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13.已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$a,b,c$满足$a+b+c=0$和$9a-3b+c=0$，则方程的两个根分别是（
A.$1,-3$
B.$1,3$
C.$-1,3$
D.无法确定
A
）A.$1,-3$
B.$1,3$
C.$-1,3$
D.无法确定
答案
13.A
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义逆向推导根的值：解题时先明确“若x=m是方程ax²+bx+c=0的根，则代入后am²+bm+c=0”这一关系，再将题干给出的两个等式和方程代入x后的形式做对比，找到对应的x值即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
① 当x=1时，代入方程左边得：$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，已知$a+b+c=0$，即左边=右边，因此$x=1$是方程的一个根；
② 当x=-3时，代入方程左边得：$a×(-3)^2 + b×(-3) + c =9a -3b +c$，已知$9a-3b+c=0$，即左边=右边，因此$x=-3$是方程的另一个根。
综上，方程的两个根为1和-3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的灵活运用，无需计算方程系数，通过对比等式形式即可快速求解，属于基础题，熟练掌握根的定义的逆向应用能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根的定义逆向推导根的值：解题时先明确“若x=m是方程ax²+bx+c=0的根，则代入后am²+bm+c=0”这一关系，再将题干给出的两个等式和方程代入x后的形式做对比，找到对应的x值即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
① 当x=1时，代入方程左边得：$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，已知$a+b+c=0$，即左边=右边，因此$x=1$是方程的一个根；
② 当x=-3时，代入方程左边得：$a×(-3)^2 + b×(-3) + c =9a -3b +c$，已知$9a-3b+c=0$，即左边=右边，因此$x=-3$是方程的另一个根。
综上，方程的两个根为1和-3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的灵活运用，无需计算方程系数，通过对比等式形式即可快速求解，属于基础题，熟练掌握根的定义的逆向应用能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
14.(答题模板)在某次聚会中,参加聚会的每两人都握了一次手,一共握了66次手,共有多少人参加了这次聚会?
解:设共有x人参加了这次聚会,则每人握了
解:设共有x人参加了这次聚会,则每人握了
$(x-1)$
次手,由于每两人只握一次手,故总共握了$\dfrac{1}{2}x(x-1)$
次手,列方程是$\dfrac{1}{2}x(x-1)=66$
,化成一般形式是$x^2-x-132=0$
.答案
14.$(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)=66\quad x^2-x-132=0$
解析
【分析】
本题属于单循环计数类实际应用题，解题思路如下：首先明确握手规则为每两人仅握1次手，不存在重复握手的情况。第一步推导单人握手次数：每个人不能与自己握手，因此x个参会者中，每人的握手次数为总人数减去自己1人，即(x-1)次；第二步推导总握手次数：若直接用总人数乘单人握手次数，每一次握手会被握手的两人各统计1次，存在双倍重复计数，因此总握手次数需要除以2消去重复；第三步根据总握手次数为66次的等量关系列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
设共有x人参加了这次聚会：
1. 每人需和除自身外的其余(x-1)人握手，因此每人握了$\boldsymbol{(x-1)}$次手；
2. 每两人的握手被重复统计了2次，因此实际总握手次数为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x(x-1)}$次；
3. 结合总握手次数为66次的已知条件，可列方程：$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x(x-1)=66}$；
4. 将方程化为一般形式：两边同乘2去分母得$x(x-1)=132$，展开后移项整理得$\boldsymbol{x^2 - x - 132 = 0}$。
【答案】
$(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)=66\quad x^2-x-132=0$
【知识点】
单循环计数问题、一元二次方程列法、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理解单循环计数时需去除重复统计的部分，掌握从实际场景中提取等量关系列方程的方法。
【难度系数】
0.8
本题属于单循环计数类实际应用题，解题思路如下：首先明确握手规则为每两人仅握1次手，不存在重复握手的情况。第一步推导单人握手次数：每个人不能与自己握手，因此x个参会者中，每人的握手次数为总人数减去自己1人，即(x-1)次；第二步推导总握手次数：若直接用总人数乘单人握手次数，每一次握手会被握手的两人各统计1次，存在双倍重复计数，因此总握手次数需要除以2消去重复；第三步根据总握手次数为66次的等量关系列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
设共有x人参加了这次聚会：
1. 每人需和除自身外的其余(x-1)人握手，因此每人握了$\boldsymbol{(x-1)}$次手；
2. 每两人的握手被重复统计了2次，因此实际总握手次数为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x(x-1)}$次；
3. 结合总握手次数为66次的已知条件，可列方程：$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x(x-1)=66}$；
4. 将方程化为一般形式：两边同乘2去分母得$x(x-1)=132$，展开后移项整理得$\boldsymbol{x^2 - x - 132 = 0}$。
【答案】
$(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)\quad \dfrac{1}{2}x(x-1)=66\quad x^2-x-132=0$
【知识点】
单循环计数问题、一元二次方程列法、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理解单循环计数时需去除重复统计的部分，掌握从实际场景中提取等量关系列方程的方法。
【难度系数】
0.8
15. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.
