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5.用简便方法计算：
$1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+\dots+2021+2022-2023.$
$1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+\dots+2021+2022-2023.$
答案
$(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+\dots+(2021+2022-2023)=-4×505+2020=0$
解析
【分析】
首先观察算式的数字和运算符号规律，发现从第1个数开始，每连续4个数的运算符号遵循+、+、-、-的循环规律，可将每4个数划分为一组，每组计算结果均为-4。先计算1到2020范围内完整分组的总组数，求出这部分的和，再计算剩余的2021、2022、2023三个数的运算结果，两部分相加即可得到最终答案。
【解析】
解：根据算式的符号规律，将每4个数分为一组计算：
原式=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(2017+2018-2019-2020)+2021+2022-2023
每组的计算结果为-4，1到2020共有完整组数：$2020÷4=505$（组）
因此前505组的总和为：$-4×505=-2020$
剩余部分计算：$2021+2022-2023=2020$
将两部分相加：$-2020+2020=0$
【答案】
0
【知识点】
有理数加减混合运算，分组法简便计算，数字规律探索
【点评】
本题是有理数加减简便运算的典型题型，核心考查对算式规律的观察能力，通过合理分组可以避免逐个计算的繁琐，大幅提升解题效率，掌握规律分组的思路对解决同类运算题有很大帮助。
【难度系数】
0.6
首先观察算式的数字和运算符号规律，发现从第1个数开始，每连续4个数的运算符号遵循+、+、-、-的循环规律，可将每4个数划分为一组，每组计算结果均为-4。先计算1到2020范围内完整分组的总组数，求出这部分的和，再计算剩余的2021、2022、2023三个数的运算结果，两部分相加即可得到最终答案。
【解析】
解：根据算式的符号规律，将每4个数分为一组计算：
原式=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(2017+2018-2019-2020)+2021+2022-2023
每组的计算结果为-4，1到2020共有完整组数：$2020÷4=505$（组）
因此前505组的总和为：$-4×505=-2020$
剩余部分计算：$2021+2022-2023=2020$
将两部分相加：$-2020+2020=0$
【答案】
0
【知识点】
有理数加减混合运算，分组法简便计算，数字规律探索
【点评】
本题是有理数加减简便运算的典型题型，核心考查对算式规律的观察能力，通过合理分组可以避免逐个计算的繁琐，大幅提升解题效率，掌握规律分组的思路对解决同类运算题有很大帮助。
【难度系数】
0.6
6. 如下表所示：
从左到右每小格中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2023个格子中的数为
从左到右每小格中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2023个格子中的数为
3
。答案
3
解析
【分析】
首先根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”的条件列等式，先求出未知的a、c的值，再结合数字的排列规律和已知的第9格的数求出b，确定数字的循环周期，最后通过带余除法计算2023对应周期中的位置就能得到结果。
【解析】
解：
∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴ 前三个数的和等于第2~4个数的和：$3+a+b = a+b+c$，
等式两边同时减去$a+b$，可得$c=3$；
第2~4个数的和等于第3~5个数的和：$a+b+c = b+c+(-1)$，
等式两边同时减去$b+c$，可得$a=-1$；
此时数列从左到右为：3，-1，b，3，-1，b，3，-1，b……，可发现数字以“3，-1，b”为周期循环，周期为3；
已知第9个格子的数为2，$9÷3=3$无余数，对应周期的最后一个数，即$b=2$，因此循环节为3，-1，2；
计算$2023÷3=674······1$，余数为1，对应循环节的第一个数，也就是3。
【答案】
3
【知识点】
有理数加法，等式的性质，周期规律探究
【点评】
本题是典型的数字循环规律题，解题核心是利用相邻三数和相等的条件推导循环周期，再用带余除法定位目标位置的数字，解题思路清晰，掌握规律后很容易作答。
【难度系数】
0.7
首先根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”的条件列等式，先求出未知的a、c的值，再结合数字的排列规律和已知的第9格的数求出b，确定数字的循环周期，最后通过带余除法计算2023对应周期中的位置就能得到结果。
【解析】
解：
∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴ 前三个数的和等于第2~4个数的和：$3+a+b = a+b+c$，
等式两边同时减去$a+b$，可得$c=3$；
第2~4个数的和等于第3~5个数的和：$a+b+c = b+c+(-1)$，
等式两边同时减去$b+c$，可得$a=-1$；
此时数列从左到右为：3，-1，b，3，-1，b，3，-1，b……，可发现数字以“3，-1，b”为周期循环，周期为3；
已知第9个格子的数为2，$9÷3=3$无余数，对应周期的最后一个数，即$b=2$，因此循环节为3，-1，2；
计算$2023÷3=674······1$，余数为1，对应循环节的第一个数，也就是3。
【答案】
3
【知识点】
有理数加法，等式的性质，周期规律探究
【点评】
本题是典型的数字循环规律题，解题核心是利用相邻三数和相等的条件推导循环周期，再用带余除法定位目标位置的数字，解题思路清晰，掌握规律后很容易作答。
【难度系数】
0.7
7.暴雨天气,交通事故频发.一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出发,一整天都在这条主干道上执勤和处理事故,如果规定向北行驶为正,这辆警车这天处理交通事故行车的里程(单位:千米)如下:+4,−5,−2,−3,+6,−4,−2,+7,+1,−8.请问:
(1)第几个交通事故刚好发生在该交警大队门口?
