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8. 用因式分解法解下列方程，正确的是（
A.$x(x+5)=0$，$\therefore x+5=0$
B.$(x+1)(x-2)=1$，$\therefore x+1=1$ 或 $x-2=1$
C.$(x-1)(x-2)=2×3$，$\therefore x-1=2$ 或 $x-2=3$
D.$(x-2)(3x-4)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $3x-4=0$
D
）A.$x(x+5)=0$，$\therefore x+5=0$
B.$(x+1)(x-2)=1$，$\therefore x+1=1$ 或 $x-2=1$
C.$(x-1)(x-2)=2×3$，$\therefore x-1=2$ 或 $x-2=3$
D.$(x-2)(3x-4)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $3x-4=0$
答案
8.D
解析
【分析】
要判断用因式分解法解方程的步骤是否正确，首先要明确因式分解法的核心原理：若两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0，即$ab=0$等价于$a=0$或$b=0$，该方法的适用前提是方程等号右边必须为0。我们以此为依据逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的要求是：方程等号右侧为0，将左侧分解为若干个因式的乘积后，令每个因式分别为0求解。
A选项：由$x(x+5)=0$，可得$x=0$或$x+5=0$，选项漏了$x=0$的情况，解法错误；
B选项：方程右侧为$1≠0$，不能直接令两个因式分别等于1，需先整理为右侧为0的形式再求解，解法错误；
C选项：方程右侧为$2×3=6≠0$，不能直接令两个因式分别等于2和3，需先展开整理为标准一元二次方程再求解，解法错误；
D选项：方程右侧为0，符合因式分解法的适用条件，因此可得$x-2=0$或$3x-4=0$，解法正确。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的适用条件，解题的关键是牢记只有方程等号右边为0时，才能对左边的因式拆分求解，避免对右边非0的方程随意拆分导致错解。
【难度系数】
0.8
要判断用因式分解法解方程的步骤是否正确，首先要明确因式分解法的核心原理：若两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0，即$ab=0$等价于$a=0$或$b=0$，该方法的适用前提是方程等号右边必须为0。我们以此为依据逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的要求是：方程等号右侧为0，将左侧分解为若干个因式的乘积后，令每个因式分别为0求解。
A选项：由$x(x+5)=0$，可得$x=0$或$x+5=0$，选项漏了$x=0$的情况，解法错误；
B选项：方程右侧为$1≠0$，不能直接令两个因式分别等于1，需先整理为右侧为0的形式再求解，解法错误；
C选项：方程右侧为$2×3=6≠0$，不能直接令两个因式分别等于2和3，需先展开整理为标准一元二次方程再求解，解法错误；
D选项：方程右侧为0，符合因式分解法的适用条件，因此可得$x-2=0$或$3x-4=0$，解法正确。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的适用条件，解题的关键是牢记只有方程等号右边为0时，才能对左边的因式拆分求解，避免对右边非0的方程随意拆分导致错解。
【难度系数】
0.8
9. 解下列方程：
(1)$\frac{1}{3}x^2 -8=0$；
(2)$1-4x^2=0$；
(3)$9x^2+12=16$；
(4)$4x^2+4x=-1$。
(1)$\frac{1}{3}x^2 -8=0$；
(2)$1-4x^2=0$；
(3)$9x^2+12=16$；
(4)$4x^2+4x=-1$。
答案
9. (1)解:移项,得 $\frac{1}{3}x^2=8$. 方程两边都乘 3,得 $x^2=24$. 直接开平方,得 $x=\pm2\sqrt{6}$,即 $x_1=2\sqrt{6},x_2=-2\sqrt{6}$.
(2)解:移项,得 $4x^2=1$,方程两边都除以 4,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)解:移项,得 $9x^2=4$,方程两边都除以 9,得 $x^2=\frac{4}{9}$. 直接开平方,得 $x=\pm\frac{2}{3}$,即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)解:移项,得 $4x^2+4x+1=0$. 方程左边分解因式,得 $(2x+1)^2=0$.所以 $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)解:移项,得 $4x^2=1$,方程两边都除以 4,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)解:移项,得 $9x^2=4$,方程两边都除以 9,得 $x^2=\frac{4}{9}$. 直接开平方,得 $x=\pm\frac{2}{3}$,即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)解:移项,得 $4x^2+4x+1=0$. 方程左边分解因式,得 $(2x+1)^2=0$.所以 $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这4道题均为基础一元二次方程，解题思路如下：前3道方程缺少一次项，优先使用直接开平方法求解：第一步先移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；第二步将x²的系数化为1；第三步对等号两边同时开平方，即可得到两个解。第(4)题移项后等号左侧为完全平方式，适合用因式分解法求解：先移项使方程右侧为0，再将左侧分解为完全平方形式，进而求出方程的解。
【解析】
(1)解:移项,得 $\frac{1}{3}x^2=8$. 方程两边都乘 3,得 $x^2=24$. 直接开平方,得 $x=\pm2\sqrt{6}$,即 $x_1=2\sqrt{6},x_2=-2\sqrt{6}$.