(1)哥哥比弟弟大2岁，且两人的年龄之积正好是爸爸年龄的2倍，已知爸爸40岁，求弟弟的年龄；
(2)一矩形面积为$28\mathrm{cm}^2$，长比宽多3cm.求这个矩形的长与宽.
(1)哥哥比弟弟大2岁，且两人的年龄之积正好是爸爸年龄的2倍，已知爸爸40岁，求弟弟的年龄；
(2)一矩形面积为$28\mathrm{cm}^2$，长比宽多3cm.求这个矩形的长与宽.
答案
15. (1)解:设弟弟的年龄为x岁,列方程为$x(x+2)=40×2$.一般形式为$x^2+2x-80=0$.
(2)设宽为x cm,则长为$(x+3)$cm,列方程为$x(x+3)=28$,一般形式为$x^2+3x-28=0$.
(2)设宽为x cm,则长为$(x+3)$cm,列方程为$x(x+3)=28$,一般形式为$x^2+3x-28=0$.
解析
【分析】
这两道题均为一元二次方程的实际应用类题目，解题按照三步展开：第一步设合适的未知量，第二步结合题干给出的等量关系列方程，第三步将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
第(1)问的等量关系为：弟弟年龄×哥哥年龄=爸爸年龄×2，已知哥哥比弟弟大2岁、爸爸年龄为40岁，设弟弟年龄为$x$后即可表示哥哥年龄，代入等量关系列方程再化简即可；
第(2)问的等量关系为：矩形面积=长×宽，已知长比宽多3cm、面积为$28\mathrm{cm}^2$，设宽为$x$后即可表示长，代入面积公式列方程再化简即可。
【解析】
(1) 设弟弟的年龄为$x$岁，则哥哥的年龄为$(x+2)$岁。
根据两人年龄之积是爸爸年龄的2倍，列方程：
$x(x+2)=40×2$
展开后移项整理为一般形式：
$x^2+2x-80=0$
(2) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(x+3)=28$
展开后移项整理为一般形式：
$x^2+3x-28=0$
【答案】
(1) 列方程为$x(x+2)=40×2$，一般形式为$x^2+2x-80=0$；
(2) 列方程为$x(x+3)=28$，一般形式为$x^2+3x-28=0$。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程一般形式、实际问题列方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查从实际场景中提取等量关系、列写方程以及转化一元二次方程一般形式的能力，熟练掌握列方程的基础步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这两道题均为一元二次方程的实际应用类题目，解题按照三步展开：第一步设合适的未知量，第二步结合题干给出的等量关系列方程，第三步将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
第(1)问的等量关系为：弟弟年龄×哥哥年龄=爸爸年龄×2，已知哥哥比弟弟大2岁、爸爸年龄为40岁，设弟弟年龄为$x$后即可表示哥哥年龄，代入等量关系列方程再化简即可；
第(2)问的等量关系为：矩形面积=长×宽，已知长比宽多3cm、面积为$28\mathrm{cm}^2$，设宽为$x$后即可表示长，代入面积公式列方程再化简即可。
【解析】
(1) 设弟弟的年龄为$x$岁，则哥哥的年龄为$(x+2)$岁。
根据两人年龄之积是爸爸年龄的2倍，列方程：
$x(x+2)=40×2$
展开后移项整理为一般形式：
$x^2+2x-80=0$
(2) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(x+3)=28$
展开后移项整理为一般形式：
$x^2+3x-28=0$
【答案】
(1) 列方程为$x(x+2)=40×2$，一般形式为$x^2+2x-80=0$；
(2) 列方程为$x(x+3)=28$，一般形式为$x^2+3x-28=0$。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程一般形式、实际问题列方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查从实际场景中提取等量关系、列写方程以及转化一元二次方程一般形式的能力，熟练掌握列方程的基础步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.85
16. (一题多设问)已知关于x的方程$(m-3)x^2 + (m+3)x + 2 = 0$.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?