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在哪个位置?
(3)如果警车的耗油量为每百千米12升,那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油多少升?
(1)第几个交通事故刚好发生在该交警大队门口?
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在哪个位置?
(3)如果警车的耗油量为每百千米12升,那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油多少升?
答案
(1)第5个交通事故刚好发生在该交警大队门口
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)$(|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|+|+6|)×\dfrac{12}{100}=5.76$(升)
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)$(|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|+|+6|)×\dfrac{12}{100}=5.76$(升)
解析
【分析】
本题是正负数在实际行程问题中的应用，解题思路如下：
1. 第（1）问：交警大队门口对应累计行车里程的和为0，只需依次累加每次处理事故的行车里程，找到第一次和为0时对应的事故序号即可。
2. 第（2）问：处理完最后一个事故的位置，是所有行车里程的代数和，结果为正则在大队北侧，结果为负则在南侧，数值为距离大队的距离。
3. 第（3）问：耗油量和行驶的总路程有关，总路程等于所有行车里程的绝对值之和，再加上最后位置返回交警大队的路程（即第（2）问结果的绝对值），再乘以每千米的耗油量即可。
【解析】
（1）依次累加每次行车里程：
处理第1个事故后：$+4$
处理第2个事故后：$+4+(-5)=-1$
处理第3个事故后：$-1+(-2)=-3$
处理第4个事故后：$-3+(-3)=-6$
处理第5个事故后：$-6+(+6)=0$，此时刚好回到交警大队门口。
（2）计算所有里程的代数和：
$\begin{aligned}&+4-5-2-3+6-4-2+7+1-8\\=&(4+6+7+1)+(-5-2-3-4-2-8)\\=&18-24\\=&-6\end{aligned}$
负号表示方向向南，所以车辆在交警大队南边6千米的位置。
（3）先计算处理事故行驶的总路程（所有里程绝对值之和）：
$|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|=42$（千米）
处理完事故后需返回大队，还要行驶$|-6|=6$千米，总路程为$42+6=48$（千米）
已知每百千米耗油12升，总耗油量为：$48× \dfrac{12}{100}=5.76$（升）
【答案】
(1)第5个交通事故刚好发生在该交警大队门口
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)$(|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|+|+6|)×\dfrac{12}{100}=5.76$(升)
【知识点】
正负数的实际应用，有理数的加减运算，绝对值的意义
【点评】
本题结合生活场景考察有理数相关知识，解题时需注意：计算位置时用代数和，计算路程时用各段里程的绝对值之和，第三问容易遗漏返回交警大队的路程，做题时要仔细审题，理清题意。
【难度系数】
0.65
本题是正负数在实际行程问题中的应用，解题思路如下：
1. 第（1）问：交警大队门口对应累计行车里程的和为0，只需依次累加每次处理事故的行车里程，找到第一次和为0时对应的事故序号即可。
2. 第（2）问：处理完最后一个事故的位置，是所有行车里程的代数和，结果为正则在大队北侧，结果为负则在南侧，数值为距离大队的距离。
3. 第（3）问：耗油量和行驶的总路程有关，总路程等于所有行车里程的绝对值之和，再加上最后位置返回交警大队的路程（即第（2）问结果的绝对值），再乘以每千米的耗油量即可。
【解析】
（1）依次累加每次行车里程：
处理第1个事故后：$+4$
处理第2个事故后：$+4+(-5)=-1$
处理第3个事故后：$-1+(-2)=-3$
处理第4个事故后：$-3+(-3)=-6$
处理第5个事故后：$-6+(+6)=0$，此时刚好回到交警大队门口。
（2）计算所有里程的代数和：
$\begin{aligned}&+4-5-2-3+6-4-2+7+1-8\\=&(4+6+7+1)+(-5-2-3-4-2-8)\\=&18-24\\=&-6\end{aligned}$
负号表示方向向南，所以车辆在交警大队南边6千米的位置。
（3）先计算处理事故行驶的总路程（所有里程绝对值之和）：
$|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|=42$（千米）
处理完事故后需返回大队，还要行驶$|-6|=6$千米，总路程为$42+6=48$（千米）
已知每百千米耗油12升，总耗油量为：$48× \dfrac{12}{100}=5.76$（升）
【答案】
(1)第5个交通事故刚好发生在该交警大队门口
(2)当交警处理最后一个事故时,该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)$(|+4|+|-5|+|-2|+|-3|+|+6|+|-4|+|-2|+|+7|+|+1|+|-8|+|+6|)×\dfrac{12}{100}=5.76$(升)
【知识点】
正负数的实际应用，有理数的加减运算，绝对值的意义
【点评】
本题结合生活场景考察有理数相关知识，解题时需注意：计算位置时用代数和，计算路程时用各段里程的绝对值之和，第三问容易遗漏返回交警大队的路程，做题时要仔细审题，理清题意。
【难度系数】
0.65
★8. 钟面上有1,2,3,…,11,12,共12个数字.