(2)解:移项,得 $4x^2=1$,方程两边都除以 4,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)解:移项,得 $9x^2=4$,方程两边都除以 9,得 $x^2=\frac{4}{9}$. 直接开平方,得 $x=\pm\frac{2}{3}$,即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)解:移项,得 $4x^2+4x+1=0$. 方程左边分解因式,得 $(2x+1)^2=0$.所以 $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=2\sqrt{6},x_2=-2\sqrt{6}$；(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；(3)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$；(4)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础练习题，前3道通过简单变形即可用直接开平方法快速求解，第4道需要先整理方程，再用因式分解法解题，熟练掌握基础解法能有效提升解方程的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这4道题均为基础一元二次方程，解题思路如下：前3道方程缺少一次项，优先使用直接开平方法求解：第一步先移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；第二步将x²的系数化为1；第三步对等号两边同时开平方，即可得到两个解。第(4)题移项后等号左侧为完全平方式，适合用因式分解法求解：先移项使方程右侧为0，再将左侧分解为完全平方形式，进而求出方程的解。
【解析】
(1)解:移项,得 $\frac{1}{3}x^2=8$. 方程两边都乘 3,得 $x^2=24$. 直接开平方,得 $x=\pm2\sqrt{6}$,即 $x_1=2\sqrt{6},x_2=-2\sqrt{6}$.
(2)解:移项,得 $4x^2=1$,方程两边都除以 4,得 $x^2=\frac{1}{4}$,直接开平方,得 $x=\pm\frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(3)解:移项,得 $9x^2=4$,方程两边都除以 9,得 $x^2=\frac{4}{9}$. 直接开平方,得 $x=\pm\frac{2}{3}$,即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)解:移项,得 $4x^2+4x+1=0$. 方程左边分解因式,得 $(2x+1)^2=0$.所以 $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=2\sqrt{6},x_2=-2\sqrt{6}$；(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；(3)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$；(4)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础练习题，前3道通过简单变形即可用直接开平方法快速求解，第4道需要先整理方程，再用因式分解法解题，熟练掌握基础解法能有效提升解方程的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
10. 当x为何值时，代数式$x^2 -13x +12$与$4x^2 -12$的值互为相反数？
答案
10. 解:根据题意,得 $x^2-13x+12+4x^2-12=0$. 整理,得 $5x^2-13x=0$. 方程左边分解因式,得 $x(5x-13)=0$. $\therefore x=0$ 或 $5x-13=0$. $\therefore x_1=0,x_2=\frac{13}{5}$. $\therefore$ 当 $x=0$ 或 $\frac{13}{5}$时,代数式 $x^2-13x+12$ 与 $4x^2-12$ 的值互为相反数.
解析
【分析】
要解决该问题，首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0，据此可列出两个代数式相加等于0的方程；接下来将方程合并同类项整理为一元二次方程的简化形式，观察整理后的方程发现无常数项，优先选择因式分解法（提取公因式）求解更简便；最后根据“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的规则，即可求出x的取值。
【解析】
解：根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$x^2 -13x +12 + 4x^2 -12 = 0$
合并同类项整理得：
$5x^2 -13x = 0$
对方程左边提取公因式$x$因式分解，得：
$x(5x - 13) = 0$
由此可得：
$x = 0$ 或 $5x - 13 = 0$
分别求解得：$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{13}{5}$
即当$x=0$或$x=\frac{13}{5}$时，代数式$x^2 -13x +12$与$4x^2 -12$的值互为相反数。
【答案】
$x=0$或$x=\frac{13}{5}$
【知识点】
相反数的性质，因式分解法解方程，一元二次方程求解
【点评】
本题为基础题型，解题关键是结合相反数的性质正确列方程，再根据方程的特点选择简便的因式分解法求解，易错点是列方程时符号出错，或求解时漏写其中一个解。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0，据此可列出两个代数式相加等于0的方程；接下来将方程合并同类项整理为一元二次方程的简化形式，观察整理后的方程发现无常数项，优先选择因式分解法（提取公因式）求解更简便；最后根据“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的规则，即可求出x的取值。
【解析】
解：根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$x^2 -13x +12 + 4x^2 -12 = 0$
合并同类项整理得：
$5x^2 -13x = 0$
对方程左边提取公因式$x$因式分解，得：
$x(5x - 13) = 0$
由此可得：
$x = 0$ 或 $5x - 13 = 0$
分别求解得：$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{13}{5}$
即当$x=0$或$x=\frac{13}{5}$时，代数式$x^2 -13x +12$与$4x^2 -12$的值互为相反数。
【答案】
$x=0$或$x=\frac{13}{5}$
【知识点】
相反数的性质，因式分解法解方程，一元二次方程求解
【点评】
本题为基础题型，解题关键是结合相反数的性质正确列方程，再根据方程的特点选择简便的因式分解法求解，易错点是列方程时符号出错，或求解时漏写其中一个解。
【难度系数】
0.8
2. 根据乘法原理:若 $ ab=0 $,则 $ a=0 $ 或 $ b=0 $.