答案
16. (1)解:由题意,得$(m+3)(m-3)=0$且$m+3≠0$时,此方程是一元一次方程,所以$m-3=0$,即$m=3$.
(2)由题意得,得$(m+3)(m-3)≠0$时,此方程是一元二次方程,所以$m≠±3$.
(2)由题意得,得$(m+3)(m-3)≠0$时,此方程是一元二次方程,所以$m≠±3$.
解析
【分析】
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义求解：
(1) 一元一次方程的核心特征是：只含一个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0。因此要让原方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不等于0，据此列条件求解m即可。
(2) 一元二次方程的核心特征是：只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。因此要让原方程为一元二次方程，只需满足二次项系数不为0，据此列不等式求解m的取值范围即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，得二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}(m+3)(m-3)=0 \\ m+3≠0\end{cases}$
由$(m+3)(m-3)=0$解得$m=3$或$m=-3$，结合$m+3≠0$即$m≠-3$，因此$m=3$。
(2) 根据一元二次方程的定义，得二次项系数不为0，即：
$(m+3)(m-3)≠0$
解得$m≠3$且$m≠-3$，即$m≠\pm3$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $m≠\pm3$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握一元一次方程、一元二次方程对最高次项系数的限制条件，尤其注意一元一次方程中一次项系数不能为0的隐含要求，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义求解：
(1) 一元一次方程的核心特征是：只含一个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0。因此要让原方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不等于0，据此列条件求解m即可。
(2) 一元二次方程的核心特征是：只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。因此要让原方程为一元二次方程，只需满足二次项系数不为0，据此列不等式求解m的取值范围即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，得二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}(m+3)(m-3)=0 \\ m+3≠0\end{cases}$
由$(m+3)(m-3)=0$解得$m=3$或$m=-3$，结合$m+3≠0$即$m≠-3$，因此$m=3$。
(2) 根据一元二次方程的定义，得二次项系数不为0，即：
$(m+3)(m-3)≠0$
解得$m≠3$且$m≠-3$，即$m≠\pm3$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $m≠\pm3$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握一元一次方程、一元二次方程对最高次项系数的限制条件，尤其注意一元一次方程中一次项系数不能为0的隐含要求，避免漏解。
【难度系数】
0.8
1.已知$m$是方程$x^2 +4x -1=0$的一个根，
则$(m+5)(m-1)$的值为
则$(m+5)(m-1)$的值为
$-4$
。答案
1.$-4$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，整理得出$m^2+4m$的值；再将待求的代数式展开化简，观察化简后的式子结构，将$m^2+4m$的值整体代入计算即可得到结果，不需要直接求解m的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 +4x -1=0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 +4m -1=0$，
整理可得：$m^2 +4m =1$。
接下来化简待求代数式：
$(m+5)(m-1)=m^2 -m +5m -5 = m^2 +4m -5$，
把$m^2 +4m =1$代入上式得：
原式$=1 -5 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心技巧是利用方程根的性质得到代数式的值，再通过整体代入的方法计算结果，避免了求解无理根的复杂运算，是这类题型常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，整理得出$m^2+4m$的值；再将待求的代数式展开化简，观察化简后的式子结构，将$m^2+4m$的值整体代入计算即可得到结果，不需要直接求解m的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 +4x -1=0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 +4m -1=0$，
整理可得：$m^2 +4m =1$。
接下来化简待求代数式：
$(m+5)(m-1)=m^2 -m +5m -5 = m^2 +4m -5$，
把$m^2 +4m =1$代入上式得：
原式$=1 -5 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心技巧是利用方程根的性质得到代数式的值，再通过整体代入的方法计算结果，避免了求解无理根的复杂运算，是这类题型常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