(1)试在这些数字前标上正号或负号,使它们的和为0.
(2)能否在这些数字前标上正号或负号,使它们的和为奇数?若能,请写出算式;若不能,请说明理由.
(1)试在这些数字前标上正号或负号,使它们的和为0.
(2)能否在这些数字前标上正号或负号,使它们的和为奇数?若能,请写出算式;若不能,请说明理由.
答案
(1)$1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12=0$(答案不唯一,正数之和为78,只需添“+”的数之和为39即可)
(2)不能,因为它们的和为78,是偶数,所以任意添符号的数之和仍为偶数
(2)不能,因为它们的和为78,是偶数,所以任意添符号的数之和仍为偶数
解析
【分析】
解题先从1到12的总和入手梳理思路：
1. 第(1)问：要让标正负号后的数之和为0，说明带正号的数的总和与带负号的数的绝对值总和相等，即两者均为1到12总和的一半，先算出总和后，凑出和为总和一半的数标正号，剩余数标负号即可。
2. 第(2)问：给某数改变符号，相当于在原总和里减去2倍的这个数，2倍的整数是偶数，所以总和的奇偶性不会变化，原总和为偶数，因此无论怎么改符号，结果始终是偶数，不可能得到奇数。
【解析】
首先计算1~12所有数字的和：
$1+2+3+\dots+12=\frac{(1+12)×12}{2}=78$
(1) 要使添正负号后的和为0，需满足带正号的数的总和 = 带负号的数的绝对值总和 = $78÷2=39$。
只需选出若干个和为39的数前面标正号，其余数前面标负号即可，例如给出的算式$1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12=0$，答案不唯一。
(2) 不能。理由：若将任意一个数前面的正号改为负号，相当于在原总和78中减去2倍的这个数，2倍的任意整数都是偶数，偶数减偶数的结果仍为偶数，因此无论怎么添加正负号，最终的和一定是偶数，不可能是奇数。
【答案】
(1)$1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12=0$（答案不唯一，只需添正号的数之和为39即可）
(2)不能，因为1~12的总和为78是偶数，任意添加正负号后的和仍为偶数，不可能为奇数。
【知识点】
有理数加减法，奇偶性判断，数字规律探究
【点评】
本题是有理数运算的创新应用题，第一问开放性较强，掌握总和均分的核心思路即可快速求解；第二问需要抓住符号变换不改变结果奇偶性的本质，较好地考察了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题先从1到12的总和入手梳理思路：
1. 第(1)问：要让标正负号后的数之和为0，说明带正号的数的总和与带负号的数的绝对值总和相等，即两者均为1到12总和的一半，先算出总和后，凑出和为总和一半的数标正号，剩余数标负号即可。
2. 第(2)问：给某数改变符号，相当于在原总和里减去2倍的这个数，2倍的整数是偶数，所以总和的奇偶性不会变化，原总和为偶数，因此无论怎么改符号，结果始终是偶数，不可能得到奇数。
【解析】
首先计算1~12所有数字的和：
$1+2+3+\dots+12=\frac{(1+12)×12}{2}=78$
(1) 要使添正负号后的和为0，需满足带正号的数的总和 = 带负号的数的绝对值总和 = $78÷2=39$。
只需选出若干个和为39的数前面标正号，其余数前面标负号即可，例如给出的算式$1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12=0$，答案不唯一。
(2) 不能。理由：若将任意一个数前面的正号改为负号，相当于在原总和78中减去2倍的这个数，2倍的任意整数都是偶数，偶数减偶数的结果仍为偶数，因此无论怎么添加正负号，最终的和一定是偶数，不可能是奇数。
【答案】
(1)$1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12=0$（答案不唯一，只需添正号的数之和为39即可）
(2)不能，因为1~12的总和为78是偶数，任意添加正负号后的和仍为偶数，不可能为奇数。
【知识点】
有理数加减法，奇偶性判断，数字规律探究
【点评】
本题是有理数运算的创新应用题，第一问开放性较强，掌握总和均分的核心思路即可快速求解；第二问需要抓住符号变换不改变结果奇偶性的本质，较好地考察了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