试用上述方法和原理解下列方程:
(1) $ x^2 +5x +6=0 $; (2) $ x^2 -7x +10=0 $;
(3) $ x^2 -x -12=0 $.
试用上述方法和原理解下列方程:
(1) $ x^2 +5x +6=0 $; (2) $ x^2 -7x +10=0 $;
(3) $ x^2 -x -12=0 $.
答案
2. (1)解:$(x+2)(x+3)=0$. $\therefore x+2=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=-2,x_2=-3$.
(2)$(x-5)(x-2)=0$. $\therefore x-5=0$ 或 $x-2=0$. $\therefore x_1=5,x_2=2$.
(3)$(x-4)(x+3)=0$. $\therefore x-4=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=4,x_2=-3$.
(2)$(x-5)(x-2)=0$. $\therefore x-5=0$ 或 $x-2=0$. $\therefore x_1=5,x_2=2$.
(3)$(x-4)(x+3)=0$. $\therefore x-4=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=4,x_2=-3$.
解析
【分析】
本题的核心解题依据是题目给出的乘法原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0。解题思路分为三步：第一步用十字相乘法把方程左侧的二次三项式$x^2+px+q$分解为两个一次因式的乘积，分解的关键是找到两个数，满足两数之和等于一次项系数$p$，两数之积等于常数项$q$；第二步令两个一次因式分别等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解$x^2 +5x +6=0$：
寻找和为5、积为6的两个数，得2和3，因式分解得：
$(x+2)(x+3)=0$
根据乘法原理，得$x+2=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$。
(2) 解$x^2 -7x +10=0$：
寻找和为-7、积为10的两个数，得-5和-2，因式分解得：
$(x-5)(x-2)=0$
根据乘法原理，得$x-5=0$ 或 $x-2=0$
解得$x_1=5$，$x_2=2$。
(3) 解$x^2 -x -12=0$：
寻找和为-1、积为-12的两个数，得-4和3，因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
根据乘法原理，得$x-4=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+3)=0$. $\therefore x+2=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=-2,x_2=-3$.
(2) $(x-5)(x-2)=0$. $\therefore x-5=0$ 或 $x-2=0$. $\therefore x_1=5,x_2=2$.
(3) $(x-4)(x+3)=0$. $\therefore x-4=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=4,x_2=-3$.
【知识点】
因式分解法解方程；十字相乘法因式分解；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查对十字相乘法和因式分解法解方程的掌握程度，方法规律性强，熟练后可快速求出方程的根，是解一元二次方程最常用的简便方法之一。
【难度系数】
0.8
本题的核心解题依据是题目给出的乘法原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0。解题思路分为三步：第一步用十字相乘法把方程左侧的二次三项式$x^2+px+q$分解为两个一次因式的乘积，分解的关键是找到两个数，满足两数之和等于一次项系数$p$，两数之积等于常数项$q$；第二步令两个一次因式分别等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解$x^2 +5x +6=0$：
寻找和为5、积为6的两个数，得2和3，因式分解得：
$(x+2)(x+3)=0$
根据乘法原理，得$x+2=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$。
(2) 解$x^2 -7x +10=0$：
寻找和为-7、积为10的两个数，得-5和-2，因式分解得：
$(x-5)(x-2)=0$
根据乘法原理，得$x-5=0$ 或 $x-2=0$
解得$x_1=5$，$x_2=2$。
(3) 解$x^2 -x -12=0$：
寻找和为-1、积为-12的两个数，得-4和3，因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
根据乘法原理，得$x-4=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+3)=0$. $\therefore x+2=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=-2,x_2=-3$.
(2) $(x-5)(x-2)=0$. $\therefore x-5=0$ 或 $x-2=0$. $\therefore x_1=5,x_2=2$.
(3) $(x-4)(x+3)=0$. $\therefore x-4=0$ 或 $x+3=0$. $\therefore x_1=4,x_2=-3$.
【知识点】
因式分解法解方程；十字相乘法因式分解；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查对十字相乘法和因式分解法解方程的掌握程度，方法规律性强，熟练后可快速求出方程的根，是解一元二次方程最常用的简便方法之一。
【难度系数】
0.8