2.若a是一元二次方程$x^2=2x+4$的根，则代数式$2a^2 -4a +2026$的值是
$2034$
。答案
2.$2034$
解析
【分析】
已知a是一元二次方程的根，根据方程根的定义，将x=a代入原方程可得到a满足的等式；观察所求代数式$2a^2-4a+2026$的结构，发现$2a^2-4a$是$a^2-2a$的2倍，因此只需从得到的a的等式中求出$a^2-2a$的值，整体代入即可算出结果，无需解出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵a是一元二次方程$x^2=2x+4$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2=2a+4$，
移项可得：$a^2 - 2a = 4$。
对代数式$2a^2 -4a +2026$变形得：
$2a^2 -4a +2026 = 2(a^2 - 2a) + 2026$，
将$a^2 - 2a = 4$代入上式得：
$2×4 + 2026 = 8 + 2026 = 2034$。
【答案】
2034
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入法求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入的思想，通过方程根的定义得到待求式中含参数部分的整体值，避免求解一元二次方程的繁琐计算，是此类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.75
已知a是一元二次方程的根，根据方程根的定义，将x=a代入原方程可得到a满足的等式；观察所求代数式$2a^2-4a+2026$的结构，发现$2a^2-4a$是$a^2-2a$的2倍，因此只需从得到的a的等式中求出$a^2-2a$的值，整体代入即可算出结果，无需解出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵a是一元二次方程$x^2=2x+4$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2=2a+4$，
移项可得：$a^2 - 2a = 4$。
对代数式$2a^2 -4a +2026$变形得：
$2a^2 -4a +2026 = 2(a^2 - 2a) + 2026$，
将$a^2 - 2a = 4$代入上式得：
$2×4 + 2026 = 8 + 2026 = 2034$。
【答案】
2034
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入法求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入的思想，通过方程根的定义得到待求式中含参数部分的整体值，避免求解一元二次方程的繁琐计算，是此类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.75
3.已知$a$是方程$x^2 +12x -15=0$的根，求代数式$\frac{a-1}{a^2 +10a -13}$的值.
答案
3. 解:因为a是方程$x^2+12x-15=0$的根,所以$a^2+12a-15=0$,即$a^2+12a=15$,所以$\dfrac{a-1}{a^2+10a-13}=\dfrac{a-1}{(a^2+12a)-2a-13}=\dfrac{a-1}{15-2a-13}=\dfrac{a-1}{-2(a-1)}=-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的根求代数式值的问题时，无需直接求解方程得到a的具体值（直接求根计算繁琐易出错），优先采用整体代入的思路解题。第一步先根据方程根的定义，得到a满足的等式$a^2+12a=15$；第二步观察所求代数式的分母，将分母拆分变形为含有$a^2+12a$的结构；第三步将已知的整体值代入化简，最后约分得到结果即可。
【解析】
∵a是方程$x^2+12x-15=0$的根，
∴$a^2+12a-15=0$，即$a^2+12a=15$，
∴$\dfrac{a-1}{a^2+10a-13}=\dfrac{a-1}{(a^2+12a)-2a-13}$
$=\dfrac{a-1}{15-2a-13}$
$=\dfrac{a-1}{2-2a}$
$=\dfrac{a-1}{-2(a-1)}$
∵将$x=1$代入原方程得$1+12-15=-2≠0$，因此a≠1，即$a-1≠0$，
∴约分后得原式$=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；分式化简
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，解题核心是将所求代数式变形为含已知整体的形式，避免直接求根带来的复杂计算，约分时注意确认公因式不为0即可。
【难度系数】
0.7
遇到已知一元二次方程的根求代数式值的问题时，无需直接求解方程得到a的具体值（直接求根计算繁琐易出错），优先采用整体代入的思路解题。第一步先根据方程根的定义，得到a满足的等式$a^2+12a=15$；第二步观察所求代数式的分母，将分母拆分变形为含有$a^2+12a$的结构；第三步将已知的整体值代入化简，最后约分得到结果即可。
【解析】
∵a是方程$x^2+12x-15=0$的根，
∴$a^2+12a-15=0$，即$a^2+12a=15$，
∴$\dfrac{a-1}{a^2+10a-13}=\dfrac{a-1}{(a^2+12a)-2a-13}$
$=\dfrac{a-1}{15-2a-13}$
$=\dfrac{a-1}{2-2a}$
$=\dfrac{a-1}{-2(a-1)}$
∵将$x=1$代入原方程得$1+12-15=-2≠0$，因此a≠1，即$a-1≠0$，
∴约分后得原式$=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；分式化简
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，解题核心是将所求代数式变形为含已知整体的形式，避免直接求根带来的复杂计算，约分时注意确认公因式不为0即可。
【难度系数】
0.7
