A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-6$
C.$x_1=0,x_2=6$
D.$x_1=-6,x_2=6$
答案
4.C
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的解法，拿到题目首先观察方程形式，两边都有含x的项，注意不能直接两边同时除以x，因为x的值可能为0，直接除会漏掉x=0的解。正确的思路是先移项，将方程右边的项移到左边，使右边为0，再通过提取公因式的方法进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先移项，得 $x^2 - 6x = 0$，
对左边提取公因式$x$，得 $x(x - 6) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x - 6 = 0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时要注意避免直接将方程两边除以含未知数的式子，防止漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程的解法，拿到题目首先观察方程形式，两边都有含x的项，注意不能直接两边同时除以x，因为x的值可能为0，直接除会漏掉x=0的解。正确的思路是先移项，将方程右边的项移到左边，使右边为0，再通过提取公因式的方法进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先移项，得 $x^2 - 6x = 0$，
对左边提取公因式$x$，得 $x(x - 6) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x - 6 = 0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时要注意避免直接将方程两边除以含未知数的式子，防止漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 由$9x^2 -16=0$，可得( )$^2 -4^2=0$，则$(3x+4)(\_\_\_\_\_\_)=0$，所以$3x+4=0$或$\_\_\_\_\_\_=0$，解得$x_1=\_\_\_\_\_\_$，$x_2=\frac{4}{3}$。
答案
5. $3x$ $3x-4$ $3x-4$ $-\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题考查利用平方差公式因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的结构，将$9x^2$变形为某个整式的平方，匹配平方差公式$a^2-b^2$的形式；再套用平方差公式将方程左边分解为两个一次因式的乘积；根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
1. 对$9x^2$变形：$\because (3x)^2=9x^2$，$16=4^2$，因此第一个空填$\boldsymbol{3x}$；
2. 套用平方差公式分解：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=3x$、$b=4$，可得$(3x)^2-4^2=(3x+4)(3x-4)$，因此第二个空填$\boldsymbol{3x-4}$；
3. 根据乘积为0的性质：两个因式乘积为0，则$3x+4=0$或$3x-4=0$，因此第三个空填$\boldsymbol{3x-4}$；
4. 求解$3x+4=0$：移项得$3x=-4$，系数化为1得$x=-\frac{4}{3}$，因此第四个空填$\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$。
【答案】
$3x$；$3x-4$；$3x-4$；$-\frac{4}{3}$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程；一元一次方程求解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，以及因式分解法解方程的基本逻辑，熟练掌握因式分解的常用公式是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方差公式因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的结构，将$9x^2$变形为某个整式的平方，匹配平方差公式$a^2-b^2$的形式；再套用平方差公式将方程左边分解为两个一次因式的乘积；根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
1. 对$9x^2$变形：$\because (3x)^2=9x^2$，$16=4^2$，因此第一个空填$\boldsymbol{3x}$；
2. 套用平方差公式分解：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=3x$、$b=4$，可得$(3x)^2-4^2=(3x+4)(3x-4)$，因此第二个空填$\boldsymbol{3x-4}$；
3. 根据乘积为0的性质：两个因式乘积为0，则$3x+4=0$或$3x-4=0$，因此第三个空填$\boldsymbol{3x-4}$；
4. 求解$3x+4=0$：移项得$3x=-4$，系数化为1得$x=-\frac{4}{3}$，因此第四个空填$\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$。
【答案】
$3x$；$3x-4$；$3x-4$；$-\frac{4}{3}$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程；一元一次方程求解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，以及因式分解法解方程的基本逻辑，熟练掌握因式分解的常用公式是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
6. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -5\sqrt{3}x=0$；
(2)$5x^2 -20=0$；
(3)$x^2 +9=6x$。
(1)$x^2 -5\sqrt{3}x=0$；
(2)$5x^2 -20=0$；
(3)$x^2 +9=6x$。
答案
6. (1)解:方程左边分解因式,得 $x(x-5\sqrt{3})=0$,所以 $x=0$ 或 $x-5\sqrt{3}=0$.得 $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$.
(2)解:方程左边分解因式,得 $5(x-2)(x+2)=0$,所以 $x-2=0$ 或 $x+2=0$,得 $x_1=2,x_2=-2$.
(3)解:移项,得 $x^2-6x+9=0$,所以 $(x-3)^2=0$,得 $x_1=x_2=3$.
(2)解:方程左边分解因式,得 $5(x-2)(x+2)=0$,所以 $x-2=0$ 或 $x+2=0$,得 $x_1=2,x_2=-2$.
(3)解:移项,得 $x^2-6x+9=0$,所以 $(x-3)^2=0$,得 $x_1=x_2=3$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式为0，解一次方程得原方程的根。
针对三个小题的具体思考路径：(1)方程右边已经是0，左边直接提取公因式x即可完成分解；(2)先提取公因数5，再利用平方差公式分解剩余的二次式；(3)先移项将右边的6x移到左边，再利用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) 方程左边分解因式，得 $x(x-5\sqrt{3})=0$，
所以 $x=0$ 或 $x-5\sqrt{3}=0$，
解得 $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$。
(2) 方程左边分解因式，得 $5(x^2-4)=5(x-2)(x+2)=0$，
所以 $x-2=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=2,x_2=-2$。
(3) 移项，得 $x^2-6x+9=0$，
分解因式得 $(x-3)^2=0$，
解得 $x_1=x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$；(2) $x_1=2,x_2=-2$；(3) $x_1=x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了提公因式、平方差公式、完全平方公式三种常见的因式分解类型，熟练掌握常见因式分解的方法是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式为0，解一次方程得原方程的根。
针对三个小题的具体思考路径：(1)方程右边已经是0，左边直接提取公因式x即可完成分解；(2)先提取公因数5，再利用平方差公式分解剩余的二次式；(3)先移项将右边的6x移到左边，再利用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) 方程左边分解因式，得 $x(x-5\sqrt{3})=0$，
所以 $x=0$ 或 $x-5\sqrt{3}=0$，
解得 $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$。
(2) 方程左边分解因式，得 $5(x^2-4)=5(x-2)(x+2)=0$，
所以 $x-2=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=2,x_2=-2$。
(3) 移项，得 $x^2-6x+9=0$，
分解因式得 $(x-3)^2=0$，
解得 $x_1=x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$；(2) $x_1=2,x_2=-2$；(3) $x_1=x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了提公因式、平方差公式、完全平方公式三种常见的因式分解类型，熟练掌握常见因式分解的方法是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
7. 将一元二次方程$3x^2 + 9x = 0$转化为两个一元一次方程为 （
A.$3x=0$
B.$3x=0$和$x+9=0$
C.$3x=0$和$x+3=0$
D.$3x=0$和$x-3=0$
C
）A.$3x=0$
B.$3x=0$和$x+9=0$
C.$3x=0$和$x+3=0$
D.$3x=0$和$x-3=0$
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查运用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，发现左边两项存在公因式，可先提取公因式将左边分解为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，对应匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$3x^2 + 9x = 0$左边提取公因式$3x$，可得：
$3x(x + 3) = 0$
根据乘法零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可转化为两个一元一次方程：
$3x = 0$ 或 $x + 3 = 0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解法中提公因式法的应用，熟练掌握因式分解法解方程的原理，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查运用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，发现左边两项存在公因式，可先提取公因式将左边分解为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，对应匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$3x^2 + 9x = 0$左边提取公因式$3x$，可得：
$3x(x + 3) = 0$
根据乘法零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可转化为两个一元一次方程：
$3x = 0$ 或 $x + 3 = 0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解法中提公因式法的应用，熟练掌握因式分解法解方程的原理，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
